Aurélie sept 2001
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hydrodynamique

BTS batiment (2000)

hydrostatique- gaz parfaits

siphon


I hydrostatique- gaz parfaits : 6 points

Un local utilisé lors de travaux sous marins est constitué d'un parallélépipède rectangle de hauteur H = 3,0 m et de section horizontale S = 15 m2. Sa partie inférieure est munie d'un orifice lui permettant de communiquer avec l'extérieur.

L'air est considéré comme un gaz parfait, sa température garde la même valeur q = 27°C constante dans tous les cas.

La pression de l'atmosphère au dessus de l'eau est p0 = 1,0 105 Pa.

On rappelle g = 9,81 N. kg-1 ; R = 8,31 SI ;

masse volumique de l'eau r = 1,0 10 3 kg.m-3

masse molaire moyenne de l'air: 29 g. mol-1.

  1. Le local contenant l'air à la pression p0 (schéma a) est descendu sous l'eau jusqu'à ce que l'orifice atteigne la profondeur z (schéma b). La hauteur d'eau dans le local est alors h=1,0 m. Calculer la pression pl de l'air dans le local et la profondeur z.
  2. L'orifice du local étant à la profondeur z = 6,1 m, on introduit dans le local, grâce à un compresseur, de l'air prélevé dans l'atmosphère extérieure jusqu'à ce que toute l'eau soit chassée du local (schéma c).Calculer la pression p2.
  3. Calculer la quantité de matière (exprimée en nombre de moles) d'air contenue dans le local dans les 3 cas (a,b,c). En déduire la masse d'air prélevée dans l'atmosphère par le compresseur.

corrigé
équation des gaz parfaits

PV = nRT

P: pression en Pa

V volume en m3.

n : quantité de matière (mol)

T température en kelvin

R= 8,31 SI = constante

n = PV / (RT)

V=3*15 = 45 m3 ; T= 273+27)= 300 K

n = 105 *45/(8,31*300) = 1805 mol.


schéma b :

température, quantité de matière restent inchangés.

nouveau volume : 2*15 = 30 m²

P1 = 1805*8,31*300 / 30 = 1,5 105 Pa.

P1-P0 = r g (z-h) .

r masse volumique du liquide

z-h (mètre) : différence de niveau entre un point à la surface du liquide dans le caisson et la surface libre du liquide à l'extérieur.

z-h = (P1-P0) /( rg)

z-h = 0,5 105 / (103*9,8) = 5,1 m d'où z = 5,1+1 = 6,1 m.


P2-P0 = r g z .

P2 = P0 + rgz

P2 = 105 + 103 *9,8*6,1 = 1,597 105 Pa.

la quantité de matière d'air a augmenté.

n2 = P2V / (RT)

n2 = 1,597 105*45/ (8,31*300) = 2884 mol d'air.

2884-1805 = 1079 mol d'air

masse d'air : 1079 *29 = 31,29 kg .

 


II siphon 7 points

Un vase cylindrique de section S est fermé à sa partie supérieure par un couvercle plan muni d'un robinet R et laissant passer la branche ED d'un siphon EDFG. Ce vase renferme de l'eau dont le niveau MN est à une distance h du couvercle et à une hauteur H au dessus du robinet R' situé à l'extrémité du siphon.

Le siphon étant rempli d'eau, le robinet R' étant fermé, on ouvre un instant le robinet R et on le referme. La pression au dessus du liquide est alors égale à la pression atmosphérique, notée patm.

On admettra que la section du siphon est négligeable devant celle du vase.

On ouvre le robinet R' et on laisse l'eau s'écouler.

  1. L'eau peut cesser de couler avant que le récipient soit vide. Expliquer pourquoi en utilisant le théorème de Bernoulli.
  2. Soit x l'abaissement du niveau MN à un instant donné et p la pression de l'air dans la partie supérieure du vase. On suppose la température constante pendant l'écoulement et on considère l'air comme un gaz parfait. Exprimer la pression p en fonction de x, h et patm.
  3. Exprimer lorsque l'eau s'arrête de couler (le robinet R' étant toujours ouvert) la pression p en fonction de x, H, r, et patm. Pour cela on appliquera la relation fondamentale de l'hydrostatique au liquide contenu dans le siphon.

    Données : S = 100 cm2

    h = 0,10 m,

    H = 2,0 m,

    accélération de la pesanteur g = 10 m. s-2

    pression atmosphérique patm = 1,0 105 Pa.

    masse volumique de l'eau r = 1000 kg.m-3.

 


corrigé

au départ ( R fermé et R' fermé), le volume d'air enprisonné est Sh, sa pression est patm et sa température est T.

l'équation des gaz parfait s'écrit : patm Sh = nRT (1)

R fermé et R' ouvert, le niveau du liquide dans le vase cylindrique descend de x : le volume de l'air devient alors S(h+x), la pression p, la température ainsi que la quantité de matière d'air n'ont pas changé.

l'équation des gaz parfaits s'écrit : p S(h+x) = nRT (2).

les deux relations ci dessus donnent :

patm Sh = p S(h+x)

p = patm h / (h+x).

p = 105 *0,1 / (0,1+x) = 104 / (0,1+x).


th de Bernoulli

p + rgz +½rv² = constante.

p : pression en pascal

r masse volumique du fluide (eau) kg/m3.

z altitude en mètre

v : vitesse d'écoulement en m/s.

On choisi l'altitude du point G comme origine des altitudes.

On applique le théorème de Bernoulli entre un point situé à la surface du liquide M et le point G, à la sortie du robinet R'.

la vitesse d'écoulement du liquide en M est voisine de zéro si la section du siphon est petite devant la section S du vase.

en M : p + r g (H-x) = constante

en G : patm + ½ r v² = constante

p + r g (H-x) = patm + ½ r

d'où ½ r v² = p -patm + r g (H-x)= p-105+104(2-x)

avec p = 104 / (0,1+x)

le liquide ne s'écoule plus lorsque le second membre est nul. ( v =0) :

104 / (0,1+x) -105+104(2-x)=0

réduire au même dénominateur :

104 -105(0,1+x)+ 104(2-x) (0,1+x)=0

effectuer : -105x + 0,2 104 - 104x² +1,9 104x=0

diviser par 104 : -x² -8,1 x +0,2=0

x²+8,1x-0,2 = 0

résoudre : D=8,1²+4*0,2 = 66,41

x1 = (-8,1 +8,149 )/2 = 0,0245 m.

la pression de l'air dans le récipient cylindrique fermé est alors : p= 104 / 0,1245 = 80 321 Pa.

 


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