Mathématiques,
cube, tétraèdre, nombres complexes,
Bac S Métropole 2018
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Exercice
3.
On considère un cube.
![](image/s1807.jpg)
On admet que les droites (AG), (BH), (CE) et (DF), appelées grandes diagonales du cube, sont concourantes.
1. On considère le tétraèdre ABCE.
a. Préciser la hauteur issue de E et la hauteur issue de C dans ce tétraèdre.
(AE) est perpenduculaire au plan ABC : (AE) est la hauteur issue de E.
(BC) est perpenduculaire au plan ABE : (BC) est la hauteur issue de C.
b. Les quatre hauteurs de ce tétraèdre sont-elles concourantes ?
(AE) et (BC) ne sont pas coplanaires, donc non sécantes.
Les hauteurs du tétraèdre ne sont pas sécantes.
2. On considère le tétraèdre ACHF.
a. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan ACH est x -y+z=0.
A(0 ; 0 ; 0) appartient à ce plan : xA -yA+zA=0.
C(1 ; 1 ; 0) appartient à ce plan : xC -yC+zC=1-1+0=0.
H(0 ; 1 ; 1) appartient à ce plan : xH -yH+zH=0-1+1=0.
b. En déduire que (FD) est la hauteur issue de F de ce tétraèdre.
F(1 ; 0 ; 1) et D(0 ; 1 ; 0).
![](image/s1808.jpg)
(FD) est la hauteur issue de F du tétraèdre ACHF.
c. Préciser les hauteurs du tétraèdre ACHF issues respectivement des sommets A, C et H. les 4 hauteurs sont-elles concourantes ?
(AG) est la hauteur issue de A, (CE) et la hauteur issue de C et (HB) est la hauteur issue de H.
Les 4 hauteurs correspondent aux grandes diagonales du cube, elles sont donc concourantes.
![](image/s1809.jpg)
Un tétraèdre dont les 4 hauteurs sont concourantes est appelé orthocentrique.
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Partie B. On
considère le tétraèdre MNPQ dont les hauteurs issues des sommets M et N
sont sécantes en un point K. les droites (MK) et (NK) sont donc
orthogonales aux plans (NPQ) et(MPQ) respectivement.
![](image/s1810.jpg)
1.a
Justifier que la droite (PQ) est orthogonale à la droite (MK). On
admet de même que les droites (PQ) et (NK) sont orthogonales.
(MK) est orthogonale au plan ( NPQ). D'après le théorème de la porte,
(MK) est orthogonale à toute droite de ce plan et en particulier
à (PQ).
1.b. Que peut-on en déduire relativemennt à la droite (PQ) et au plan (MNK) ? Justifier.
(PQ) est orthogonal à (NK) et à (MK) ; (PQ) et (MK) sont deux droites
sécantes du plan ( MNK). Donc (PQ) est orthogonale au plan ( MNK).
2. Montrer que les arètes [MN] et (PQ] sont orthogonales.
(PQ) étant orthogonale au plan (MNK), (PQ) est donc orthogonale à toute droite de ce plan. (PQ) est orthogonale à (MN).
Si un tétraèdre est orthocentrique, alors les arètes opposées ( elles n'ont pas de sommet commun) sont orthogonales deux à deux.
Partie C.
On considère les points R(-3 ; 5 ; 2) ; S(1 ; 4 ; -2) ; T(4 ; -1 ; 5) et U(4 ; 7 ; 3).
1. Le tétraèdre RSTU est-il orthocentrique ? Justifier.
.
Les deux arètes opposées RU et ST ne sont pas orthogonales : le tétraèdre RSTU n'est pas orthocentrique.
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Exercice 4.
On pose z0 = 8 et pour tout entier naturel n : zn+1 = (3 -i3½) / 4 zn.
On note An le point du plan d'affixe zn.
1.a. Vérifier que : z= (3 -i3½) / 4 = 3½ / 2 exp(-ip/6).
![](image/s1812.jpg)
b. En déduire l'écriture des bombres complexes z1, z2 et z3 sous forme exponentielle et vérifier que z3 est un imaginaire pur dont on précisera la partie imaginaire.
z1 =4 x 3½ exp(-ip/6).
z2 = 3½ / 2 exp(-ip/6).z1=6 exp(-ip/3)
z3 = 3½ / 2 exp(-ip/6).z2=3 x 3½ exp(-ip/2).
c. Représenter graphiquement les points A0, A1, A2 et A3.
![](image/s1813.jpg)
2.a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , zn = 8 (3½/2)n exp(-inp/6).
Initialisation : la propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : la propriété est supposée vraie au rang n.
![](image/s1814.jpg)
Conclusion : la prorpiété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel.
2.b. On pose un = |zn|. Déterminer la nature et la limite de cette suite.
|zn| = 8 (3½ / 2)n = z0 (3½ / 2)n ; suite géométrique de premier terme 8 et de raison 3½ / 2.
0 < 3½ / 2 < 1, donc (3½ / 2)n tend vers zéro quand n tend vers plus l'infini.
un tend vers zéro quand n tend vers plus l'infini.
3.a. Démontrer que pour tout entier naturel k : (zk+1-zk) / zk+1 = -i / 3½.
En déduire que AkAk+1=OAk+1 / 3½.
![](image/s1815.jpg)
b. Pour tout entier naturel n , on appelle ln la longueur de la ligne brisée reliant dans cet ordre les points A0, A1, A2, ...An. Démontrer que la suite (ln) est convergente et calculer sa limite.
![](image/s1816.jpg)
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