Aurélie 10/04/12
 

 

   Solénoïde, inductance, dipôle RL : méthode d'Euler : concours kiné Berck 2012.



 

Répondre aux questions en expliquant brièvement votre démarche.



Le circuit ci-dessous comporte :
- Un générateur de tension de fem E0 et de résistance interne r0.
- un interrupteur K à deux positions. 
- Une bobine d'inductance L et de résistance r.
- Deux conducteurs ohmiques de résistances R1 et R2.
- Un ampèremètre.

La bobine sera considérée comme un solénoïde de longueur L, de diamètre D et comportant N spires.
E0 = 12 V ; r0 = 2,0 ohms ; R1 = 20 ohms ; R2 = 7,0 ohms ; L = 52 cm ; D = 9,0 cm.
L'inductance du solénoïde est L = µ0N2S/l où S désigne la surface d'une spire.
La valeur du champ magnétique à l'intérieur du solénoïde est : B00N I / l.

On place l'interrupteur en position 1 pendant le temps nécessaire pour atteindre le régime permanent.
On place la sonde d'un teslamètre à l'intérieur de la bobine et on mesure la valeur du champ magnétique B0 = 1,8 mT.
L'ampèremètre indique I = 0,48 A.



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Déterminer la valeur de l'inductance L ( en mH) de la bobine.
S =pD2/4 =3,14 *0,092/4 =6,362 10-3 m2.
B00N I / l ; N = B0 l  /(µ0 I) =1,8 10-3 *0,52 /( *3,14 10-7 *0,48) =1,552 103.
L = µ0N2S/l=4 *3,14 10-7*(1,552 103)2 *6,362 10-3 / 0,52=3,7 10-2 T = 37 mH.
Calculer la valeur de la résistance r de la bobine.
En régime permanent la bobine se comporte comme un conducteur ohmique : la tension à ses bornes est r I.
Additivité des tensions : E0-r0I = R1I +rI ; r =
E0/I-r0-R1 = 12/0,48-2-20= 3,0 ohms.
En déduire la valeur ELmax ( en mJ) de l'énergie stockée dans la bobine en régime permanent.
ELmax = ½LI2 =0,5 *0,037*0,482 =4,26 10-3 J ~4,3 mJ.







A un instant t=0 pris comme origine des dates, on bascule l'interrupteur en position 2. L'équation différentielle qui traduit l'évolution de l'intensité du courant dans le circuit est di/dt +i/t=0.
Pour résoudre numériquement cette équation, on utilisera exclusivement la méthode itérative d'Euler. On prendra un pas de calcul Dt égal au dixième de la valeur de la constante de temps du circuit.
Déterminer la valeur de l'intensité i ( en A) du courant à a date  t = 5 Dt.
t = L/(R2+r) =0,037 /(7+3) =3,7 10-3 s.
A t=0, r i(0) = E0-(r0+R1)i(0) ; i(0) =
E0/(r+r0+R1)=12/(2+3+20) =0,48 A.
A t0+, la continuité de l'intensité impose i(
t0+)=0,48 A.
Di = i(t0+Dt) -i(t0) = -i(
t0) Dt/ t  = -0,48*3,7 10-4 /3,7 10-3 =-0,048 A ; i(t0+Dt)= 0,48 -0,048 =0,432 A.
i(t0+2Dt) -i(t0+Dt) = -i(t0+Dt) Dt/ t  = -0,432*3,7 10-4 /3,7 10-3 =-0,0432 A ; i(t0+2Dt)= 0,432 -0,0432 =0,3888 A.
i(t0+3Dt) -i(t0+2Dt) = -i(t0+2Dt) Dt/ t  = -0,3888*3,7 10-4 /3,7 10-3 =-0,03888 A ; i(t0+3Dt)= 0,3888 -0,03888 =0,345 A.
i(t0+4Dt) -i(t0+3Dt) = -i(t0+3Dt) Dt/ t  = -0,345*3,7 10-4 /3,7 10-3 =-0,0345 A ; i(t0+4Dt)= 0,345 -0,0345 =0,3154 A.
i(t0+5Dt) -i(t0+4Dt) = -i(t0+4Dt) Dt/ t  = -0,3154*3,7 10-4 /3,7 10-3 =-0,03154 A ; i(t0+5Dt)= 0,3154 -0,03154 =0,284 A ~0,28 A.
En déduire le pourcentage P d'énergie encore stockée dans la bobine à la date t = 5 Dt.
½LI'2 =0,5*0,037*0,2842 =1,49 10-3 J ~1,5 mJ.
P =1,5 *100 / 4,26 =35,2 ~35 %.







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