Chasse
au plomb,
concours Concours commun polytechnique 2017.
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Trajectoires des plombs d'une cartouche.
Un
fusil de chasse (arme � feu) ou de ball-trap permet d’envoyer �
distance des projectiles au moyen de gaz produits par la combustion
rapide et confin�e d’un compos� chimique. La d�flagration va �jecter de
la bouche du fusil les sph�res de plomb qui �taient dans la cartouche
avec une vitesse qui, enmoyenne, vaut v0 = 380 m. s−1, valeur � utiliser dans toutes les applications num�riques ult�rieures.
Nous consid�rons la trajectoire d’un plomb de cartouche dont la
dimension est typiquement de quelques millim�tres et la masse
inf�rieure au gramme. On n�glige la pouss�e d’Archim�de.
�quation du mouvement.
Le projectile est a priori soumis � deux forces : son poids et la force
de frottement fluide exerc�e par l’air qui, dans les cas consid�r�s,
est constitu�e de la tra�n�e a�rodynamique qui s’�crit :
FD = 0,5 raSCDv2.
o� v est la norme du vecteur vitesse du projectile, ra est la masse volumique de l’air, S = pR2 est la section de l’objet expos�e au fluide dans la direction de l’�coulement et CD
est un coefficient sans dimension appel� � coefficient de tra�n�e �.
Pour les vitesses typiques �tudi�es (vitesses supersoniques situ�es
entre 375 et 420 m/s) et pour les formes quasi-sph�riques de
projectiles, CD est de l’ordre de 0,44.
Q1. �tablir l’�quation diff�rentielle du mouvement du centre de masse du plomb de masse m.
On confondra, par la suite, le plomb avec une masse ponctuelle � laquelle on appliquera la force de train�e a�rodynamique.
Premier mod�le : trajectoire gravitaire.
On consid�re le cas o� la vitesse initiale du projectile est
suffisamment faible pour que l’on puisse n�gliger la force de
frottement fluide de l’air.
Q2. Montrer que cela correspondrait � une vitesse initiale v0, ob�issant � l’in�galit� :
v0 << [2mg / (rapR2CD)]�.
La norme de la force de train�e est n�gligeable devant la valeur du poids.
0,5 raSCDv02<< mg ; v02<< 2mg / (rapR2CD).
Par la suite on notera voo= [2mg / (rapR2CD)]�.
Q3. Projeter l’�quation du mouvement sur la base cart�sienne. L'’origine O est la position de la particule � l’instant initial.
Q4. �tablir les �quations param�triques de la vitesse et de la position en fonction du temps.
Q5. Quelle est la nature de cette trajectoire dite � gravitaire � ?
z = -�gt2 + v0 sin q0 t ; x = v0 cos q0 t .
Eliminer le temps : z = -�gx2 / ( v0 cos q0)2 +tan q0 x . La trajectoire est parabolique.
Q6. Montrer
que la port�e du tir, c’est-�-dire la distance atteinte par le
projectile dans le plan horizontal de d�part (Z = 0), vaut
XM =v02 sin (2q0) /g et que la hauteur maximale atteinte par le projectile vaut HM = v02 sin2 (q0) / (2g).
z=0 conduit � : -�gxM2 / ( v0 cos q0)2 +tan q0 xM =0.
xM =0 ; 0,5gxM / ( v0 cos q0)2 =sin q0 /cos q0.
xM =2v02sin q0 cos q0 / g = v02 sin (2q0) /g.
La composante verticale de la vitesse est nulle lorsque la hauteur maximale est atteinte :
-gt +v0sin q0 =0 ; t = v0sin q0 / g.
HM = -�g(v0sin q0 / g)2 + v0 sin q0 v0sin q0 / g =v02 sin2 (q0) / (2g).
Q7. Donner la valeur de l’angle q0 pour laquelle la port�e est maximale.
sin (2q0) = 1 soit q0= p / 4.
Q8. Application num�rique
La taille des plombs est identifi�e par un num�ro allant de 1 � 12 qui
correspond � une r�gression arithm�tique des diam�tres de 0,25 mm par
num�ro. Une cartouche de n� 8 poss�de des plombs plus petits qu’une de
n� 4. Le tableau 1 ci-dessous donne les rayons de quelques types de
plombs et certains r�sultats num�riques obtenus en utilisant les
formules ci-dessus pour une vitesseinitiale v0 = 380 m.s-1. Compl�ter le tableau. rplomb = 11350 kg m-3.
n� du plomb
|
1
|
5
|
10
|
Rayon (mm)
|
2,0
|
1,5
|
0,875
|
Masse (g)
|
0,38
|
0,16
|
0,031
|
Port�e ( km)
|
15
|
Hauteur maxi (km)
|
3,7
|
voo (m/s)
|
33
|
29
|
22
|
Masse = 4 / 3 p R3 rplomb = 4 / 3 x3,14 x(1,5 10-3)3 x11350 = 1,60 10-4 kg = 0,16 g.
XMaximale =v02 /g=3802 /9,81=14,7 103 m =14,7 km.
HMaximale = v02 sin2 (q0) / (2g) =(380 xsin 45)2 /(2 x9,81) = 3680 m = 3,68 km.
voo = [2mg / (rapR2CD)]�=[2 x0,1610-3 x9,81 / (1,23x3,14x0,00152x0,44)]� =28,65 m/s.
Q9. Comparer la port�e maximale, obtenue pour un angle θ0
= 45�, � la port�e donn�e (diam�tre des plombs � 100 = zone dangereuse
en m. Exemple : pour des plombs de 1,5 mm : 1,5 � 100 = 150 m.)
et conclure. Quel(s) autre(s) facteur(s) montre(nt) qu’il faut
abandonner le mod�le gravitaire ?
La port�e maximale indiqu�e par le fabriquant est tr�s inf�rieure � celle trouv�e dans ce mod�le.
Dans ce mod�le la port�e ne d�pend pas de la masse.
De plus la force de frottement fluide n'est pas n�gligeable devant le poids.
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Deuxi�me mod�le : trajectoire de Tartaglia.
On vient de voir dans l’�tude pr�c�dente que, pour les plombs de chasse, v0 est tr�s sup�rieure � voo.
Dans ce cas, la trajectoire diff�re consid�rablement de la trajectoire gravitaire. On distingue 3 phases :
une premi�re phase � mouvement rectiligne, une deuxi�me phase �
trajectoire asym�trique autour d’un sommet et une troisi�me phase de
mouvement de chute verticale. Il s’agit d’une � trajectoire de
Tartaglia �, du nom du math�maticien balisticien Niccol� Tartaglia
(XVIe si�cle), qui a d�crit les trajectoires d’un boulet de canon.
Phase initiale : mouvement rectiligne ascendant.
Soit OX’ la direction de la droite trajectoire dans cette phase
initiale. On note X’ l’abscisse du point M sur cette droite qui fait un
angle θ0 avec OX et v sa vitesse.
Q10. Montrer que le poids d’un plomb est alors n�gligeable devant la force de tra�n�e.
v0 est tr�s sup�rieure � voo : v02>> 2mg / (rapR2CD).
mg << 0,5 v02rapR2CD.
Q11. Montrer que l’�quation du mouvement dans la premi�re phase se met sous la forme :
Q12. Quelle est la dimension de D ?
D est le carr� d'une vitesse divis�e par une acc�l�ration. D a la dimension d'une longueur.
Q13. �tablir l’expression de v en fonction de X’.
Que repr�sente le param�tre D ?
dv / v = - dx' / D ; ln v = - x' / D + constante ;
Lorsque x' = 0, v = v0, d'o� : ln v = -x' / D + ln v0 ; ln ( v / v0) = - x' / D ; v = v0 exp( -x' / D).
D repr�sente la distance caract�ristique d'att�nuation de la vitesse.
Q14. On note d la distance que doit parcourir le plomb pour atteindre une vitesse 10 voo, vu la vitesse atteinte quand le plomb a parcouru 40 m et Ec
l’�nergie cin�tique correspondante. Le tableau ci-dessous donne pour
trois num�ros de plomb des r�sultats num�riques obtenus en utilisant
les formules ci-dessus pour une vitesse initiale v0 = 380 m.s-1.
n� du plomb
|
1
|
5
|
10
|
D(m)
|
110
|
84
|
50
|
v0 / voo
|
11
|
13
|
17
|
d (m)
|
15
|
24
|
27
|
vu (m/s)
|
270
|
236
|
170
|
Ec(J)
|
13,5
|
4,4
|
0,45
|
Compl�ter par des valeurs � deux chiffres significatifs.
D = g / voo2 = 28,652 / 9.81 =83,67 ~84 m.
v0 / voo=380 /28,65 =13,26~13.
10voo = v0 exp( -d / D) ; d=D ln(v0 / (10voo)) = 83,67 ln(380 /286,5) =23,63 m.
vu =380 exp(-40 /83,67)=235,6 ~236 m/s.
Ec = �mv2u =0,5 x1,6 10-4 x235,62 =4,44 J.
Q15. Comment d�finiriez-vous la port�e utile d’un tir ?
La port�e est la projection horizontale d'une trajectoire courbe en trois dimensions.
La port�e utile est de l'ordre de grandeur de D.
On lit dans les journaux de chasse que le caract�re mortel du tir vient
en premi�re approximation du fait que les plombs qui p�n�trent dans le
gibier communiquent � l’animal leur �nergie cin�tique cr�ant ainsi une
onde de choc fatale.
Q16. En supposant
qu’il suffit de 2 plombs num�ro 1 pour avoir un canard � son tableau de
chasse, de combien de plombs 5 et 10 suffirait-il ? En d�duire l’ordre de grandeur de la port�e utile � l’aide de l’�valuation du param�tre D pr�c�demment d�fini.
Energie cin�tique de 2 plombs n�1 : 13,5 x2 = 27 J.
Nombre de plomb n�5 n�cessaire : 27 / 4,44 ~6.
Nombre de plomb n�10 n�cessaire : 27 / 0,45 ~60.
L'�nergie des plombs � une distance �gale � la port�e utile doit �tre de l'ordre de 13,5 J.
La vitesse des projectiles est donc de l'ordre de : (2 x13,5 / 3,8 10-4)� =266 m /s.
La port�e utile est de l'ordre de : 84 ln(380 / 266) ~ 30 m.
Q17. Comparer aux valeurs donn�es dans le document 1 (35 � 40 m).
La port�e utile calcul�e est du m�me ordre de celles donn�es.
Pourquoi faut-il prendre des billes plus grosses en fer doux, sachant qu’il s’agit d’un acier de masse volumique 7 600 kg.m–3 ?
Ec = �mv2 =0,5 mv02exp(-2port�e / D) ; 2 port�e / D = ln ( 0,5 mv02/ Ec).
Port�e = 0,5 D ln ( 0,5 mv02/ Ec). La port�e varie avec le logarithme de la masse.
L'acier a une masse volumique inf�rieure � celle du plomb. Pour une
masse �gale ( donc la m�me port�e), les billes d'acier doivent avoir un
rayon plus grand que celles de plomb.
Quel est le danger li� � l’agglutination de la grenaille ?
Les billes agglutin�es constituent des projectiles d’un poids sup�rieur
qui peuvent �tre dangereux � des distances beaucoup plus grandes.
Troisi�me et derni�re phase : mouvement rectiligne descendant.
On note que cette phase est quasiment verticale.
Q18. � quoi correspond-elle ?
Mouvement rectiligne vertical uniforme au cours duquel l'acc�l�ration est n�gligeable.
Q19. Montrer que la vitesse limite atteinte pendant cette derni�re phase vaut : voo= [2mg / (rpR2CD)]�.
La bille de plomb est soumise � son poids, verticale vers le bas,
valeur mg et � la force de frottement fluide, verticale vers le haut,
valeur 0,5 rapR2CDv2.
Lorsque la vitesse limite est atteinte, ces deux forces se compensent.
mg =0,5 rapR2CDvlim2.
Expliquer le terme de � mur a�rodynamique � utilis� pour qualifier cette derni�re phase.
La bille de plomb ne peut plus acc�l�r�e, sa vitesse est constante.
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Deuxi�me phase : la phase interm�diaire
Dans cette phase, la vitesse a diminu�.
Q20. Pourquoi qualifie-t-on cette phase de � phase gravitaire � ?
Dans la partie 1, le poids �tait n�gligeable; dans la partie 3, l'acc�l�ration est n�gligeable.
Dans la partie interm�diaire le plomb est soumis � son poids et � la force de frottement.
Le poids n'est pas n�gligeable, d'o� le qualificatif " gravitaire ".
On peut �tablir par un calcul formel, � partir de l’�quation du
mouvement, l’expression approch�e de la port�e maximale du projectile
pour ce type de trajectoire :
XM ≈ D cos q0 / 2 ln[1 +4 (v0/voo)2 sin q0] = h cotan q0.
Q21. �valuer num�riquement les port�es maximales des num�ros 1, 5 et 10 de plombs, pour θ0 = 16�.
Comparer aux valeurs donn�es dans le document 1 (pages 2-3).
n� du plomb
|
1
|
5
|
10
|
Diam�tre (mm)
|
4
|
3
|
1,75
|
v0 / voo
|
11
|
13
|
17
|
D (m)
|
110
|
84
|
50
|
XM(m)
|
258
|
216
|
138 |
Port�e propos�e document 1 : 100 fois diam�tre
|
400
|
300
|
175
|
Les valeurs donn�es dans le document et celles calcul�es sont du m�me ordre de grandeurs.
De plus la port�e d�pend de la masse. Si la masse augmente, la port�e cro�t.
Le m�me calcul donne �galement l’expression approch�e de l’angle initial permettant d’optimiser la port�e maximale XM.
Q22. La figure suivante donne la courbe θmax, (en degr�s) fonction de log(v0 / voo)2. Identifier la valeur de θmax pour les trois num�ros de plomb consid�r�s.
n� du plomb
|
1
|
5
|
10
|
v0 / voo
|
11
|
13
|
17
|
log(v0 / voo)2.
|
2,1
|
2,23
|
2,46
|
qmax(degr�)
|
17
|
16
|
15 |
Pour calculer plus pr�cis�ment la port�e utile du tir de grenaille de plomb, on int�gre num�riquement l’�quation du mouvement.
La figure suivante donne les trajectoires des plombs n� 1, 5 et 10 de vitesse initiale 380 m.s–1, pour l’angle θ0 optimisant la port�e maximale. Les valeurs des coordonn�es et des rayons sont en m�tres.
Q23. �valuer les port�es maximales pour chaque calibre et comparer aux donn�es du document 1
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