Aurélie 26/08/12
 

 

   Détecteur de métaux : bac STL PLPI 2012.

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Les détecteurs de métaux sont couramment utilisés lors du triage sélectif des déchets dans l’industrie, durant les contrôles de sécurité ou dans la recherche de métaux précieux. Leur principe est le suivant :
L’inductance L d’une bobine varie lorsqu’un métal se trouve à proximité. Cette bobine est l’un des composants d’un oscillateur dont la fréquence dépend de la valeur de L. Elle joue le rôle de détecteur de métal.
Le traitement du signal produit par un filtre permet de mettre en évidence le changement de fréquence dû à la présence de matériaux métalliques. L’étude proposée se décompose en différentes parties A, B, C et D correspondant aux éléments représentés sur le schéma de fonctionnement :

Les amplificateurs opérationnels sont considérés comme parfaits et sont alimentés par des tensions symétriques. Les tensions de saturation ± Vsat sont égales aux tensions d'alimentation. On prendra ± Vsat = ± 14V.
On notera ε la différence de potentiel existant entre les entrées E+ et E- de l’AO. Les diodes sont considérées comme parfaites (tension de seuil nulle, résistance interne nulle).
Seules les conditions de détérioration des diodes électroluminescentes sont prises en compte en partie D.

Etude du circuit RLC.
Un circuit RLC série  est alimenté par un générateur délivrant une tension sinusoïdale de valeur efficace E et de
pulsation ω dont l’expression est : u(t) = E. 2½.sin(ω.t)
Déterminer l’expression de l’impédance complexe Z associée au dipôle série RLC en fonction des grandeurs R, L, C et ω.
Z = R+j(Lw-1/(Cw)).
Exprimer le module Z de Z en fonction des grandeurs R, L, C et ω.
Z = (R2 +(
Lw-1/(Cw))2)½.
Ecrire le nombre complexe U associé à la tension u(t) et exprimer le nombre complexe I associé au courant i(t) en fonction des nombres complexes Z et U.
U =
E. 2½ ; I = U / Z.
Exprimer l’intensité I, module du nombre complexe I en fonction des grandeurs E, R, L, C et ω.
I =
E. 2½ / (R+j(Lw-1/(Cw))) = E. 2½ (R-j(Lw-1/(Cw))) (R2 +(Lw-1/(Cw))2).
I =
E. 2½(R2 +(Lw-1/(Cw))2)½.
Montrer que l’intensité I est maximale (de valeur Imax) dans le circuit lorsque la fréquence f prend la valeur f0 = 1/(2p (L.C)½).
Le dénominateur
(R2 +(Lw-1/(Cw))2) doit être minimum égal à R soit Lw0-1/(Cw0) =0 ;
w02 = 1/(LC) ; w0 =1/(LC)½ ; de plus f0 = w0/(2p) d'où :
f0 = 1/(2p (L.C)½).
On donne : R = 12 ohms, L = 85 mH, C = 10 nF et E = 5,0 V.
Calculer la valeur de la fréquence f0 et de l’intensité maximale Imax.
f0 = 1/(2*3,14(0,085*10-8)½) =5459 ~5,5 104 Hz.
Imax =
E. 2½/ R =5,0*1,414 / 12 =0,589 ~0,59 A.
Etude du dipôle dit « à résistance négative ».
 L’amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire.

 Donner la relation entre les tensions ue, ε et u+. Quelle est la valeur de la tension ε ? Expliquer la réponse.
ue +
e = u+ ; en régime linéaire, e =0.
Exprimer l’intensité i en fonction des grandeurs ue, R1 et us.
ue = us+ R1 i ; i = (
ue - us) / R1.
Exprimer la tension us en fonction des grandeurs R0, R2 et u+.
us =(R0+R2) i' ; u+ = R0 i' ;
us =(R0+R2) u+ / R0.
 En déduire l’intensité i en fonction des grandeurs ue, R1, R2 et R0.
i = ue (1-(R0+R2)/ R0) / R1 = - ue R2/ (R0  R1 ).
Montrer que la tension ue peut se mettre sous la forme : ue = - RN.i avec RN = R1.R0  /R2.
ue = -(R0  R1 ) / R2 i = -RN i.

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Association du dipôle RLC et du dipôle dit « à résistance négative ».
Le dipôle AB a pour schéma équivalent la résistance RN définie précédemment. On associe cette résistance au dipôle RLC.

Condition d’oscillation du dipôle :
La valeur de RN doit être égale à la valeur de la résistance R du dipôle RLC afin que des oscillations s’entretiennent dans le circuit.
On donne : R = 12 ohms, R1= 1,0 kW, R2 = 10 kW.
Calculer la valeur que doit prendre la résistance R0 afin que cette condition soit réalisée.
RN = R1.R0  /R2. R0 =RN R / R0 = 12*10 / 1 = 120= 1,2 102 ohms
 Mise en oeuvre de l’oscillateur :
La fréquence d’oscillation fosc de cet oscillateur est la même que la fréquence de résonance f0 du circuit RLC.
Exprimer l’inductance L en fonction des grandeurs fosc et de C.
fosc = 1/(2p (L.C)½) ; L = 1/(4p2Cfosc2 ).
Suivant la quantité et la proximité de métal aux alentours de la bobine, la valeur de L varie. On considère 3 échantillons de matière, A, B et C. L’échantillon A ne contient pas de métal alors que les 2 autres en contiennent.
La valeur de la capacité C est de 10 nF. On mesure pour les 3 échantillons la valeur de la fréquence fosc obtenue :
Calculer la valeur de l’inductance L en mH pour chacun des 3 échantillons.
EchantillonABC
fosc (Hz)500051005400
L(mH)1,0 1029787
Etude expérimentale du filtre sélectif utilisé.

Afin de faire une étude du filtre sélectif, on branche à l'entrée un générateur délivrant une tension sinusoïdale u1 et on visualise la tension de sortie u2 à l'oscilloscope.
On note U1 et U2 les valeurs efficaces des tensions u1 et u2. Une étude expérimentale permet d’obtenir le tracé de la fonction de transfert T en fonction de la fréquence f : T(f) = U2 /U1.
Donner la nature du filtre (passe bande, passe haut, passe bas) en expliquant votre réponse.
T est nulle pour les faibles fréquences et les hautes fréquences ; T présente un maximum : il s'agit d'un filtre passe bande.
Repérer la fréquence d'accord f0 du filtre pour laquelle T(f) atteint sa valeur maximale Tmax. Donner la valeur de f0 et la valeur de Tmax.

Expliquer par quelle démarche expérimentale on peut trouver cette fréquence d’accord.
Faire varier la fréquence, noter la valeur U2 à U1 constante.
 Repérer  les valeurs f1 et f2 des fréquences de coupure pour lesquelles on a T = Tmax / 2½. Indiquer les valeurs de f1 et f2 et en déduire la largeur Δf de la bande passante
de ce filtre.
Df = f2-f1 = 5,08-4,92 =0,16 kHz.
Association de l’oscillateur et du filtre sélectif.
L’oscillateur de la partie A permet de générer un signal sinusoïdal de valeur efficace U1 = 10V dont la fréquence dépend de la proximité de métal. On applique successivement à l’entrée du filtre les tensions u1A, u1B et u1C
correspondant respectivement aux échantillons A, B et C.
 Relever sur la courbe pour chacun des 3 signaux la valeur de T du filtre sélectif.

En déduire pour chacun d’eux la valeur efficace U2 de la tension en sortie du filtre.
EchantillonABC
T1,00,630,20
U2 = U1 T (V)106,32,0
Montage détecteur de crête.

L’allure de la tension u2 pour le signal de l’échantillon C est représentée sur les figures 2 et 3. Cette tension est appliquée à l’entrée du montage représenté sur le schéma 5.
Représenter alors la tension u3R.

La diode passante est parfaite ; la tension à ses bornes est nulle ; la diode ne laisse pas passer le courant quand u2 est négative.
On ajoute au montage précédent un condensateur en dérivation avec la résistance.( schéma 6).
Quel est le rôle de ce condensateur ? Donnant l’allure de la tension u3.
Lorsque la tenion u3R croît, le condensateur se charge ; lorsque la tension
u3R décroît ou s'annule, le condensateur se décharge à travers le résistor R3. Les variations de u3R sont " nivellées".




Visualisation de la présence d'un métal.
Le montage étudié est présenté sur le schéma 7.

La tension U est une tension continue dont la valeur dépend de la présence de métaux.
U3 A = 14 V ; U3 B = 8,5 V ; U3 C = 2,8 V.
Donner le régime de fonctionnement de chaque amplificateur opérationnel de ce montage. Justifier la réponse.
Quelles sont les deux valeurs possibles pour la tension de sortie de chaque amplificateur opérationnel ?
Il n'y a pas de boucle entre la sortie et l'entrée inverseuse E-. E- : on applique une tension de référence ; E+ : on applique U3 : les AO fonctionnent en mode de saturation, deux valeurs de sortie sont possibles +Vsat ou - Vsat.
Quelle est la valeur de l’intensité i- entrant dans l’entrée inverseuse de l’AO1? Justifier la réponse.
L'impédance d'entrée étant très grande ( voire infinie, AO parfait ), l'intensité i- est nulle.
Exprimer l’intensité du courant I arrivant au noeud N1 en fonction des grandeurs R5 et de EREF.
EREF = 5 R5 I soit I =
EREF/ ( 5 R5 ).
 Exprimer la tension UN3M en fonction de la tension d’entrée EREF.
UN3M = 3 R5 I = 3/5 EREF = 0,6 EREF.
Sachant que EREF vaut 13V, calculer la valeur numérique de UN3M.
UN3M =0,6 *13 = 7,8 V.
On donne les potentiels suivants : UN1M =13 V ; UN2M =10,4 V ; UN3M = 7,8 V ; UN4M =5,2 V ; UN5M =2,6 V.
Compléter le tableau du document réponse en indiquant pour chaque échantillon si les diodes électroluminescentes sont allumées ou éteintes.
UN1M =13 V ; U3 A = 14 V ; U3 A -UN1M positive, donc la tension de sortie de l'AO1 vaut + Vsat : D1 est passante.
UN2M =10,4 V ; U3 A = 14 V ; U3 A -UN2M positive, donc la tension de sortie de l'AO2 vaut + Vsat : D2 est passante. De même pour les autres diodes.
UN1M =13 V ; U3 B = 8,5 V ; U3 B -UN1M négative, donc la tension de sortie de l'AO1 vaut - Vsat : D1 est non passante. De même pour D2.
UN3M =7,8 V ; U3 B = 8,5 V ; U3 B -UN3M positive, donc la tension de sortie de l'AO3 vaut + Vsat : D3 est passante. De même pour D4 et D5.
UN1M =13 V ; U3 C = 2,8 V ; U3 C -UN1M négative, donc la tension de sortie de l'AO1 vaut - Vsat : D1 est non passante. De même pour D2, D3, D4.
UN5M =2,6 V ; U3 C = 2,8 V ; U3 C -UN5M positive, donc la tension de sortie de l'AO5 vaut + Vsat : D5 est passante. 

Etat des diodes
EchantillonD1D2D3D4D5
Apassantepassantepassantepassantepassante
Bnon passantenon passantepassantepassantepassante
Cnon passantenon passantenon passantenon passantepassante
Préciser brièvement le rôle des résistors Rp et des diodes Dp en vous aidant des références données pour les DEL.
Références DEL : Les diodes électroluminescentes supportent une intensité maximale Imax de 35 mA et une tension en polarisation inverse maximale Vrmax de 5,5 V.
Les résistors Rp limitent l'intensité du courant. Les diodes  Dp sont passantes si les diode Di sont non passantes : la tension aux bornes des diodes non passantes reste inférieure à 5,5 V.
On dispose de deux types de résistors, les uns de résistance R = 50 ohms et les autres de valeur R = 500 ohms.
 Expliquer lequel on doit utiliser pour les résistances Rp.
La tension aux bornes des diiodes parfaites passantes est nulle ; la tension aux bornes de Rp vaut + Vsat  = Rp mini Imax ;
Rp mini  = Vsat  / Imax = 14 / 0,035 = 400 ohms. On choisit Rp = 500 ohms.









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