Mathématiques, BTS opticien lunetier, 2025

Exercice 1.10 points.
Une usine produit des montures de lunettes et les vend à des opticiens.
Partie A . Statistiques.
On étudie la relation entre le prix de vente d’une monture et la recette de l’usine. Une enquête a permis d’obtenir le résultat suivant.

x, prix de vente d'une monture	5	5,50	6	6,50	7	7,50
y recette de l'usine en milliers d'euros	17,72	18,21	18,74	19,12	19,35	19,85

Ainsi, lorsque le prix de vente d’une monture est égal à 5 euros, la recette de l’usine est égale à 17,72 milliers d’euros, soit 17 720 euros.
1. Donner, à l’aide de la calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire de la série (x,y). On arrondira le résultat à 10⁻³.
0,994.
2. Expliquer pourquoi un ajustement affine de y en x est justifié.
Le coefficient de corrélation linéaire est proche de 1 : l'ajustement affine est justifié.

3. À l’aide de la calculatrice, donner l’équation de la droite de régression linéaire de y en x, selon la méthode des moindres carrés, sous la forme y = ax +b.
Les coefficients a et b seront arrondis à 10−1 .
y = 0,826 x+13,67.
y = 0,8 x+13,7.
4. Selon ce modèle, quelle est la recette de l’usine, lorsque le prix de vente d’une monture est égal à 10 euros ? Arrondir à l’euro près.
y = 0,826 x10 +13,7=21,93 ~ 22 milliers d'euros.
5. Une étude montre que, lorsque le prix de vente d’une monture est égal à 10 euros, la recette de l’usine est, en réalité, égale à 19 950 euros. Lorsque l’écart entre la valeur donnée par un modèle statistique et la valeur réelle est inférieur à 5 %, on dit que le modèle est fiable. Le modèle étudié ici est-il fiable ? Justifier.
(21,93 -19,95) / 19,95=0,099 ( environ 10 %).
Le modèle n'est pas fiable.

Partie B. Equation différentielle.
On considère l’équation différentielle : (E) : y ′ +0,1y = 5e^−0,1x , où y est une fonction inconnue de la variable x, définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[, et où y ′ est sa fonction dérivée.
1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E0) : y ′ +0,1y = 0.
y = A exp(-0,1x) avec A une constante réelle.
2. On considère la fonction g définie pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[, par : g(x) = 5x e^−0,1x . On admet que la fonction g est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ et on note g ′ sa fonction dérivée.
a. Calculer g ′ (x) pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[.
On pose u = 5x et v = exp(-0,1x) ; u' = 5 ; v' = -0,1 exp(-0,1x).
u'v+v'u = 5exp(-0,1x) -0,5 x exp(-0,1x) = (5-0,5 x) exp(-0,1x).
b. En déduire que la fonction g est une solution particulière de l’équation différentielle (E).
(5-0,5 x) exp(-0,1x)+ 0,1(5x)exp(-0,1x) =5 exp(0,1x).
L'équation est bien vérifié.
3. a. En déduire que les solutions de l’équation différentielle (E) sont les fonctions h définies pour tout réel x de l’intervalle [0;+∞[, par : h(x) = (5A +k)e^−0,1x , où A est une constante réelle.
h(x) = A exp(-0,1x) +5x e^−0,1x =(A+5x) exp(-0,1x).
b. Déterminer, à 10⁻² près, la valeur de la constante k pour que la fonction h ci-dessus vérifie :h(5) = 17,72.
17,72 = (A+25) exp(-0,5) =0,6065(A+25)=0,6065 A +15,16 ;
A = (17,72-15,16) / 0,6065 ~4,22.

Partie C. Étude de fonction
On considère la fonction f définie pour tout réel x de l’intervalle [5 ; 15] par : f (x) = (5x +4,22)e^−0,1x . On a représenté ci-dessous la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.

1. Calculer les valeurs approchées à 10⁻² de f (5) et f (15).
f(5) = (5 x5 +4,22) exp(-0,5) ~17,72.
f(15) = (75 +4,22)exp(-1,5)~17,68.
2. On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [5 ; 15] et on note f ′ sa fonction dérivée. On admet que, pour tout réel x de l’intervalle [5 ; 15] on a : f ′ (x) = (4,578−0,5x)e^−0,1x .
a. Déterminer le signe de f ′ (x) sur l’intervalle [5 ; 15].
e^−0,1x >0.
f '(x) a le signe de 4,578 -0,5 x.Si x < 9,156, f '(x) >0 et f(x) est strictement croissante.
Si x > 9,156, f '(x) <0 et f(x) est strictement décroissante.
b. Donner une valeur approchée à 10⁻³ de f (9,156).
f (x) = (5*9,156 +4,22)e^−0,9156 ~20,014.
c. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [5 ; 15].

3. On suppose que la fonction f modélise la recette de l’entreprise en fonction du prix de vente d’une monture. Ainsi, lorsque le prix de vente d’une monture, en euros, est égal à x, la recette de l’usine, en milliers d’euros, est égale à f (x). Quel doit-être le prix de vente d’une monture pour que la recette soit maximale ? À combien s’élève alors la recette ?
Prix de vente d'une monture : 19,16 €.
Recette : 20,014 milliers d'euros.