Les ondes
gravitationnelles,
bac
S Asie 2017 .
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Clin
d’oeil de l’histoire : c’est 100 ans tout juste apr�s la publication de
la th�orie de la relativit� g�n�rale d’Einstein, qu’une �quipe
internationale en a confirm� l’une des pr�dictions majeures, en
r�alisant la premi�re d�tection directe d’ondes gravitationnelles.
Donn�es :
- Masse du Soleil : MS = 2,00 1030 kg ;
- Les ondes gravitationnelles se propagent � la c�l�rit� de la lumi�re
dans le vide, soit
c = 3,00 108 m.s-1 ;
- Constante de gravitation universelle : G = 6,67 10-11 m3.kg-1.s-2.
1. Les ondes
gravitationnelles d�tect�es 100 ans apr�s la pr�diction d’Einstein
Pour la premi�re fois, des scientifiques ont observ� des ondes
gravitationnelles, produites par la collision de deux trous noirs.
Cette d�couverte confirme une pr�diction majeure de la th�orie de la
relativit� g�n�rale �nonc�e par Albert Einstein en 1915. Ces ondes ont
�t� d�tect�es le 14 septembre 2015 par les deux d�tecteurs jumeaux de
LIGO (Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory) situ�s aux
Etats-Unis � Livingston, en Louisiane, et � Hanford dans l’�tat de
Washington, distants de 3000 km.
L’analyse des donn�es a permis d’estimer que les deux trous noirs ont
fusionn� il y a 1,3 milliard d’ann�es et qu'ils avaient des masses
d’environ 29 et 36 fois celle du Soleil.
Selon la th�orie de la relativit� g�n�rale, un couple de trous noirs en
orbite l’un autour de l’autre perd de l’�nergie sous forme d’ondes
gravitationnelles, ce qui entra�ne un rapprochement des deux astres. Ce
ph�nom�ne peut durer des milliards d’ann�es avant de s’acc�l�rer
brusquement. En une fraction de seconde, les deux trous noirs entrent
alors en collision et fusionnent en un trou noir unique. Une �nergie
colossale est alors convertie en ondes gravitationnelles. C’est cette
"bouff�e" d’ondes qui a �t� observ�e.
D’apr�s le communiqu� du CNRS - 11 f�vrier 2016.
1.1
� quelle distance de la Terre, exprim�e en ann�e-lumi�re, se trouve la
source des ondes gravitationnelles d�tect�es le 14 septembre 2015 ?
1,3 milliards = 1,3 109 ans .
Distance de la terre : 1,3 109 al.
1.2 Le d�tecteur de
Livingston a d�tect� les ondes gravitationnelles 7 ms avant celui de
Hanford. Cet �cart a permis d’envisager des localisations possibles de
leur source.
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1.2.a.
Compte tenu de cet �cart de d�tection de 7 ms, expliquer pourquoi les
ondes gravitationnelles ne peuvent pas provenir de la direction 2.
Direction 2
: 3 106 / (3 108) = 0,01 s = 10 ms, valeur
diff�rente de 7 ms.
1.2.b. Choisir, en
justifiant, une direction possible pour leur provenance parmi les deux
autres propos�es sur la carte ci-dessus.
Direction 3 : 2,6 106
/ (3 108) ~ 8,7 10-3 s = 8,7 ms, valeur
diff�rente de 7 ms.
Direction 1
: 2,17 106 / (3 108) ~7,2 10-3 s = 7,2
ms, valeur proche de 7 ms.
La direction 1 est possible.
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2.
Fusion de deux trous noirs.
Illustration de l’�mission d’ondes gravitationnelles lors de la
rotation d’un couple de trous
noirs de m�me masse.
D’apr�s une animation LIGO
Dans cette partie on fait l'hypoth�se que les deux trous noirs ont la
m�me masse. On consid�re qu'ils sont sur une m�me orbite circulaire de
rayon r mais diam�tralement oppos�s.
2.1 Sch�matiser le
syst�me des deux trous noirs et repr�senter sans souci d’�chelle la
force d’interaction gravitationnelle exerc�e par l’un des deux trous
noirs sur l’autre et donner l’expression de sa valeur en fonction de G,
m et r.
La p�riode des ondes gravitationnelles �mises est la demi-p�riode de
r�volution des trous
noirs.
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On
se place dans le cadre de la m�canique newtonienne. Le r�f�rentiel dans
lequel les trous noirs sont en rotation est consid�r� galil�en. On
consid�re le centre de la trajectoire fixe dans ce r�f�rentiel.
2.2 Montrer que la
vitesse v des trous noirs peut s'�crire : v = 0,5 (Gm / r)�.
L'acc�l�ration de chaque trou noir est centrip�te Sa valeur est �gale �
:
v2 /r = Gm /( 2r)2 ; v2 = Gm / (4r) ;
v = 0,5 (Gm / r)�.
2.3 En d�duire que
le rayon de l’orbite est li� � la p�riode de r�volution des trous noirs
par la relation : r3 = Gm T2 / (16 p2).
Chaque trou noir d�crit la circonf�rence 2pr en T seconde � la vitesse
v.
2pr = v T ; 4p2r2 =v2
T2 ;
4p2r2
=Gm T2 / 4r ; 16p2r3
=Gm T2 ; r3 = Gm T2 / (16 p2).
2.4 Comment �volue
la fr�quence des ondes gravitationnelles �mises par les deux trous
noirs quand ils se rapprochent pour fusionner ?
T et r varient dans le m�me sens. Si r diminue, T diminue et la
fr�quence f = 1 /T augmente.
L’analyse des donn�es indique que juste avant la fusion des deux
astres, ces derniers tournaient l'un autour de l'autre � une cadence
d’environ 75 tours par seconde. Les th�oriciens tenant compte de la
relativit� g�n�rale estiment alors que la vitesse de chacun est voisine
du quart de celle de la lumi�re.
2.5 En consid�rant
deux trous noirs, chacun de masse environ �gale � 30 fois la masse du
Soleil, montrer que les lois de la m�canique newtonienne donnent une
bonne approximation de la vitesse des trous noirs.
f =75 Hz ; T = 1 / 75 s ; r3 = Gm T2 / (16 p2) =6,67 10-11
x30 x2 1030 /(16 x3,142 x752)=4,5
1015 ; r = 1,65 105 m.
v = 0,5(Gm / r)� =0,5(6,67 10-11 x30 x2 1030
/ (1,65 105))�~7,8 107 m /s.
3 108 /4 = 7,5 107 m /s.
Ecart relatif : (7,8-7,5) / 7,5 x100 = 4 %.
Les lois de la m�canique newtonienne donnent une bonne
approximation de la vitesse des trous noirs.
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