Aurélie 30/09/10
 

 

Détection de métaux  : bac S France 09 / 2010

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Un détecteur de métaux est un appareil capable de détecter la présence ou non de métal à distance. La méthode de détection peut s'appuyer  sur la variation de l'inductance d'une bobine à l'approche d'un métal. En effet, l'inductance augmente si on approche de la bobine un objet en fer, alors qu'elle diminue si l'objet est en or.
Le détecteur est équivalent à un oscillateur constitué d'un condensateur et d'une bobine.
Du fait de la variation de l'inductance de la bobine, l'oscillateur voit sa fréquence modifiée. Un montage électronique permet alors de comparer la fréquence de cet oscillateur à une fréquence fixe. La comparaison indique ainsi la présence d'un métal et sa nature.

Variation de l'inductance d'une bobine à l'approche d'un métal.
On dispose d'une bobine plate portant les indications L = 20 mH, r= 5,0 ohms. On décide de tester le comportement de cette bobine en présence ou non de métaux dans le but de vérifier la variation de l'inductance.
Le montage utilisé est réalisé avec un générateur de tension continue de fem E =5,0 V, un conducteur ohmique de résistance R = 10 ohms et la bobine d'inductance L et de résistance r.

On enregistre l'évolution de la tension uR aux bornes du conducteur ohmique de résistance R en fonction du temps. L'origine des temps est prise à la fermeture de l'interrupteur. l'expérience est faite dans un premier temps sans métal à proximité ( courbe a) puis avec un morceau de fer à proximité de la bobine ( courbe b).


 
 

Expliquer pourquoi l'évolution de la tension uR représente celle de l'intensité du courant i dans le circuit.
La tension aux bornes d'un conducteur ohmique et l'intensité qui le traverse sont proportionnelles. L'image de l'intensité est l'image de la tension au facteur R près.
Repérer sur la courbe a le régime transitoire et le régime permanent. Expliquer qualitativement le phénomène observé pour l'intensité.

La bobine inductive stocke de l'énergie ; il en résulte un retard à l'établissement du courant.
Comment évolue l'intensité  du courant dans chaque régime ?

En régime transitoire, l'intensité croît à partir de zéro ; en régime permanent, l'intensité est constante.

Donner l'expression de la tension uB aux bornes de la bobine. Que devient cette expression en régime permanent ?
uB = L di/dt + r i ; en régime permanent l'intensité est constante et dI/dt = 0 : uB = rI.
La constante de temps du dipôle étudié est t = L/(R+r).

Montrer par analyse dimensionnelle que t est homogène à un temps.
Energie : ½LI2 ; [L] = Joule Ampère-2 ;
Energie ( Joule) : (R+r) I2 t : [R+r] = Joule Ampère-2 seconde-1.
[t] = Joule Ampère-2 Joule-1 Ampère2 seconde = seconde
Déterminer graphiquement ta et tb.

Comparer les valeur La et Lb correspondantes. Conclure.
A R+r constant, la constante de temps est proportionnelle à l'inductance : La < Lb ; ce qui confirme l'information donnée dans le texte.





L'oscillateur.
L'oscillateur utilisé dans le détecteur est équivalent à un oscillateur électrique non amorti constitué par un condensateur et une bobine de résistance nulle schématisé ci-dessous. Dans un souci de simplification, le dispositif de charge n'est par représenté.

Donner l'expression de la tension uL en fonction de L et i.
uL = L di / dt.

        
Donner l'expression  de l'intensité du courant i en fonction de C et uC.

q = CuC et i = dq/dt avec C une constante. Par suite i = C duC/dt et di/dt = C d2uC/dt2.

         Etablir l'équation différentielle vérifiée par uC.
Additivité des tensions : uL +uC = 0 ;
L di / dt + uC = 0 ; LC d2uC/dt2+ uC = 0.
 d2uC/dt2+1/(LC) uC = 0.
L'équation différentielle est de la forme 
d2uC/dt2+4p2/T02 uC = 0. T0 est la période propre de l'oscillateur.
Exprimer T0 en fonction de L et C.
Par identification :
1/(LC) = 4p2/T02 ; T02 = 4p2LC ; T0 = 2p (LC)½.
On donne l'enregistrement de la tension uC en absence de métal à proximité de l'oscillateur.







Déterminer graphiquement T0.

T0 = 50 µs = 5,0 10-5 s.
En déduire la capacité C utilisée. ( En absence de métal L = 0,020 H).
T02 = 4p2LC ; C = T02 / ( 4p2L) = (5,0 10-5)2 / (4*10*0,02) =25 10-10 / 0,8 ~3,1 10-9 F = 3,1 nF.

Recherche de métaux.

En absence de métal à proximité, la fréquence propre de l'oscillateur est voisine de 20 kHz.
 
Comment évolue cette fréquence si on approche la bobine d'un objet en or ?

L'inductance augmente si on approche de la bobine un objet en fer, alors qu'elle diminue si l'objet est en or.
Fréquence de l'oscillateur : f0 = 1 /(2p(LC)½).
Si l'inductance diminue en présence d'or, alors la fréquence augmente.

Au cours d'une recherche, on détecte un signal de fréquence 15 kHz. 
A t-on trouvé de l'or ? Justifier.
La fréquence diminue  : l'inductance augmente, C étant constante.
Or l'inductance augmente si on approche de la bobine un objet en fer.
On n'a pas trouvé d'or.






 

 

 

 

 

 

 

 










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