Mathématiques, BTS groupe B 2025

Exercice 1. 10 points.
Pour fabriquer de l’aluminium en feuille on chauffe une plaque d’aluminium à 250 °C puis on la sort du four : c’est alors la phase de refroidissement. On étudie l’évolution de la température de la plaque d’aluminium durant cette phase. On note f (t) la température de la plaque d’aluminium à l’instant t. f (t) est exprimée en degré Celsius, et t désigne le nombre de minutes de refroidissement.
Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A. Équation différentielle.
On sait que la fonction f est solution de l’équation différentielle : (E) : y ′ +0,25y = 7,5, où y est une fonction inconnue de la variable réelle t, définie et dérivable sur l’intervalle [0 ;+∞[, et où y ′ est la dérivée de y.
1. Résoudre l’équation différentielle : (E₀) : y ′ +0,25y = 0.
y = A exp(-0,25t) avec A une constante réelle.
2. Soit c un nombre réel. On considère la fonction constante g définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : g(t) = c. Déterminer le réel c pour que la fonction g soit solution de l’équation différentielle (E).
g' = 0 ; 0+0,25 c =7,5 ; c = 30.
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
y = A exp(-0,25 t) +30.
4. Déterminer l’expression de la fonction f sachant qu’à l’instant t = 0 la température est égale à 250 °C.
f(0) = A +30 =250 ; A = 220..
f(t) =220 exp(-0,25t) +30.

Partie B. Étude de fonction.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f (t) = 220exp(−0,25t) +30. On admet que f (t) représente la température (en degré Celsius) de la plaque d’aluminium après t minutes de refroidissement.
1. Déterminer la valeur approchée à 0,1 °C de la température de la plaque après un quart d’heure de refroidissement.
f(15) = 220 exp(-0,25 x15) +30 =35,2 °C.
2. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. Quelle est la conséquence pour la courbe représentative de la fonction f ?
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Le terme en exponentielle tend vers zéro ; f(t) tend vers 30 ;
la température finale de la plaque est 30°C.
3. On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction dérivée. Déterminer f ′ (t) pour tout réel t de l’intervalle [0 ; +∞[. En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
f '(t) = 220 x(-0,25)exp(−0,25t)=-55 exp(-0,25t).
f '(t) étant négative, la fonction f(t) est strictement décroissante de 250 à 30.
4. Un technicien affirme : « en cent secondes, la plaque a perdu cent degrés ». A-t-il raison ? Quelle est la durée nécessaire, arrondie à la seconde, pour que la température de la plaque passe en dessous de 150 °C ? Les réponses devront être justifiées.
100 s ~1,67 min.
f(1,67) = 220 exp(-0,25 *1,67) +30 = 175 °C.
La température diminue de 75 °C : l'affirmation est fausse.
150=220xexp(-0,25t) +30.
120 / 220 =exp(-0,25t)
ln(120 / 220) =-0,25t
t =ln(220 / 120) /0,25 ~2,4 min.
5. Réaliser sur la copie un croquis donnant l’allure de la courbe représentative de la fonction f . Ce croquis devra également faire apparaître les résultats des questions 1 à 4.