Mathématiques. QCM.
Concours
CAPLP maths sciences 2025.
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Partie 1.
Mathématiques.
Exercice 1. Vrai ou faux.
Justifier.
1. On considère
l’équation dans C : z2−2iz−1+8i=0
. Proposition : Cette
équation admet deux solutions complexes dont les parties réelles sont
opposées ou nulles. Vrai.
On pose z = a+ib ; z2 = a2-b2+2iab.
a2-b2+2iab-2ia+2b-1+8i=0.
a2-b2+2b-1+2i(ab-a+4)=0.
La partie imaginaire et la partie réelle doivent être nulles :
ab-a+4=0 ; ab
= a-4 ; b = 1-4 /a.
a2-b2+2b-1 =0.
a2-(1-4/a)2+2(1-4/a)-1 =0.
a2-(1+16/a2-8/a)+2-8/a-1=0.
a2-1-16/a2+8/a+2-8/a-1=0
a2-16/a2=0
; a =2 et b = -1 ou a = -2 et b=3.
Solutions : z1 = 2-i ; z2 = -2+3i.
2. On considère un
triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont trois entiers
consécutifs.
Proposition
: Le seul triangle rectangle vérifiant cette condition est celui dont
les longueurs des côtés sont respectivement 3, 4 et 5. Vrai.
Relation de Pythagore : (x+2)2 = x2+(x+1)2.
x2+4x+4 = x2 +x2 +2x+1.
x2-2x-3=0 ; D
= (-2)2-4 (-3)=16 = 42.
Solution positive : x = (2+4) / 2 = 3.
3. Proposition : Si Julie
gagne 20 % de moins que Pauline, alors Pauline gagne 20 % de plus que
Julie. Faux.
Si Pauline gagne 100, Julie gagne 80.
Pauline gagne 20 / 80 x100 = 25 % de plus ue Julie.
4. On considère l’équation
différentielle (E) : y"(t)=y′(t)+2y(t) .
Proposition
: L’unique solution de (E) sur R telle que y(0)=y′(0)=0 est la fonction
nulle. Vrai.
y" -y' -2y=0 ; équation caractéristique : r2-r-2=0 ; D = (-1)2
-4x(-2)=9 = 32.
Solutions : r1 = (1+3) / 2 = 2 ; r2 = (1-3) / 2 =
-1.
y(t) = A e2t+Be-t avec A et B des constantes
réelles.
y(0) = A+B= 0 ; A=-B.
y'(t) =2Ae2t -Be-t ; y'(0) =2A-B = 0 ; B = 2A. A
= B = 0.
5. Soit X et Y
deux matrices carrées non nulles de même taille à coefficients réels.
Proposition
: Si XY =0 alors les matrices X et Y ne sont pas inversibles. Vrai.
XY diffère de la matrice identité : X et Y ne
sont pas inversibles.
6.
Un groupe est constitué de 6 filles et 4 garçons. On forme une équipe
de cinq personnes, composée de 3 filles et 2 garçons, extraits de ce
groupe.
Proposition
: On peut réaliser 120 équipes différentes. Vrai.
(6 3) x (4 2)=(6*5*4) /
(3*2) x (4*3) /2 =20 x6 =120.
7. On considère la
fonction f(x)=(x2+3x-2)½-x définie sur
l’intervalle [−1;+∞[.
Proposition
: la limite en +oo de f(x) est égale à 1,5. Vrai.
Multiplier par le conjugué de (x2+3x-2)½-x
;
(3x-2) / ((x2+3x-2)½+x) = x(3-2/x) / ((x2+3x-2)½+x)=x(3-2/x) / (x(1+3/x-2/x2)½+x)=(3-2/x ) / ((1+3/x-2/x2)½+1)
En plus l'infini : 3/x ; 2/x ; 2/x2
tendent vers zéro. f(x) tend vers 3 / 2 = 1,5.
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8. Une voiture roule à la vitesse
uniforme de 90 km.h−1 pendant 1 h 12 min, puis à 40 km.h−1
pendant une durée inconnue notée t. Sur l’ensemble du trajet, la
vitesse moyenne de cette voiture est égale à 50 km.h−1.
Proposition
: La durée inconnue est 4 h 48 min. Vrai.
90 km /h = 90 /60=1,5 km /min ; 40 km / h = 40/60=2 /3 km / min ; 50
/60 = 5 / 6 km /min.
1 h12 = 72 min ;
vitesse moyenne =( 1,5 x72 + 2 t/3) / (72+t) = 5 /6.
108 +2t/3=60+5t/6 ; 48 = t /6 ; t = 288 min ou 4 h 48 min.
9. On considère
trois suites numériques (un), (vn) et (wn)
définies sur N. On suppose qu’il existe un entier naturel N tel que,
pour tout n > N, un
≤ vn ≤ wn.
Proposition
: Si les suites (un ) et (wn) convergent alors la
suite (vn) converge. Vrai.
10. L’espace est
muni d’un repère orthonormé . On considère le plan (P) d’équation
−2x+3y−6z−27=0 et la sphère (S) de centre A(4 ;−1 ; 3) et de rayon R=8.
Proposition
: Le plan (P) est tangent à la sphère (S). Faux.
Equations paramétriques de la la droite d perpendiculaire à (P)
et passant par A :
x= -2t+4 ; y=3t-1 ; z=-6t+3 avec t réel.
Coordonnées du point H(x, y, z), projeté orthogonal de A sur le plan P :
-2(-2t+4) +3(3t-1)-6(-6t+3)-27=0.
4t-8+9t-3+36t-18-27=0 ; 49t= 56 ; t = 56 /49.
x =-2*56/49+4=-14/4=-7/2.
y = 3*56/49-1=119 / 49.
z=-6*56/49+3= -308 / 49.
Distance de A au plan P :
AH2=(-7 / 2-4)2+(119/49+1)2+(-308/49-3)2=
225 / 4+28 224 / 2401 +207 025 /2401~56,25 +11,76 +86,22 ~154,23 ;
AH ~12,4 > R. Le plan n'est pas tangent à la sphère.
11. Soit A et B
deux événements indépendants.
Proposition
: Les événements non A et non B sont des événements indépendants. Vrai.
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