Mathématiques, géométrie, fonction. Bac Amérique du Nord 2025.

Exercice 1. . 5 points.
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = xe^−x +2x −1. On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur R. On appelle Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f et f ′′ la fonction dérivée seconde de f , c’est-à-dire la fonction dérivée de la fonction f ′ .
Partie A : Étude de la fonction f
1. Déterminer les limites de la fonction f en −∞ et en +∞.
En plus l'infini : e^-x tend vers zéro ; xe^−x tend vers zéro ; 2x+1 tend vers +oo.
Par somme des limites, f(x) tend vers +oo.
En moins l'infini : f(x) = e^-x[x+(2x+1) e^x].
e^x tend vers zéro ; (2x+1) e^x tend vers zéro ; e^-x tend vers +oo.
x e^-x tend vers -oo ; f(x) tend vers -oo.
2. Pour tout réel x, calculer f ′ (x).
Dérivée de x e^-x en posant u = x et v = e^-x ; u' = 1 ; v' = -e^-x ; u'v+v'u = e^-x -xe^-x = e^-x(1-x).
f '(x) = e^-x(1-x)+2.
3. Montrer que pour tout réel x : f ′′(x) = (x −2)e^−x .
On pose u = 1-x et v = e^-x ; u'= -1 ; v' = -e^-x.
u'v+v'u = e^-x(-1-1+x)=(x −2)e^−x .
4. Étudier la convexité de la fonction f .
e^-x > 0 ; si x > 2, f ''(x) >0 et la fonction est convexe.
si x < 2, f ''(x) < 0 et la fonction est concave.
Si x = -2, la dérivée seconde s'annule et change de signe : la courbe présente un point d'inflexion.

5. Étudier les variations de la fonction f ′ sur R, puis dresser son tableau de variations en y faisant apparaître la valeur exacte de l’extremum. Les limites de la fonction f ′ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
f ′′(x) = (x −2)e^−x ;
e^−x > 0 ;
si x > 2, f ''(x) >0 et f '(x) est croissante.
si x <2, f ''(x) est négative et f '(x) est décroissante.
si x = 2, f ''(x) s'annule et f '(x) présente un minimum.
f '(2) = 2-e^-2.

6. En déduire le signe de la fonction f ′ sur R, puis justifier que la fonction f est strictement croissante sur R.
Pour tout réel x, f '(x) > f '(2) ; f '(x) est positive.
Par conséquent, la fonction f(x) est strictement croissante sur R.
7. Justifier qu’il existe un unique réel a tel que f (a) = 0. Donner un encadrement de a, au centième près.
La fonction f est continue car dérivable et stricterment croissante sur R.
De plus f ]-oo ; +oo[) = ]-oo ; +oo[.
D'après le théorème de la bijection, l'équation f(x) = 0 admet une solution unique sur R.
La calculatrice conduit à 0,37 < a < 0,38.
8. On considère la droite D d’équation y = 2x −1. Étudier la position relative de la courbe Cf par rapport à la droite D.
f (x) -(2x-1)= xe^−x.
e^-x est strictement positif sur R.
Le signe de f (x) -(2x-1) est le signe de x.
Si x < 0, Cf est en dessous de la droite D.
Si x > 0, Cf est au dessus de la droite D.

Partie B : Calcul d’aire.
Soit n un entier naturel non nul. On considère l’aire du domaine Dn délimité par la courbe Cf , la droite D et les droites d’équations respectives x = 1 et x = n.
On note

1. À l’aide d’une intégration par parties, exprimer I_n en fonction de n.
On pose u = x et v' = e^-x ; u' = 1 ; v =- e^-x.

2. a. Justifier que l’aire du domaine Dn est I_n.
La fonction x e^-x , produit de fonctions continues, est continue sur [1 ; n]
L'aire du domaine Dn est I_n.
b. Calculer la limite de l’aire du domaine Dn quand n tend vers +∞.
e^-n tend vers zéro ; l'aire du domaine est donc 2e^-1.