Math�matiques, bac S Antilles septembre 2019.

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Exercice 1. 5 points
Les trois parties de l’exercice peuvent �tre trait�es ind�pendamment.
Une association offre � ses adh�rents des paniers de l�gumes. Chaque adh�rent a le choix entre trois tailles de panier :
• un panier de petite taille;
• un panier de taille moyenne;
• un panier de grande taille.
Partie A.
L’association envisage de proposer en outre des livraisons d’oeufs frais. Pour savoir si ses adh�rents sont int�ress�s, elle r�alise un sondage. On interroge un adh�rent au hasard. On consid�re les �v�nements suivants :
• A : � l’adh�rent choisit un panier de petite taille � ;
• B : � l’adh�rent choisit un panier de taille moyenne � ;
• C : � l’adh�rent choisit un panier de grande taille � ;
• F : � l’adh�rent est int�ress� par une livraison d’oeufs frais �.
On dispose de certaines donn�es, qui sont r�sum�es dans l’arbre ci-dessous :

1. Dans cette question, on ne cherchera pas � compl�ter l’arbre.
a. Calculer la probabilit� que l’adh�rent choisisse un panier de petite taille et soit int�ress� par une livraison d’oeufs frais.
2 / 3 x3 /4 = 0,5.
b. Calculer P(B n non F), puis interpr�ter ce r�sultat � l’aide d’une phrase.
1 /4 x(1-3 /5) =1 / 4 x 2 / 5 =0,1.
10 % des adh�rents choisissant un panier de taille moyenne envisage d'acheter des oeufs frais.
c. La livraison d’oeufs frais ne sera mise en place que si la probabilit� de l’�v�nement F est sup�rieure � 0,6. Pourquoi peut-on affirmer que cette livraison sera mise en place ?
La probabilit� qu'un client achetant un petit panier ou un panier moyen ach�te des oeufs vaut :
0,5 +1/4 x3 /5 =0,5 +0,15 = 0,65, valeur sup�rieure � 0,6.
2. Dans cette question, on suppose que P(F)= 0,675.
a. D�montrer que la probabilit� conditionnelle de F sachant C, not�e PC (F), est �gale � 0,3.
La formule des probabilit�s totales conduit � : P(C n F) = 0,675 -0,5 -0,15 =0,025.
PC (F) =0,025 / (1 /12) =0,025 x12 = 0,3.
b. L’adh�rent interrog� est int�ress� par la livraison d’oeufs frais.
Quelle est la probabilit� qu’il ait choisi un panier de grande taille ? Arrondir le r�sultat � 10−2.
PF(C) = P(C n F) / P(F) =0,025 / 0,675 =0,037.

Partie B.
1. La masse, en gramme, d’un panier de grande taille peut �tre mod�lis�e par une variable al�atoire, not�e X, suivant une loi normale d’esp�rance 5 000 et d’�cart- type 420. Un panier de grande taille est d�clar� non conforme lorsque sa masse est inf�rieure � 4,5 kg.
On choisit au hasard un panier de grande taille.
Quelle est la probabilit�, arrondie au centi�me, qu’il soit non conforme ?
P(X < 4,5) =0,117~0,12.
2. Les responsables de l’association d�cident de modifier la m�thode de remplissage. Avec cette nouvelle m�thode, la masse, en gramme, d’un panier de grande taille est d�sormais mod�lis�e par une variable al�atoire, not�e Y , suivant une loi normale d’esp�rance 5 000 et d’�cart-type σ. La probabilit� qu’un panier de grande taille choisi au hasard soit non conforme est alors de
0,04. D�terminer la valeur de σ arrondie � l’unit�.
 σ = 286 grammes.

Partie C.
Depuis plusieurs ann�es, les associations distribuant des produits frais � leurs adh�rents se d�veloppent dans tout le pays et connaissent un succ�s grandissant.Lors d’une �mission de radio consacr�e � ce sujet, un journaliste annonce que 88% des adh�rents de ces associations sont satisfaits.
Un auditeur intervient dans l’�mission pour contester le pourcentage avanc� par le journaliste. A l’appui de son propos, l’auditeur d�clare avoir r�alis� un sondage aupr�s de 120 adh�rents de ces associations et avoir constat� que, parmi eux, seuls 100 ont indiqu� �tre satisfaits. La contestation de l’auditeur est-elle fond�e ?
n=120 ; p= 0,88 ; 1-p =0,12.
n = 120 > 30 ; np = 100 > 5 ; n(1-p) =20 > 5.
On peut d�finir un intervalle de fluctuation asymptotique.
1,96 [p(1-p) / n ]� =1,96 (0,88 x0,12 / 120)� =0,058.
Intervalle de fluctuation asymptotique [ 0,88-0,058 ; 0,88 +0,058 ] soit [0,822 ; 0,938 ].
La fr�quence observ�e 100 / 120 = 0,833 appartient � cet intervalle. La contestation n'est pas fond�e.

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Exercice 2. 5 points.
L’espace est rapport� � un rep�re orthonorm�.
On consid�re les points A(10; 0; 1), B(1; 7; 1) et C(0; 0; 5).

1. a. D�montrer que les droites (OA) et (OB) ne sont pas perpendiculaires.
b. D�terminer la mesure, en degr�, de l’angle AOB, arrondie au dixi�me.

2. V�rifier que 7x +9y −70z = 0 est une �quation cart�sienne du plan (OAB).
A appartient � ce plan : 7x10 +9 x0 -70 x1 =0 est v�rifi�.
B appartient � ce plan : 7x1 +9 x7 -70 x1 =0 est v�rifi�.
0 appartient � ce plan : 7x0 +9 x0 -70 x0 =0 est v�rifi�.
3. D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite (CA).
Coordonn�es d'un vecteur directeur de cette droite : (10 ; 0 ; -4).
C (0 ; 0 ; 5) appartient � cette droite  :
x = 10 t +xC ; y = 0+yC ; z = -4t +zC avec t r�el
x = 10 t ; y = 0 ; z = -4t+5.
4. Soit D le milieu du segment [OC]. D�terminer une �quation du plan P parall�le au plan (OAB) passant par D.
D(�xC ; �yC ; �zC). D(0 ; 0 ; 2,5).
Le plan P est parall�le au plan (OAB) ; son �quation est : 7x +9y −70z +d= 0
D appartient � ce plan P : 7 x0 +9 x0 -70 x 2,5 +d = 0 soit d = 175.
7x +9y −70z +175= 0.
5. Le plan P coupe la droite (CB) en E et la droite (CA) en F.
D�terminer les coordonn�es du point F. On admet que le point E a pour coordonn�es (0,5 ; 3,5 ; 3).
F appartient au plan P : 7xF +9yF −70zF +175= 0.
F appartient � la droite (CA) : xF = 10 t  ; yF = 0 ; zF = -4t +5 avec t r�el.
70 t+ 9 x0 -70(-4t+5) +175 = 0.
350t -175 =0 ; t =0,5.
xF = 5  ; yF = 0 ; zF = 3.
6. D�montrer que la droite (EF) est parall�le � la droite (AB) .
Coordonn�es d'un vecteur directeur de la droite (EF) :
(5-0,5 ; 0-3,5 ; 3-3)  soit ( 4,5 ; -3,5 ; 0).
Coordonn�es d'un vecteur directeur de la droite (AB) :
(1-10 ; 7-0 ; 1-1) soit (-9 ; 7 ; 0).
Ces deux vecteurs �tant colin�aires, les droites sont parall�les.
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 Exercice 3. 5 points.
Soit g la fonction d�finie sur ]0 ; +∞[ par
g (x)= 4x −x ln x.
On admet que la fonction g est d�rivable sur ]0 ; +∞[ et on note g ′ sa d�riv�e.
Partie A.
Le graphique ci-dessus repr�sente une partie de la courbe repr�sentative de la fonction g obtenue par un �l�ve sur sa calculatrice. Cet �l�ve
�met les deux conjectures suivantes :
• il semble que la fonction g soit positive;
• il semble que la fonction g soit strictement croissante.
L’objectif de cette partie est de valider ou d’invalider chacune de ces conjectures.
1. R�soudre l’�quation g (x) = 0 sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
x(4-ln(x))=0 ; solution retenue : ln(x) = 4 soit x =e4 ~55.
2. D�terminer le signe de g (x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

3. Les conjectures de l’�l�ve sont-elles v�rifi�es ?
La premi�re conjecture est v�rifi�e sur l'intervalle ]0 ; 6].
La fonction g ne peut pas �tre strictement croissante. La seconde conjecture est fausse.
Partie B.
Dans cette partie, on poursuit l’�tude de la fonction g .
1. a. On rappelle que la limite  en plus l'infini de ln(t) / t est �gale �z�ro.
En d�duire que la limite en z�ro de x ln(x) est �gale � z�ro.
ln (-x) = ln (1/x) ; x = 1 / (1/x) ; on pose t = 1/x ; -x ln(x) = -ln(t) / t.
Quand x tend vers 0+, t tend vers +oo et ln(t) / t tend vers z�ro.
b. Calculer la limite de g (x) lorsque x tend vers 0.
4x tend vers z�ro ; xln(x) tend vers z�ro ; g(x) tend vers z�ro.
2. a. D�montrer que, pour tout r�el x strictement positif, g ′(x) = 3−lnx.
On pose u = x ; v = ln(x) ; u' = 1 ; v' = 1/x ; (uv)' = u'v+v'u = ln(x) +1.
g'(x) = 4-ln(x) -1 = 3 -ln(x).
b. Dresser le tableau de variations de la fonction g.

3. On d�signe par G la fonction d�finie sur ]0 ; +∞[ par
G(x) =0,25 x2 (9-2ln(x))
On admet que la fonction G est d�rivable sur ]0 ; +∞[.
a. D�montrer que la fonction G est une primitive de la fonction g sur ]0 ; +∞[.
On d�rive G en posant u = 0,25 x2 et v = 9-2ln(x) ; u' =0,5x ; v' = -2 /x.
u'v+v'u =  0,5x(9-2ln(x)) -0,5x =0,5x(8-2ln(x) = x(4-ln(x)) = g(x).
b. L’affirmation suivante est-elle vraie?
� Il n’existe aucun r�el α strictement sup�rieur � 1 tel que :
G(a) -G(1) =0,25 a2 (9-2ln(a))-2,25 =0.
a2 (9-2ln(a))- 9  =0 ; affirmation fausse.
 

Exercice 4. 5 points
Les parties A et B de cet exercice sont ind�pendantes.
Partie A.
Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la r�ponse.
Il est attribu� un point par r�ponse correctement justifi�e. Une r�ponse non justifi�e n’est pas prise en compte, une absence de r�ponse n’est pas p�nalis�e.
1. On consid�re la suite (pn) d�finie pour tout entier naturel n, par
pn = n2 −42n +4.
Affirmation 1 : La suite (pn) est strictement d�croissante. Faux.
pn+1 -pn= (n+1)2 −42(n+1) +4 -( n2 −42n +4)
pn+1 -pn=(n+1)2 −n2 -42 .
pn+1 -pn=(n+1+n)(n+1-n) -42 =(2n+1)-42 = 2n -41.
pn+1 -pn > 0 si n >20,5 ( suite croissante) et pn+1 -pn < 0 si n < 20,5 ( suite d�croissante).

2. Soit a un nombre r�el. On consid�re les suites (un) et (vn) d�finies par :
• U0 = a et, pour tout entier naturel n, un+1 =(u2n+8)� /3.
• vn = u2n−1 pour tout entier naturel n.
Affirmation 2 : La suite (vn) est une suite g�om�trique. Vrai.
vn+1 = u2n+1−1 =(u2n+8) / 9-1 =u2n/ 9-1 /9 =(u2n-1) / 9 = vn /9.
(vn) est une suite g�om�trique de premier terme a2-1 et de raison q =1/9.
 
3. On consid�re une suite (wn) qui v�rifie, pour tout entier naturel n,
n2 < (n +1)2wn < n2 +n.
Affirmation 3 : La suite (wn) converge. Vrai.
[n / (n+1)]2 < wn < (n2 +n) /(n+1)2.
La suite d�finie par [n / (n+1)]2  est croissante et converge vers 1.
La suite (n2 +n) /(n+1)2 est croissante et converge vers 1.
D'apr�s le th�or�me des gendarmes la suite (wn) converge donc vers 1.

Partie B.
On consid�re la suite (Un) d�finie par u0 =0,5 et, pour tout entier naturel n,
Un+1 =2Un / (1+Un).
1. Calculer U1 que l’on �crira sous la forme d’une fraction irr�ductible.
U1 =2U0 / (1+U0) =1 /1,5 = 2 / 3.
2. D�montrer par r�currence que, pour tout entier naturel n, Un =2n/(1+2n).
Initialisation : U1 = 2 / (1+2), la relation est vraie au rang 1.
H�r�dit� : la relation est suppos�e vraie au rang p : Up =2p/(1+2p).
Up+1 =2Up / (1+Up) ;
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire ; elle est vraie pour tout n entier.

3. On consid�re les trois algorithmes suivants dans lesquels les variables n, p et u sont du type nombre. Pour un seul de ces trois algorithmes la variable u ne contient pas le terme Un en fin
d’ex�cution. D�terminer lequel en justifiant votre choix.

Pour n =2.
Algorithme 1
Algorithme 2
 Algorithme 3
i
 i < n
 u
 i
u
 p =4
u2=4 /5
0
 vrai
 u1=2 / 3
 0
 u1=2 /3
1
 vrai
 u2=4 / 5
 1
 u2=4 /5
2
 faux
  
 2
 u3=8 /9
Pour l''algorithme 2 la variable u ne contient pas la valeur de un en fin d'ex�cution.
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