Mathématiques spécialité, épreuve anticipée première, Amérique du nord  2026.

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 Première partie. QCM 6 points.
1. Le nombre 1 /2 + 3 /2 x4 est égal à :
3 / 2 x4 = 6 ; 1 /2 +6 = 6,5 = 13 / 2. Réponse B.

2. Le volume de la partie visible d’un iceberg est d’environ 10 % de son volume total. Si la partie visible d’un iceberg est de 150 km3 , quel sera le volume total de cet iceberg ?
150 x10 =1500 km3 . Réponse B.

  3. Le prix d’un article est multiplié par 0,845. Cela signifie que le prix de cet article a :
baissé de 1-0,845=0,155 soit 15,5 %. Réponse D.

4. On considère la fonction A définie pour tout réel x par : A(x) = (x + 5)(x + 8) Le tableau de signes de A(x) sur R est :
A(x) =0 si x = -5 et x = -8.
x+5 < 0 sur ] -oo ; -5[ et x+8 < 0 sur ] -oo ; -8[

Réponse C.

  5. Un singe choisit une lettre au hasard parmi les lettres de l’alphabet. On note les évènements :
- V : « Le singe choisit une voyelle. »
- M : « Le singe choisit une des lettres du mot SINGE. »
 Rappel : L’alphabet est constitué de 26 lettres dont les voyelles sont : A, E, I, O, U, Y. On note PM(V)) la probabilité que le singe choisisse une voyelle sachant qu’il a choisi une lettre du mot SINGE. On peut alors affirmer que  PM(V)) vaut :
Le mot singe compte 5 lettres dont 2 voyelles.
PM(V)) = 2 /5 = 0,4. Réponse B.

6. Soit f une fonction affine, dont on a tracé la représentation graphique dans le repère ci-dessous. Une expression algébrique de f est :

Pente de la droite : -30 /3 = -10 ; f(0) = 30.
f(x) = -10 x +30.  Réponse C.

7. La forme développée et réduite de l’expression (x + 2) 2 − (1 − x) 2 vaut :
x2+4x+4 -(x2-2x+1)=6x+3. Réponse B.

  8. L’équation 2(𝑥 − 4) − (2𝑥 + 1) = 0 admet :
2x-8-2x-1=0 ; 0x-9=0. Aucune solution. Réponse C.

 9. On considère le nombre réel : E = 2×3 2 / (27×23) . On peut affirmer que E est égal à :
E = 2×3 2 / (33×23)=1 /  (3×22) = 1 / 12. Réponse B.
5ln(x 2 +1 )  < 5x+5ln(2)-5.
ln(x 2 +1 )  < x+ ln(2)-1.

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 Seconde partie. 14 points.
Exercice 1 (6 points).
 Durant une fête foraine, une urne contient dix boules. Chaque boule est soit verte, soit rouge, indiscernable au toucher. Un jeu est proposé aux personnes présentes à la fête foraine. Pour y participer le joueur doit d’abord payer 1 euro. Ensuite,
- le joueur tire une première boule qu’il donne au forain, celui-ci note sa couleur puis remet la boule dans l’urne ;
 - le joueur tire une deuxième boule, le forain note la couleur de ce deuxième tirage et remet à nouveau la boule dans l’urne.
Voici les récompenses qu’il obtient :
- si le joueur a tiré deux boules rouges, il reçoit 3 euros ;
 - si le joueur a tiré deux boules vertes, il reçoit 1 euro ;
- sinon il ne reçoit pas d’argent.
Partie A
Dans cette partie, on considère que cette urne contient 1 boule rouge et 9 boules vertes. On note :
 - 𝑅1 l’événement : « La première boule tirée est rouge. »
- 𝑅2 l’événement : « La deuxième boule tirée est rouge. »
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation.


2. On note 𝑋 la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur, c’est-àdire la différence entre la somme reçue après les deux tirages et les frais de participation au jeu de 1 euro.
a. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire 𝑋.
2 boules rouges : 3-1 = 2 €.
Une boule rouge : 0-1=-1€.
2 boules vertes : 1-1 = 0 €.

b. Montrer que P(X=-1)=0,18.
0,09 +0,09 = 0,18.

 c. Recopier sur votre feuille et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de X :
k
 -1
 0
 2
P(X=k)
 0,18
 0,81
 0,01

 d. Calculer l’espérance de X. Interpréter le résultat.
-1 x0,18 +0 x0,81 +2 x0,01 = -0,16.
En jouant un grand nombre de fois, le joueur perd 0,16 € par partie jouée.

Partie B
Dans cette partie, on considère que cette urne contient maintenant n boules rouges et 10 − n boules vertes où n est un nombre entier naturel avec 0 < n < 10. On note Y la variable aléatoire donnant le gain algébrique après les deux tirages.
1. Démontrer que E(Y) =( 4n2−20n)/ 100 . On expliquera la démarche mise en œuvre. Toute démarche, même incomplète, sera prise en compte dans la notation.
Gain = 2, obtenir 2 boules rouges.
P(Y=2) = n/10 xn /10 = n2 /100.
Gain = 0, obtenir 2 boules vertes.
P(Y=0) = (10-n) /10 x(10-n) / 10 = (10-n)2 /100 =(100 +n2-20n) / 100.
Gain = -1, obtenir 1 boule rouge.
P(Y=-1)=n /10 x(10-n) / 10 +n/10 x(10-n) /10 = 2n(10-n) / 100 = (20 n-2n2) /100.
Espérance de Y : E(Y) = 2 P(Y=2) +0 x P(Y=0) +(-1) xP(Y=-1).
E(Y) = 2n2/100 -(20 n-2n2) /100=(4n2-20n)/100.
2. Pour combien de boules rouges dans l’urne le jeu est-il équitable entre le joueur et le forain ?
Le gain est équitable si l'espérance du gain est nulle.
4n2-20n =0 ; n(n-5)=0  soit n =0 et n = 5.
L'urne doit contenir 0 ou 5 boules rouges.

Exercice 2 (4 points)
Pour réduire sa facture d’électricité, Camille a décidé de faire poser des panneaux solaires sur le toit de sa maison. Elle souhaite analyser sa production et estimer le temps nécessaire pour rentabiliser cet investissement. Les deux parties suivantes sont indépendantes.
Partie A
Lors d’une belle journée ensoleillée, la puissance électrique en kilowatt (kW) des panneaux solaires de Camille peut être modélisée en fonction de l’heure par une fonction f. On admet que f est définie sur [0 ; 24] et on donne sa courbe représentative Cf ci-dessous. Avec la précision permise par le graphique :
1. Donner la puissance électrique des panneaux solaires à 11h00.
2. Résoudre graphiquement l’inéquation f(x) > 5 et interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.

La puissance électrique délivrée est supérieure à 5 kW entre 10 h30 et 15 h30.
Partie B
Le coût pour 1 kilowattheure (kWh) consommé au tarif réglementé était de 0,15 € en 2020. On admet que ce tarif réglementé augmente de 6 % chaque année. On note cn le coût en euros (€) pour 1 kWh consommé durant l’année 2020+n, avec n un entier naturel. On a alors c0 = 0,15.
1. Déterminer la nature de la suite (cn ). On précisera sa raison.
c1 = c0 +0,06 c0 = 1,06 c0. Suite géométrique de premier terme 0,15 et de raison 1,06.
2. Pour tout entier naturel n, exprimer cn en fonction de n.
cn = 1,06n c0=0,15 * 1,06n .
3. Donner le calcul permettant d’obtenir le coût pour 1 kWh consommé en 2030. Il n’est pas demandé d’effectuer ce calcul.
n=10 ; c10 =0,15 * 1,0610 .
4. On admet que, chaque année depuis 2020, l’utilisation des panneaux solaires de Camille lui a permis d’éviter l’achat de 2000 kWh par an. L’installation des panneaux solaires en janvier 2020 a coûté à Camille 7000 €. On considère le programme Python ci-desspous.

a. Dans le contexte de l’énoncé, que représentent les variables c et S du programme ?
c : coût en euros d'un kWh l'année considérée.
S : somme totale des économies réalisées.
b. On exécute le programme. Il affiche 16. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé. 
Le programe sort de la boucle dès que le coût de l'installation est dépassé, soit l'année 2020+16 = 2036.

Exercice 3 (4 points)
 On considère la fonction f définie sur R par : 𝑓(𝑥) = (4x − 4) e −0,5x + 5 . On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé. On admet que f est dérivable sur R et on note f ' sa fonction dérivée.
1. Montrer que, pour tout x réel, f '(x)= (−2x + 6) e −0,5𝑥 .
On pose u = 4x-4 et v = e-0,5x ; u' = 4 ; v' = -0,5 e-0,5x.
u'v+v'u =4 e-0,5x -(2x-2)e-0,5x =(−2x + 6) e −0,5𝑥 .
2. Étudier le signe de f '(x) sur R puis en déduire les variations de la fonction f. ..
3. La courbe Cf admet-elle des points pour lesquels la tangente est horizontale ? Si oui, on précisera les coordonnées exactes de ces éventuels points.
Le terme en exponentielle étant positif, le signe de f '(x) est celui de -2x+6.
 f '(x) < 0 si x >3 et f(x) est strictement décroissante.
f '(x) >0 si x < 3 et f(x) est strictement croissante.
f '(x) =0 si x =3 et f(x) présente un maximum et la tangente à Cf est horizontale.
f(3) =(4*3-4) exp(-0,5 *3) +5= 8 exp(-1,5)+5.



  
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