Epreuve anticipée de mathématiques, voie technologique.
Sujet 1

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QCM. 6 points.
1. Jean consacre 25 % de sa journée de dimanche à faire ses devoirs. 80 % du temps consacré aux devoirs est consacré à faire un exposé. Le pourcentage du temps consacré à l’exposé par rapport à la journée de dimanche est égal à : .
0,25 x0,80 = 0,20 ( 20 %).
 Réponse C.

 2. Un prix diminue de 50 %. Pour retrouver le prix initial, il faut une augmentation de :
Prix initial : 100 ; prix après diminution : 50 ;
Retrouver le prix initial = prix après réduction + augmentation =100.
Augmentantion = 50 soit prix réduit fois 100 %
Réponse B.

3. Le prix d’une tablette a baissé : il est passé de 250 euros à 200 euros. Cela signifie que ce prix a été multiplié par :
200 / 250= 0,8.
Réponse C .

4.  La seule égalité vraie est :
10-5 / 108=10-5 x10-8 =10-5-8 =10-13.
Réponse C.

5. L’épaisseur d’une feuille de papier est égale à 70×10−3 mm. L’épaisseur d’une pile de 2 000 feuilles est égale à.
70 x 10-3 x2000 = 70 x2 = 140 mm = 14 cm..
Réponse C.

6. Voici quatre planètes et leur masse :
Terre : 5973 1021 kg = 5,973 1024 kg ;
Mercure : 33,02 1022 kg= 3,302 1023 kg ;
Vénus : 48 685 1020 kg = 4,8685 1024 kg ;
Mars : 6,4185 1023 kg.
La planète dont la masse est la plus importante est la Terre.
 Réponse A..

7. On additionne un nombre réel x, avec son triple et son carré. Le résultat est égal à :
x +3x +x2= 4x+x2.
Réponse D.
8. Dans la figure ci-dessous, les courbes C et C ′ représentent respectivement les fonctions f et g. L’ensemble des solutions de l’inéquation f (x) < g(x) est :

[-2 ; -1] union [1 ; 2].
Réponse C.

9. On donne ci-dessous la courbe représentative C d’une fonction f définie sur l’intervalle [−3 ; 2]. On s’intéresse à l’équation f (x) = 0. Une seule de ces propositions est exacte :

L’équation f (x) = 0 admet exactement deux solutions, et ces solutions sont négatives.
. Réponse C.
10. On considère une fonction f définie sur R dont le tableau de signes est donné ci-dessous.
.
Parmi les quatre expressions proposées pour la fonction f , une seule est possible :
f(x) = -3x+6.
Réponse A.

12 On considère la relation C = (1+ t) 2 . On cherche à isoler la variable t. On a :
C½= 1+t ; t = C½-1..
 Réponse B.

13. Le diagramme en barres cidessous donne la production d’électricité, en Twh (térawatt-heure) selon son origine (source : INSEE). L’année où la production d’électricité d’origine hydraulique était la plus importante est :

2015- 2016.
Réponse D.

Exercice 1 (X points).
 Une biologiste désire étudier l’évolution de la population de singes sur une île. En 2025, elle estime qu’il y a 1 000 singes sur l’île.
 A. Premier modèle
Chaque année, la population de singes baisse de 10%.
1. Montrer qu’en 2026, il y aura 900 singes sur l’île.
1000 -1000 x10 /100 =900.
 2. Pour tout entier naturel n, on note un le nombre de singes sur l’île pour l’année 2025+n. On a donc u0 = 1000.
a. Indiquer ce que représente u2 et calculer sa valeur.
u1 =900 singes en 2026.
u2 = 900 -900 x10 /100 = 900-90 = 810 singes en 2027.
b. Déterminer la nature de la suite (un) et préciser sa raison.
un = 0,9 un-1, suite géométrique de premier terme u0 = 1000 et de raison q=0,9.
 c. Donner les variations de cette suite.
Suite décroissante.
3. Selon ce modèle, la population de singes est-elle menacée d’extinction ? Justifier.
un = u0 x 0,9n= 1000 x0,9n.
0,9 <1 ; 0,9n tend vers zéro si n tend vers +oo.
La population est menancée d'extinction.

B Second modèle.
On admet que l’évolution du nombre de singes est modélisée par la suite (vn) ainsi définie :
 vn+1 = 0,9vn +150 ;  v0 = 1000 , où vn désigne le nombre de singes sur l’île pour l’année 2025+n.
 1. Avec ce modèle, quelle sera la population de singes en 2026 ? Détailler le calcul.
n = 1 ; v1=0,9 v0+150=0,9 * 1000 +150=1050.
2. La feuille de calcul ci-dessous donne les valeurs arrondies à l’unité des premiers termes de la suite (vn). Quelle formule, destinée à être étirée vers le bas, fautil saisir dans la cellule B3 pour obtenir les termes de la suite (vn) ?

A
 B
1
 n
 vn
2
 0
 1000
3
 1
 1050
4
 2
 1095
5
 3
 1136
6
 4
 1172
7
 5
 1205
8
 6
 1234
9
 7
 1261
10
 8
 1285
11
 9
 1306
12
 10
 1326
13
 11
 1343
14
 12
 1359
15
 13
 1373
16
 14
 1386
17
 15
 1397
18
 16
 1407
19
 17
 1417
20
 18
 1425
21
 19
 1432
=0.9*B2+150.
 3. Indiquer en quelle année, la population de singes dépassera pour la première fois 1 400 individus.
2025+18=2043.

Exercice 2 (X points).
 On considère une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [−2 ; 6]. Sa courbe représentative, notée C est donnée

. • On sait que la courbe C passe par les points de coordonnées (0 ; 8), (2 ; 0) et (4 ; −8).
 • On note T la tangente à la courbe C au point d’abscisse x = 2.
• On sait que la tangente T coupe l’axe des ordonnées en y = 12. On note f ′ la fonction dérivée de f .
1. a. Déterminer les valeurs de f (2) et f ′ (2).
f(2)=0 ; f '(2)=0.
b. Donner une équation de la tangente T .
y = ax +b ; 0 = 2a+b.
a = -12 / 2 = -6 ; b = -2a = 12.
y = -6x+12.
c. Recopier et compléter le tableau de variation ci-dessous en utilisant le graphique.

2. On admet que la fonction f est définie sur l’intervalle [−2 ; 6] par f (x) = 0,5x 3 −3x 2 +8.
a. Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle [−2 ; 6], on a f ′ (x) = 1,5x(x −4).
f '(x) = 0,5 *3 x2-3*2x=1,5 x2-6x = 1,5x(x-4).
b. Étudier le signe de f ′ (x) et retrouver le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [−2 ; 6].
f '(x) =0 pour x=0 et x=4.
f '(x) < 0 sur [0 ; -4] ; f(x) est décroissante.
 f '(x) > 0 sur [-2 ; 0] union [4 ; 6] ; f(x) est croissante.
 3. On admet que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 2] on a f (x) < −6x +12. Que peut-on en déduire pour la courbe C et la tangente T sur l’intervalle [0 ; 2] ?
La tangente T est située au dessus de la courbe C.

Exercice 3 (X points).
 Indiquer, en justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
 1. Afin de lutter contre le dopage dans le sport, un test a été mis en place. En principe, ce test est POSITIF lorsque le sportif est dopé, et NÉGATIF lorsqu’il n’est pas dopé. Toutefois, ce test peut commettre des erreurs : il peut être positif lorsque le sportif n’est pas dopé, et négatif lorsque le sportif est dopé. Le tableau ci-dessous donne les résultats recueillis auprès de 200 coureurs ayant participé à un marathon.

 coureur non dopé
 coureur dopé
 total
test positif
 15
 5
 20
test négatif
 178
 2
 180
total
 193
 7
 200
a. On choisit un coureur au hasard parmi les 200 coureurs testés.
Affirmation 1 : La probabilité que le coureur ne soit pas dopé ou soit testé positif est égale à 213 /200 .
Affirmation fausse, la probabilité est supérieure à 1..
 b. On choisit un coureur au hasard parmi ceux ayant eu un test positif.
Affirmation 2 : Il y a 75% de chances que le coureur ne soit pas dopé.
15 non dopé sur 20 tests positifs : 15 / 20 = 0,75. Affirmation vraie.
 c. On choisit un coureur au hasard parmi les 200 coureurs testés.
Affirmation 3 : La probabilité que le coureur soit concerné par une erreur de test est égale à 8,5%.
Coureur non dopé et test positif : 15 ; coureur dopé et tets négatif :2.
Total d'eereur 17 sur 200 ; 17 /200 =0,085 ou 8,5 %.Affirmation vraie.
2. Au tennis, un SERVICE peut être réussi ou manqué. Une joueuse de tennis s’entraîne à faire des services. On admet que :
• la probabilité que son service soit réussi est égale à 0,9.
• les services sont indépendants les uns des autres. La joueuse fait deux services.
 Affirmation 4 : La probabilité qu’exactement un service soit réussi sur les deux est égale à 0,09 .
Probabilité de réussir les deux services : 0,9 x0,9 = 0,81.
Probabilité de rater les deux services :0,1 x0,1 = 0,01.
Probabilité de réussir un seul service : 1-0,81-0,01 = 0,18. Affirmation fausse.


  
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