Mathématiques, spécialité, Concours Geipi 2026.

Mathématiques, spécialité, Concours Geipi 2026.

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EXERCICE I (24 points)
L’espace est rapporté à un repère orthonormé. On considère le point A de coordonnées A(2 ;−1 ;−1) et la droite D dont un système d’équations paramétriques est donné par :
x=1+t ; y = 2t ; z = -1+t avec t réel.
Pour tout nombre réel t, on note M_tle point de la droite D, de coordonnées (1+t ;2t ; −1+t).
Le but de cet exercice est de déterminer la distance l entre le point A et la droite D par trois méthodes différentes.
Questions préliminaires
I-1- Justifier que le point A n’appartient pas à la droite D.
Si A appartient à la droite D :
x_A =2 = 1+t ; t =1.
y_A = 2t = 2 diffère de -1. Donc A n'appartient pas à la droite D.
I-2- Donner les coordonnées d’un vecteur directeur u de la droite D.
1 ; 2 ; 1.
Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A – Première méthode
I-3- On considère le plan P passant par A et orthogonal à la droite D. Donner une équation cartésienne du plan P. Justifier la réponse.
x +2y +z +d = 0.
A appartient au plan P : x_A+2y_A+z_A+d = 0.
2+2*(-1)+(-1)+d=0 ; d = 1.
x+2y+z+1=0.

I-4- Déterminer les coordonnées de B, point d’intersection de la droite D et du plan P. Justifier la réponse.
B appartient à la droite D : x_B=1+t ; y_B = 2t ; z_B = -1+t
B appartient au plan P : x_B+2y_B+z_B+1=0.
1+t +4t-1+t+1=0 ; 1+6t=0 ; t = -1/6.
B( 5/6 ; -1/3 ; -7/6).
I-5- Calculer AB². Justifier la réponse. On exprimera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
AB² =(5/6 -2)² +(-1/3+1)² +(-7/6+1)²=49 / 36 + 4/9 +1/36=66 /36 = 11/6.

Partie B – Deuxième méthode.
I-6- On considère la fonction f définie pour tout réel t par f(t) = AM_t².
Déterminer les réels a, b et c tels que f(t))=a t²+bt+c. Aucune justification n’est attendue.
AM_t² =(1+t-2)²+(2t+1)²+t²=t²+1-2t+4t²+1+4t+t²=6t²+2t+2;
a=6 ; b=2 ; c=2.
I-7-a- Compléter le tableau des variations de la fonction f. Les limites en −∞ et en +∞ ne sont pas attendues. Aucune justification n’est attendue.
f '(t) = 12t+2 ; f '(t) =0 si t = -1/6.
f 't) > 0 si t > -1/6 ; f(t) croissante.
f '(t) < 0 si t < -1 /6 ; f(t) décroissante.

I-7-b- Compléter avec les termes qui conviennent : « La fonction f admet un minimum / maximum en … qui vaut … . »
La fonction admet un minimum en -1/6 qui vaut 11 /6.

Partie C – Troisième méthode
On considère le point M₀(1 ; 0 ; −1) de la droite D.
I-8-a- Donner les coordonnées du vecteur AM₀. Aucune justification n’est attendue.
A(2 ;−1 ;−1) ; vecteur AM₀ : -1 ; 1 ; 0.
I-8-b- Donner la longueur AM₀. Aucune justification n’est attendue.
AM₀² = (-1)²+1²+0²=2 ; AM₀ = 2^½.
On note H le projeté orthogonal du point A sur la droite D.
I-9- Justifier qu’il existe un nombre réel k tel que .
H et M₀ sont deux points de la droite D. Le vecteur AM₀ et le vecteur directeur de la droite D sont colinéaires.
I-10-a- Justifier l’égalité : . On pourra admettre ce résultat pour la suite de l’exercice.
H étant le projeté orthogonal du point A sur la droite D.

I-10-b- En déduire la valeur de k.
I-10-c- En déduire la longueur HM₀. Aucune justification n’est attendue.

I-11- En déduire AH². Justifier la réponse. On exprimera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible. Conclusion
Le triangle AHM₀ étant rectangle en H : AH² = AM₀²-HM₀² = 2-1/6 = 11 / 6.
I-12- En déduire la valeur de l. Aucune justification n’est attendue.
l = (11 /6)^½.

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Mathématiques Spécialité - EXERCICE II (6 points)
On réalise un test de dépistage d’une maladie dans un élevage de bovins. Lors d’un test :
• la probabilité qu’un test réalisé sur animal malade soit positif est égale à 0,90 ;
• la probabilité qu’un test réalisé sur animal non malade soit négatif est égale à 0,8.
On considère l’expérience aléatoire qui consiste à tester un animal de l’exploitation.
On note M l’événement : « l’animal est atteint par la maladie ». On considère que, dans l’élevage où est réalisé ce dépistage, P(M)=0,25
On donnera les résultats sous la forme d’une fraction irréductible.
On choisit au hasard un animal de l’exploitation et on effectue un test. On note T l’événement : « le test est positif ».
II-1 - Donner P_M(T), P_M(non T), P_{non M}(T) et P_{non M}(non T).
P_M(T)= 9 /10 =0,9 ; P_M(non T)= 1/10 =0,1 ;
P_{non M}(T) = 1/5 = 0,2 ; t P_{non M}(non T)= 4/5 = 0,8.
II-2- Montrer que P(T) = 3 /8. Justifier et détailler le calcul.
Formule des probabilités totales :
P(T) = P(M n T) + P(non M n T) = P(M) x P(T) + P(non M) x P_{non M}(T) =1 /4 x9 /10 +3/4 x2 /10 = 15 /40 = 3 /8.
II-3- Calculer P_T(M). Justifier et détailler le calcul.
P_T(M) =P(M) xP_M(T) / P(T) = 9 /40 / (15 /40) = 9 /15 = 3 /5.

Mathématiques Spécialité – EXERCICE III (10 points)
On cherche à déterminer toutes les fonctions f vérifiant les conditions suivantes :
• la fonction f est définie, dérivable et ne s’annule pas sur R ;
• f(0)= 0,5 ;
• pour tout nombre réel x, f '(x)= (f(x))²−f(x)).
Le but de cet exercice est de démontrer que le problème P admet une unique solution.
III-1- On suppose que f est une fonction solution du problème P. Soit h la fonction définie pour tout nombre réel x par : h(x) = [1 /( f(x)-1]e^-x.
III-1-a- Donner h(0). Le détail des calculs n’est pas attendu.
h(0) = (1/ f(0)-1) e⁰=1.
III-1-b- Montrer que, pour tout nombre réel x, h '(x)=0. Détailler les calculs.
h'(x) =(-f '(x) / (f(x)² )e^-x+[1 /( f(x)-1](-e^-x) =e^-x[(-f '(x)-f(x)+(f(x))²)] / (f(x))² .
De plus f '(x) = (f(x))²−f(x)).
Par suite : -f '(x)-f(x)+(f(x))²= 0 ; donc h '(x) = 0.
III-1-c- Que peut-on en déduire pour la fonction h ? Aucune justification n’est attendue.
La fonction h est constante, égale à 1. h(x) =1 ; par suite : (1/f(x) -1) e^-x = 1.
III-1-d- En déduire que, pour tout nombre réel x, f(x)=1 / (e^x+1). Justifier la réponse.
1 / f(x) -1 = e^x ; 1/ f(x) = 1+e^x ; f(x) = 1 /(e^x+1).
III-2- Montrer que la fonction f définie par f(x))=1 /(e^x+1) est bien solution du problème P.
La fonction f(x) est définie, dérivable, ne s'annule pas sur R ; f(0) = 1/(e⁰+1) = 0,5.
f '(x) = -e^x /(1+e^x)² =(1-1-e^x) / (1+e^x)² =1 / (1+e^x)² -1/(1+e^x)= (f(x))²-f(x).

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