Tension de surface, loi de Laplace ; capillarité, loi de Jurin. Agrégation 2015

Tension de surface, loi de Laplace.
On apprend en général qu'un liquide adopte laforme du récipient qui le contient. Ce n'est pas tout à fait exact pour les petits systèmes : une petite quantité de liquide se présente souvant comme une goutte sphérique. La surface d'un liquide est soumise à une tension superficielle, un peu comme une membrane élastique.
1. Le texte suivant propose une origine microscopique à cette tension superficielle.
Un liquide est un état condensé : les molécules s'attirent. Lorsque cette attraction l'emporte sur l'agitation thermique, les molécules passent d'une phase gazeuse à une phase dense mais encore désordonée : un liquide. les molécules au sein du liquide bénéficient d'interactions attractives avec toutes leurs voisines et sont dans un état "heureux". Au contraire, àla surface du liquide, elles perdent la moitié de leurs interactions cohésives et sont "malheureuses". ( tiré de Gouttes, bulles, perles et ondes, Belin 2005).
- Le texte ne précise pas l'état des molécules dans la phase gaz. A l'équilibre de phase sont-elles "heureuses" ou malheureuses" ?
A l'équilibre de phase, les molécules possèdent le même potentiel chimique dans les deux phases dans tout le volume des phases : elles sont donc "heureuses". Seules les molécules proches de l'interface sont" malheureuses".
- La cohésion d'un liquide tel qu'une huile est due à des interactions de type Van der Waals et l'énergie de cohésion par molécule est de l'ordre de k_BT. Donner l'ordre de grandeur d'une dimension moléculaire et en déduire, par analyse dimensionnelle, l'ordre de grandeur de l'énergie par unité de surface g associée à l'existence d'une interface à températre ambiante. Comparer à la valeur de g pour l'eau (72,8 mJ m^-2 ). Commenter.
Chaque molécule située à l'interface perd la moitié de l'énergie de cohésion soit ½k_BT. Elle occupe une surface a² ( a ~1 nm).
g = ½k_BT /a² ~0,5*1,38 10^-23 *293 / 10^-19~ 2 10^-3 J m^-2~2 mJ m^-2.
L'énergie par unité de surface de l'eau est plus grande du fait des liaisons hydrogène.
La tension de surface g est définie mécaniquement de la manière suivante. Considérons l'interface entre deux fluides.

Soit une surface S et un élément de longueur dl du contour de S.Tout se passe comme si l'interface extérieure à S exerçait sur dl une force dF perpendiculaire à dl, dirigée vers l'extérieur de S et de norme dF =gdl.
2. Calculer le travail des forces superficielles quand l'aire A de la surface S augmente de dA ( on pourra se limiter à une surface S rectangulaire). Conclure quant à la cohérence de cette défiition mécanique de g et l'approche énergétique de la question précédente.
Soit un rectangle de longueur a et de largeur b.
Norme de la force capillaire s'exerçant sur la largeur : gb.
Travail de cette force lorsque a augmente de da : W = g b da = g dA.
On retrouve la définition énergétique de g : travail qu'il faut fournir pour augmenter l'aire d'une unité.
On considère maintenant une surface S infinitésimale cylindrique, courbée dans une direction avec un rayon de courbure R. Sur la figure ne sont représentées que les forces s'exerçant sur les côtés non courbés l'angle dq est infinitésimal, même si cela n'apparaît pas sur la figure.
3. Calculer la projection sur l'axe Oz des forces capillaires s'exerçant sur S.

La projection des forces s'exerçant sur les côtés courbés est nulle.
Les deux forces dF ont la même projection : dFz = -gdl sin (½dq)~ -½gdl dq.