Energie
hydraulique, g�othermie :
concours g�n�ral 2010.
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La
pr�sence de nombreux cours d'eau a fort d�bit permet � certains pays,
comme le canada, d'assurer une importante proportion d'�nergie
�lectrique � base d'hydro�lectricit�. Les questions qui suivent visent
� examiner comment, par une relation simple, il est possible de donner
une estimation de la puissance maximale disponible � partir de quelques
grandeurs physiques comme le d�bit volumique Dv ( m3
s-1) et la hauteur de chute H.
On donne Dv = 1,2 m3 s-1;
H = 237 m. Etude de la
chute d'eau.
En consid�rant une masse m d'eau qui coule le long d'un plan inclin�
comme le ferait un mobile soumis � son poids et � une force de r�action
du plan perpendiculaire � celui-ci, exprimer
l'acc�l�ration a = d2x/dt2 en fonction de g et
a.
Ecrire
la seconde loi de Newton suivant l'axe des x : A quelle hypoth�se
correspond le fait de consid�rer la r�action du plan perpendiculaire �
celui-ci ?
On n�glige les frottements.
Pour une vitesse initiale nulle,d�terminer, � partir
du r�sultat pr�c�dent ou d'un th�or�me � �noncer, la vitesse vA atteinte par la
masse d'eau lorsqu'elle a parcouru une longueur L sur le plan.
La vitesse est une primitive de l'acc�l�ration ( la constante
d'int�gration est nulle, car la vitesse initiale est nulle )
v = g sin a t soit t =
v / (g
sin a)
La distance parcourue est une primitive de la vitesse ( la constante
d'int�gration est nulle si on choisi l'origine de l'axe en D )
x= �gsin
a t2.
Remplacer t par son expression : x =�v2 / (g sin a) ; soit en A : vA = (2gL sina)� = (2gH)�.
Ou bien �crire le th�or�me de l'�nergie cin�tique : R, perpendiculaire
au plan ne travaille pas ; le travail du poids est moteur en descente
et vaut mg L sin a. En
d�duire l'expression de l'�nergie cin�tique correspondante en fonction
de m, g et H. Ec = �mvA2
= �m *2g H = mgH. Retrouver
ce r�sultat en invoquant la conservation d'une grandeur �nerg�tique.
On choisit l'origine de l'�nergie potentielle en A.
En D, l'�nergie m�canique est sous forme d'�nergie potentielle de
pesanteur : mgH.
En A, l'�nergie m�canique est sous forme cin�tique : �mvA2.
En absence de frottement, l'�nergie m�canique se conserve : �mvA2= mgH.
En quoi ce r�sultat
donne-t-il la valeur maximale de la vitesse VA obtenue ? Dans la r�alit�, il faut tenir
compte des frottements. L'�nergie m�canique ne se conserve pas.
On
peut s'interroger sur l'intervention des autres �l�ments du fluide en
�coulement. Pour ce faire, on propose d'utiliser, sans la justifier,
l'�quation de Bernoulli qui stipule que dans un �coulement, sous
certaines hypoth�ses que l'on supposera remplies ici, la grandeur P +�rv2 +rgz a une valeur constante en tous
les poits de l'�coulement.
P d�signe la pression, r la
masse volumique de l'eau ( constante), v la vitesse de l'�coulement et
z l'altitude du point. Sur
la figure ci-dessus, choisir deux points et montrer que l'on peut
retrouver la vitesse VA exprim�e ci-dessus.
On choisit les points A et D � la surface de l'eau : les
pressions sont alors �gales en A et D � la pression atmosph�rique. Le
point D appartenant � une vaste �tendue d'eau ( lac ), la vitesse
d'�coulement en D est pratiquement nulle. PD +�rvD2 +rgzD = PA +�rvA2 +rgzA ; rgzD =+�rvA2 +rgzA ; gzD =+�vA2 +gzA ; vA2 = 2g(zD-zA)
= 2gH.
Puissance
r�cup�rable par la turbine.
Lorsque l'eau arrive avec la vitesse vA sur la turbine, les
p�les de celle-ci exercent une force qui ralentit la vitesse
d'�coulement. On se place ici dans le cas id�al o� la vitesse finale
est nulle. En raisonnant sur
une masse m d'eau qui passe de la vitesse vA � 0, donner le
travail de la force exerc�e par la turbine ( on
pr�cisera la loi physique employ�e et la signification des termes ).
Th�or�me
de l'�nergie cin�tique, seule la force F travaille
: W =�mvA2 = mgH. Deduire
de ce r�sultat la relation qui existe entre la puissance maximale que
l'on peut convertir en �lectricit� dans la centrale hydro�lectrique, le
d�bit volumique Dv et la hauteur de chute H. ( d'autres grandeurs de valeurs constantes sont
n�cessaires). Dv=
volume d'eau qui s'�coule en 1 seconde dans la conduite Dv = m / ( rDt) d'o� m = Dvr Dt. W
= Dvr Dt g H ; Pmaxi = W / Dt = Dvr g H. A.N : Pmaxi =1,2
*1000*9,8*237 = 2,8 106 W.
En pratique, la puissance P r�ellement disponible est plus faible. Comment
peut-on d�finir un coefficient sans dimension, compris entre 0 et 1,
rendant compte de la part de la puissance disponible r�cup�r�e ?
Le coefficient peut �tre d�fini par : P / Pmax. Citer
quelques ph�nom�nes qui expliquent l'�cart entre ce qui est disponible
et ce qui est r�ellement obtenu.
La vitesse de l'eau � la sortie de la turbine n'est pas nulle ; tenir
compte des frottements et des pertes de charge dans la conduite.
Il faut �galement prendre en compte le rendement du groupe
turbine-alternateur.
G�othermie.
Lorsqu'il est possible d'acc�der dans le sous-sol � des nappes
d'eau chaude, on peut envisager de r�cup�rer de l'�nergie par un
ensemble de proc�d�s qui fondent la g�othermie. Il est ainsi possible
d'utiliser directement, sous forme thermique, une partie de l'�nergie
r�cup�r�e, pour chauffer des habitations, mais il est �galement
possible d'envisager une production d'�nergie �lectrique. Etude d'une centrale g�othermique.
Un forage fournit un d�bit D =250 kg s-1 d'eau chaude � la temp�rature q1 = 165�C sous la pression P1 = 7,0 105
Pa. Dans ce �tat, not� (1), le fluide extrait est compos� d'un m�lange
d'eau liquide et de vapeur d'eau, dont la composition en masse est
d�finie par le taux de vapeur x1 = 0,25, correspondant � 25%
de vapeur et � 75 % de liquide. Le concepteur de l'installation doit
alors imaginer un syst�me permettant de tirer parti de cette source
d'�nergie, en vue d'optimiser la puissance �lectrique r�cup�r�e.
Une premi�re contrainte d�coule de ce qu'il n'est pas �quivalent de
transformer de l'�nergie �lectrique en �nergie thermique et de faire
l'inverse. Ainsi, il est possible de chauffer de l'eau dans une
bouilloire en consommant de l'�lectricit�, il ne suffit pas de verser
de l'eau chaude dans la bouilloire pour esp�rer r�cup�rer de l'�nergie
�lectrique en attendant que l'eau refroidisse. On dit que la
transformation n'est pas r�versible. Par quel proc�d� simple peut-on transformer de l'�nergie �lectrique en �nergie thermique ( chaleur ) ? Le passage du courant �lectrique dans un conducteur s'accompagne d'un d�gagement de chaleur ( effet Joule ).
Propri�t� du m�lange eau liquide- vapeur d'eau. Si on utilise une quantit� d'�nergie �gale � E =104 J, quelle masse d'eau liquide initialement � 10�C peut-on porter � 100�C ? ( l'eau restant liquide ).
E = m c Dq avec c = 4180 J kg-1 �C-1.
m = E / (c Dq) = 104 / (4180*90)=0,02658 ~0,027 kg. Quelle quantit� d'�nergie suppl�mentaire E' faut-il fournir pour vaporiser cette masse d'eau ( la vapeur �tant obtenue � 100 �C et la pression �tant 105 Pa).
Energie thermique ( chaleur latente ) de changement d'�tat H2O(l) --> H2O (g) : 44 kJ mol-1. 0,02658 kg = 26,58 g soit 26,58/18 =1,477 mol d'eau ; E' = 44*1,477 ~ 65 kJ = 6,5 104 J. En comparant E et E' justifier pourquoi la plupart des machines thermiques mettent en jeu des changements d'�tat? E'
est bien sup�rieure � E ; lors d'un changement d'�tat physique,
l'�nergie mise en jeu est bien sup�rieure � celle correspondant � la
variation de temp�rature de la m�me masse d'un fluide ( sans changement
d'�tat).
Une formule approch�e donne la pression du changement d'�tat liquide-vapeur ( L=V) de l'eau � la temp�rature q ( �C) : PL=V =[q/100]4 avec PL=V en atmosph�re, que l'on assimilera au bar, c'est � dire � 105 Pa.
Pour quelle temp�rature cette expression a-t-elle manifestement �t� ajust�e ? PL=V = 1 bar si la temp�rature est �gale � 100 �C. Justifier l'int�r�t de fermer un auto-cuiseur ( cocotte-minute ) avec un couvercle �tanche muni d'une soupape.
La pression �tant sup�rieure � 1 bar, la temp�rature d'�bullition de
l'eau est sup�rieure � 100�C : les aliments cuisent plus rapidement. Justifier pourquoi en haute montagne il est difficile de faire cuire des p�tes. La pression �tant inf�rieure � 1 bar, la
temp�rature d'�bullition de l'eau est infp�rieure � 100�C : les aliments
cuisent plus lentement. Quelle valeur de pression de changement d'�tat aurait donn�e la formule approch�e pour la temp�rature q1 ? PL=V =[165/100]4 =7,4 bar.
R�cup�ration de puissance par d�tente.
Pour amener 1 kg d'eau liquide initialement � q0 = 45,8�C vers l'�tat (1) d�fini ci-dessus, il faut fournir une �nergie �gale � Q = 1,02 106 J kg-1. Si la transformation inverse �tait possible dans une turbine, c'est � dire s'il ne se posait pas le probl�me de �versibilit�, quelle serait la puissance P r�cup�r�e pour le d�bit D donn� ci-dessus ?
D =250 kg s-1 ; P = Q D = 1,02 106 * 250 =2,55 108 W.
En pratique, il faut renoncer � cette solution. On extrait alors la
vapeur du m�lange issu du forage. L'organe appel� s�parateur (
s�parateur 1 ) effectue cette s�paration sans n�cessiter d'�nergie et �
pression constante. On d�tend la vapeur obtenue dans une turbine (
turbine 1) o� l'�nergie r�cup�r�e par kg de vapeur d�tendue est w1 = 639 kJ kg-1. A partir de la composition de (1), calculer le d�bit massique de vapeur d�tendue.
25% en masse de vapeur soit D1 =0,25 D = 0,25*250 = 62,5 kg s-1. En d�duire la puissance utile P1 r�cup�r�e dans la turbine 1. Commenter.
P1 = D1 w1 =62,5 *639 ~4,0 104 kW.
Cette valeur est tr�s inf�rieure � la puissance r�cup�r�e dans l'hypoth�se de la r�versibilit�.
La solution pr�c�dente est perfectible, car il est int�ressant de tirer
�galement profit de la fraction d'eau liquide chaude qui reste apr�s la
premi�re s�paration de la vapeur. Une d�tente de ce fluide permet
d'obtenir, avec un m�me d�bit massique, un m�lange liquide vapeur dans
l'�tat (2) : P2 = 1,0 105 bar, q2 = 100 �C et taux de vapeur x2
= 0,12. On peut alors s�parer la vapeur ( s�parateur 2 ) et la d�tendre
dans une seconde turbine, o� chaque kg de vapeur d�tendue fournit w2 = 341 kJ kg-1. Quel suppl�ment de puissance P2 obtient-on ?
250*0,75 = 187,5 kg s-1 de liquide soit 187,5*0,12 = 22,5 kg s-1 de vapeur.
P2 = 22,5 w2 =22,5*341 =7,67 103 kW ~7,7 103 kW.
Puissance totale : 4,0 104 + 7,7 103 = 4,7 104 kW.
Notion de cog�n�ration.
Une
telle installation fournit de la puissance �lectrique, mais rejette
�galement de l'eau chaude, qui appara�t comme un ressource � valoriser.
On ne peut souvent pas utiliser cette eau de forage pour un usage
domestique, mais r�cup�rer � partir d'elle de l'�nergie thermique. On
met alors en jeu un �changeur thermique, dispositif dans lequel l'eau
rejet�e et l'eau domestique �changent de l'�nergie thermique sans se
m�langer. On n�gligera dans l'�tude qui suit toutes les pertes
thermiques vers l'ext�rieur.
On suppose qu'un d�bit D d'eau rejet�e, initialement � q2 = 100�C, �change avec un m�me d�bit D'=D d'eau � usage domestique initialement � q3 = 5�C. Si la temp�rature de sortie de l'eau domestique est �gale � q4 =60�C, quelle sera la temp�rature q5de sortie de l'eau rejet�e ?
Puissance thermique gagn�e par l'eau domestique : P1 = D' c (q4-q3)
Puissance thermique c�d�e par l'eau issue du forage : P2 = D c (q5-q2)
Pas d'�change avec l'ext�rieur : P1 + P2 = 0 ; q4-q3 + q5-q2 = 0 q5=q3 +q2 -q4 = 5+100-60= 45�C.
On d�termine les caract�ristiques de l'�changeur thermique de telle mani�re que l'eau rejet�e entre � q2 = 100�C et sorte � q'5 = 10�C. Si les temp�ratures d'entr�e et de sortie de l'eau domestique restent q3 et q4 pr�c�dentes, calculer le rapport D'/D des d�bits des deux circuits.
D' c (q4-q3) + D c (q'5-q2)=0 ; D' (60-5) +D (10-100)=0 ; 55D' =90 D ; D'/D = 1,6.
