ÿþ<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN"> <html><head> <meta content="text/html; charset=UTF-16" http-equiv="content-type"> <title>Mathématiques,bac S Asie 2019</title> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1"></head><body style="background-color: rgb(255, 255, 255); color: rgb(0, 0, 0);" alink="#3366ff" link="black" vlink="#0099ff"> <center> <p> <table border="0"> <tbody> <tr> <td width="1373"> <center><span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span><span style="text-decoration: underline;"></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"><span style="text-decoration: underline; font-weight: bold;"></span><span style="text-decoration: underline;"></span><span style="text-decoration: underline; font-weight: bold;"></span></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"><span style="color: black;"><span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span></span></span><span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span><span style="text-decoration: underline; font-weight: bold;"></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"> </span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"><span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);"></span></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"><span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);"></span></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"><span style="text-decoration: underline;"></span></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"><span style="color: black;"></span></span><font color="#009900"><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"><span style="color: black;"></span></span></font> <hr style="height: 1px; width: 1%;" noshade="noshade"><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><b>Mathématiques, bac S Asie 2019.<br> </b></font> <p><small style="color: black;"><small><em style="font-family: Georgia,&quot;Times New Roman&quot;,Times,serif; font-size: 20px; font-weight: normal; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 2; word-spacing: 0px; background-color: rgb(255, 255, 255);"><small>En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l utilisation de <strong style="font-weight: normal;">Cookies</strong><strong style="font-weight: bold;"> </strong>vous proposant</small><small><strong style="font-weight: normal;"></strong><strong style="font-weight: bold;"> </strong><strong style="font-weight: normal;">des publicités adaptées à vos centres d intérêts.</strong></small> </em></small></small></p> </font><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"><span style="color: black;"></span></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"><span style="color: black;"></span></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"><span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);"></span></span><span style="font-size: 10pt; font-family: &quot;Arial&quot;,&quot;sans-serif&quot;;"><big><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"></span></big><o:p></o:p></span><font color="#009900"><span style="color: black;"></span></font><span style="color: rgb(0, 153, 0);"><span style="color: black;"><span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);"></span></span></span><span style="color: black;"></span><span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);"></span> <div style="text-align: center;"> </div> <p><font color="#009900"><table style="width: 980px; height: 152px;" border="0"> <tbody> <tr> <td colspan="2" rowspan="1" style="vertical-align: top; text-align: center;">. <!-- Pepsia Player chimix.com --> <div class="pepsia_player" data-token="00zj" data-mute="1" data-logo="1" data-controls="1" data-corner="bottom-left" data-popup="0" data-volume="1" data-autoplay="1" data-vid="04Rl" data-cid="0"></div> <script type="text/javascript">(function(){var e=document.createElement("script"),f=document.getElementsByTagName("script")[0];e.src="//player.pepsia.com/sdk.js?d="+(new Date).getTime().toString(16);e.type="text/javascript";e.async=!0;f.parentNode.insertBefore(e,f);})();</script> .</td> </tr> <tr> <td style="vertical-align: top;"> <div style="text-align: center;"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><span style="font-weight: normal; color: black;"></span></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><span style="font-weight: normal; color: black;"><span style="text-decoration: underline; font-weight: bold;"></span><span style="font-family: Times New Roman;"><span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span></span></span></font></font><span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span><span style="text-decoration: underline;"></span><span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0); text-decoration: underline;"><span style="color: black;"></span></span><span style="color: rgb(0, 153, 0);"><span style="color: black;"></span></span><span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0); text-decoration: underline;"><span style="color: black;"></span></span><span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Symbol;"><span style="font-family: Times New Roman;"><span style="color: black;"><span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span><span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);"></span><span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span><span style="font-style: italic; font-weight: bold;"></span></span></span></span></font></font></font><small><font style="font-family: Verdana;" color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="color: black;"><span style="font-weight: bold; color: rgb(51, 51, 255);"></span></span></font></font></font></font></small><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Symbol;"><span style="font-family: Times New Roman;"><span style="color: black;"></span></span></span></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Symbol;"><span style="font-family: Times New Roman;"><span style="color: black;"><small><span style="font-family: Verdana;"></span></small><small><span style="font-family: Verdana;"></span><span style="font-family: Arial;"><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span></span></small></span></span></span></font></font></font><font style="font-weight: normal;" color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Verdana;"><small><span style="font-weight: bold;"></span></small></span></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="font-weight: normal; font-family: Arial;" color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-style: italic;"></span></font></font></font></font></font></font><span style="font-family: Arial; font-style: italic;"></span><span style="font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span></span><span style="font-family: Arial;"></span><a href="kine15.html"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"></span></font></font></a><span style="font-family: Arial; color: black;"><span style="font-weight: bold;"></span><span style="font-weight: bold;"></span></span><span style="font-family: Arial;"></span><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small><span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span><span style="font-weight: bold;">Exercice 1</span> ( 6 points).<br>La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d évolution de la température d un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant.<br> Une tasse de café est servie à une température initiale de 80° C dans un milieu dont la température exprimée en degré Celsius, supposée constante, est notée M.<br> Le but de cet exercice est d étudier le refroidissement du café en appliquant la loi de Newton suivant deux modèles. L un, dans la partie A, utilise une suite ; l autre, dans la partie B, utilise une fonction.<br> Les parties A et B sont indépendantes.<br> <span style="font-weight: bold;">Partie A</span>.<br> Dans cette partie, pour tout entier naturel n, on note T<sub>n</sub> la température du café à l instant n, avec T<sub>n </sub>exprimé en degré Celsius et n en minute. On a ainsi T<sub>0</sub> = 80 .<br> On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques n et n +1 par l égalité :<br> T<sub>n+1</sub>-T<sub>n</sub> =k(T<sub>n</sub>-M) où k est une constante réelle.<br> Dans la suite de la partie A, on choisit M =10 et k = "0,2.<br> Ainsi, pour tout entier naturel n, on a : </small></font></font></small></font><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>T<sub>n+1</sub>-T<sub>n</sub> = -0,2(T<sub>n</sub>-10)</small></font></font></small></font></font><br> <font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small><span style="font-weight: bold;">1.</span> D après le contexte, peut-on conjecturer le sens de variations de la suite (T<sub>n</sub> ) ?<br> </small></font></font></small></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>(T<sub>n</sub>-10) est positif ; -0,2</small></font></font></small></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>(T<sub>n</sub>-10) est négatif ; </small></font></font></small></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>T<sub>n+1</sub>-T<sub>n</sub> est négatif.<br> La suite est décroissante.<br> </small></font></font></small></font></font></font><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small><span style="font-weight: bold;">2.</span> Montrer que pour tout entier naturel n : T<sub>n+1</sub> = 0,8 T<sub>n</sub> +2.<br> </small></font></font></small></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>T<sub>n+1</sub>=T<sub>n</sub> -0,2(T<sub>n</sub>-10) = 0,8 T<sub>n</sub>+2.</small></font></font></small></font></font></font><br> <font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small><span style="font-weight: bold;">3.</span> On pose, pour tout entier naturel n : u<sub>n</sub> = T<sub>n</sub>-10.<br> <span style="font-weight: bold;">a)</span> Montrer que (u<sub>n</sub>) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme u<sub>0</sub> .<br> </small></font></font></small></font><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>u<sub>n+1</sub> = T<sub>n+1</sub>-10=0,8 T<sub>n</sub>-10 +2 = 0,8 (T<sub>n</sub> -10) =0,8 u<sub>n</sub>.<br> On passe d'un terme au suivant en le multipliant par 0,8. <br> C'est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme u<sub>0</sub> = T<sub>0</sub>-10 = 80 -10 = 70.<br> </small></font></font></small></font></font><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small><span style="font-weight: bold;">b)</span> Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : T<sub>n</sub> = 70 x0,8<sup>n</sup>+10.<br> u<sub>n</sub> = 70 x0,8<sup>n</sup> ; </small></font></font></small></font><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>T<sub>n</sub> = 70 x0,8<sup>n</sup>+10.<br> <span style="font-weight: bold;">4.</span> On considère l algorithme suivant :<br> Tant que T <span style="text-decoration: underline;">&gt;</span> 40<br> T = 0,8 T+2<br> n = n+1<br> Fin Tant que<br> <br> <span style="font-weight: bold;">a) </span>Au début, on affecte la valeur 80 à la variable T et la valeur 0 à la variable n.<br> Quelle valeur numérique contient la variable n à la fin de l exécution de l algorithme ?<br> <span style="font-weight: bold;">b)</span> Interpréter cette valeur dans le contexte de l exercice.<br> 40 =</small></font></font></small></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>70 x0,8<sup>n</sup>+10 ; 30 / 70 = 0,8<sup>n</sup> ; ln(3 / 7) = n ln(0,8) ; n = 3,797. ( n = 4).<br> Au bout de 4 minutes la température du café est inférieure à 40°C.<br> <br> <span style="font-weight: bold;">Partie B</span>.<br> </small></font></font></small></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>Dans cette partie, pour tout réel t positif ou nul, on note <span style="font-family: Symbol;">q</span> (t) la température du café à l instant t,<br> avec <span style="font-family: Symbol;">q</span> (t) exprimé en degré Celsius et t en minute. On a ainsi <span style="font-family: Symbol;">q</span> (0) = 80 .<br> Dans ce modèle, plus précis que celui de la partie A, on suppose que <span style="font-family: Symbol;">q</span> est une fonction dérivable sur l intervalle [0,+oo[ et que, pour tout réel t de cet intervalle, la loi de Newton se modélise par<br> l égalité : <span style="font-family: Symbol;">q</span> '(t) = "0,2(<span style="font-family: Symbol;">q</span> (t) "M ).<br> <span style="font-weight: bold;">1.</span> Dans cette question, on choisit M = 0 . On cherche alors une fonction <span style="font-family: Symbol;">q</span> dérivable sur l intervalle [0,+oo[ vérifiant <span style="font-family: Symbol;">q</span> (0) = 80 et, pour tout réel t de cet intervalle : <span style="font-family: Symbol;">q</span> '(t) = "0, 2<span style="font-family: Symbol;">q</span> (t) .<br> <span style="font-weight: bold;">a)</span> Si <span style="font-family: Symbol;">q</span> est une telle fonction, on pose pour tout t de l intervalle [0,+oo[ , f(t) =<span style="font-family: Symbol;">q</span>(t) / e<sup>-0,2t</sup>.<br> Montrer que la fonction f est dérivable sur [0,+oo[ et que, pour tout réel t de cet intervalle, f '(t) = 0 .<br> Sur cet intervalle la fonction g(t) = 0,2 t est dérivable ; il en est de même de la fonction </small></font></font></small></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>e<sup>-0,2t</sup>.<br> La fonction f(t) est le quotient de fonctions dérivables ; f(t) est donc dérivable sur cet intervalle.<br> </small></font></font></small></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small><span style="font-weight: bold;">b)</span> En conservant l hypothèse du a), Calculer f (0) .<br> En déduire, pour tout t de l intervalle [0,+oo[ , une expression de f (t) , puis de <span style="font-family: Symbol;">q</span> (t) .<br> </small></font></font></small></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>f(0) =<span style="font-family: Symbol;">q</span>(0) / e<sup>0</sup>=</small></font></font></small></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small><span style="font-family: Symbol;"> q</span>(0) = 80.<br> f '(t) = [<span style="font-family: Symbol;">q</span>'(t)&nbsp; e<sup>-0,2t</sup> +0,2 <span style="font-family: Symbol;">q</span>(t) </small></font></font></small></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>e<sup>-0,2t</sup>] /<sup>&nbsp;</sup> </small></font></font></small></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small> </small></font></font></small></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>e<sup>-0,4t</sup> =</small></font></font></small></font></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>[<span style="font-family: Symbol;">q</span>'(t)&nbsp; +0,2 <span style="font-family: Symbol;">q</span>(t) </small></font></font></small></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>] /<sup>&nbsp;</sup> </small></font></font></small></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small> </small></font></font></small></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>e<sup>-0,2t</sup> ;<br> f '(t) = [</small></font></font></small></font></font></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>"0,2<span style="font-family: Symbol;">q</span> (t)</small></font></font></small></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>+0,2 <span style="font-family: Symbol;">q</span>(t) </small></font></font></small></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>] /<sup>&nbsp;</sup> </small></font></font></small></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small> </small></font></font></small></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>e<sup>-0,2t</sup>&nbsp; = 0.<br> f(t) = constante = f(0) = 80.<br> </small></font></font></small></font></font></font></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small><span style="font-family: Symbol;">q</span>(t) = 80 </small></font></font></small></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>e<sup>-0,2t</sup>.</small></font></font></small></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small> <br> </small></font></font></small></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small><span style="font-weight: bold;">c)</span> Vérifier que la fonction <span style="font-family: Symbol;">q</span> trouvée en b) est solution du problème.<br> </small></font></font></small></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small><span style="font-family: Symbol;"> q</span>(0) = 80.<br> </small></font></font></small></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small><span style="font-family: Symbol;">q</span>(t) est dérivable en tant que multiplication d'une fonction dérivable par un nombre réel.<br> </small></font></font></small></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small><span style="font-family: Symbol;">q</span> '(t) =-0,2 x80 </small></font></font></small></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>e<sup>-0,2t</sup> =</small></font></font></small></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small> -0,2 <span style="font-family: Symbol;">q</span>(t).<br> Cette fonction est donc solution du problème.<br> </small></font></font></small></font></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small><span style="font-weight: bold;">2. </span>Dans cette question, on choisit M =10 . On admet qu il existe une unique fonction g dérivable<br> sur [0,+oo[ , modélisant la température du café à tout instant positif t, et que, pour tout t de l intervalle [0,+oo[ :<br> g(t) = 10 +70e<sup>-0,2t</sup>.<br> où t est exprimé en minute et g(t) en degré Celsius.<br> Une personne aime boire son café à 40° C.<br> Montrer qu il existe un unique réel t<sub>0</sub> dans [0,+oo[ tel que g(t<sub>0</sub>) = 40 .<br> Donner la valeur de t<sub>0</sub> arrondie à la seconde.<br> g '(t) = -0,2 x70 </small></font></font></small></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>e<sup>-0,2t</sup> est strictement négative.<br> g(t) est strictement décroissante.<br> g(0) = 80 ; g(t) tend vers 10 quand t tend vers plus l'infini.<br> 40 appartient à [10 ; 80 ]<br> D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, g(t) =40 admet une solution unique t<sub>0</sub>. <br> </small></font></font></small></font></font></font><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small> </small></font></font></small></font> <font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small> </small></font></font></small></font> <font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small> </small></font></font></small></font></font></font> <font color="#009900"><font color="#009900"><span style="font-family: Arial;"><span style="color: black;">40 =</span></span></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>10 +70e<sup>-0,2t</sup> ; 30 / 70 = </small></font></font></small></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small>e<sup>-0,2t</sup> ; ln(3 / 7) = -0,2 t ; t =4,236 min ou 4 min 15 s.</small></font></font></small></font></font></font></font><br> <font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"><span style="font-style: italic;"></span></span></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"><span style="font-style: italic;"></span></span></font></font></font><span style="font-family: Arial;"> </span> <span style="font-family: Arial;"></span><span style="font-family: Arial;"></span><span style="font-family: Arial;"> <span style="font-style: italic;"></span></span><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"><span style="font-style: italic;"></span></span></font><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"></span></font><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"><span style="font-style: italic;"></span></span></font></font><font style="font-weight: normal; font-family: Arial;" color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span></span></font></font><font style="font-weight: normal; font-family: Arial;" color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="text-decoration: underline;"></span></font></font><font style="font-weight: normal; font-family: Arial;" color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-style: italic;"></span></font></font><font color="#009900"><span style="font-family: Verdana;"><span style="color: black;"><span style="font-family: Arial;"></span></span></span></font><font color="#009900"><small><span style="font-family: Verdana;"><span style="color: black;"><span style="font-style: italic;"> </span><span style="font-style: italic;"></span></span></span></small></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Symbol;"><span style="font-family: Times New Roman;"><span style="color: black;"></span></span></span></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Symbol;"><span style="font-family: Times New Roman;"><span style="color: black;"></span></span></span></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Symbol;"><span style="font-family: Times New Roman;"><span style="color: black;"><span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);"></span></span></span></span></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Symbol;"><span style="font-family: Times New Roman;"><span style="color: black;"></span></span></span></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Symbol;"><span style="font-family: Times New Roman;"><span style="color: black;"></span></span></span></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Symbol;"><span style="font-family: Times New Roman;"><span style="color: black;"></span></span></span></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Symbol;"><span style="font-family: Times New Roman;"><span style="color: black;"></span></span></span></font></font></font></font><font color="#009900"><span style="color: black;"></span><span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);"></span></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="font-weight: normal; color: black;" color="#009900"><font style="color: black;"><span style="font-family: Times New Roman;"></span></font></font></font></font></font><font color="#009900"><span style="color: black; font-weight: normal;"><span style="font-family: Times New Roman;"></span></span></font><font color="#009900"><span style="color: black; font-weight: normal;"><span style="font-family: Times New Roman;"> </span></span></font><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Times New Roman;"> </span></font><font style="color: black; font-style: italic;" color="#009900"><span style="font-family: Times New Roman;"> </span></font></font><span style="color: black; font-weight: bold;"></span> <span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);"></span></div> </td> <td style="vertical-align: top;"><font color="#009900"> <script async="" src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script><ins class="adsbygoogle" style="width: 300px; 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font-family: Arial;" color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="text-decoration: underline;"></span><span style="font-style: italic;"></span></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="font-weight: normal; font-family: Arial;" color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="text-decoration: underline;"></span></font></font></font></font></font> <center style="font-weight: normal; color: black;"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"></span></font></font><span style="font-family: Arial;"></span><font color="#009900"><font style="font-family: Arial;" color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><span style="color: black;"></span></font></font></font></font><font color="#009900"><span style="font-family: Arial; color: black;"></span></font><font color="#009900"><span style="font-family: Arial;"><big><span style="font-family: Symbol;"></span></big></span></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="font-family: Arial;" color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="font-weight: normal;" color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="text-decoration: underline;"></span></font></font></font></font></font></font></font></font><font color="#009900"><span style="font-family: Arial; color: black;"><span style="font-weight: bold;"></span></span></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span><span style="font-weight: bold;"><span style="text-decoration: underline;"></span></span></span></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"><big><span style="font-family: Symbol;"></span></big></span></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold;">Exercice 2</span> ( 4 points ).<br>Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre affirmations est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre correspondant à l affirmation exacte. Il est attribué un point si la lettre correspond à l affirmation exacte, 0 sinon.<br> Dans tout l exercice, on se place dans un repère orthonormé (O ; i , j , k ) de l espace.<br> Les quatre questions sont indépendantes. Aucune justification n est demandée.<br> <span style="font-weight: bold;">1.</span> On considère le plan p d équation cartésienne 3x + 2y + 9z " 5 = 0 et la droite d dont une<br> représentation paramétrique est :<br> x = 4t +3 ; y = -t+2 ; z = -t+9 avec t réel.<br> <span style="text-decoration: underline;">Affirmation A</span> : l intersection du plan p et de la droite d est réduite au point de coordonnées (3 ;2 ;9). <span style="font-weight: bold;">Faux</span>.<br> 3 x3 +2 x2 +9 x9 -5 = 73 différent de zéro.<br> Les coordonnées de ce point ne vérifient pas l'équation deu plan P.<br> <span style="text-decoration: underline;">Affirmation B</span> : le plan P et la droite d sont orthogonaux. <span style="font-weight: bold;">Faux</span>.<br> Coordonnées du vecteur orthogonal au plan P : (3 ; 2 ; 9).<br> Coordonnées du vecteur directeur de la droite (d) : (4 ; -1 ; -1).<br> Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.<br> <span style="text-decoration: underline;">Affirmation C</span> : le plan P et la droite d sont parallèles. <span style="font-weight: bold;">Faux</span>.<br> Le produit scalaire de ces deux vecteur est égal à : 4 x3 -2-9 = 1.<br> Le produit scalaire diffère de zéro, la droite (d= et le plan P ne sont pas parallèles.<br> <span style="text-decoration: underline;">Affirmation D</span> : l intersection du plan p et de la droite d est réduite au point de coordonnées ("353 ;91 ;98) . <span style="font-weight: bold;">Vrai</span>.<br> 3(4t+3) +2(-t+2) +9(-t+9) -5 = 0 ; t = -89.<br> x = -89 x 4 +3 =&nbsp; -353 ; y = 89+2 = 91 ; z = 89+9 =98.<br> <br> <span style="font-weight: bold;">2.</span> On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous et les points I, J et K définis par les égalités vectorielles.<br> <img style="width: 614px; height: 320px;" alt="" src="image/as1933.jpg"><br> .<br> <span style="text-decoration: underline;">Affirmation A</span> : la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK) est un triangle.<br> <span style="text-decoration: underline;">Affirmation B</span> : la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK) est un quadrilatère.<br> <span style="text-decoration: underline;">Affirmation C</span> : la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK) est un pentagone. <span style="font-weight: bold;">Vrai</span>.<br> <span style="text-decoration: underline;">Affirmation D</span> : la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK) est un hexagone.<br> <br> <span style="font-weight: bold;">3.</span> On considère la droite d dont une représentation paramétrique est<br> x = t+2 ; y = 2 ; z = 5t-6 avec t réel<br> et le point A(" 2 ;1 ;0) . Soit M un point variable de la droite d.<br> <span style="text-decoration: underline;">Affirmation A</span> : la plus petite longueur AM est égale à 53<sup>½</sup> .<br> AM =[(t+2+2)<sup>2</sup> +(2-1)<sup>2</sup> +(5t-6-0)<sup>2</sup>]<sup>½</sup> =[t<sup>2</sup> +16 +8t + 1 +25t<sup>2</sup> +36 -60t]<sup>½</sup> =[26 t<sup>2</sup> -52t +53]<sup>½</sup>.<br> </span></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;">26 t<sup>2</sup> -52t +53 atteint son minimum pour t =52 / (2 x26) = 1 ; <br> AM<sub>min</sub> = </span></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;">[26&nbsp; -52 +53]<sup>½</sup> = 27 <sup>½</sup>.</span></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font><br> <font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"><span style="text-decoration: underline;">Affirmation B</span> : la plus petite longueur AM est égale à 27½. <span style="font-weight: bold;">Vrai</span>.<br> <span style="text-decoration: underline;">Affirmation C</span> : la plus petite longueur AM est atteinte lorsque le point M a pour coordonnées (" 2 ;1 ;0) .<br> <span style="text-decoration: underline;">Affirmation D</span> : la plus petite longueur AM est atteinte lorsque le point M a pour coordonnées (2 ;2 ;"6) .<br> <br> <br> <span style="font-weight: bold;">4. </span>On considère le plan p d équation cartésienne x + 2y "3z +1 = 0 et le plan p d équation cartésienne 2x " y + 2 = 0 .<br> <span style="text-decoration: underline;">Affirmation A</span> : les plans p et p sont parallèles. <span style="font-weight: bold;">Faux</span>.<br> Coordonnées d'un vecteur normal au plan P : (1 ; 2 ; -3).<br> </span></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;">Coordonnées d'un vecteur normal au plan P' : (2 ; -1 ; 2).<br> Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.<br> </span></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"><span style="text-decoration: underline;">Affirmation B </span>: l intersection des plans p et p est une droite passant par les points A(5 ;12 ;10) et B(3 ;1 ;2) .</span></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold;">Faux</span>.</span></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font><br> <font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;">5 +2 x 12 -3 x10+1 = 0 est vérifié ; A appartient au plan P.<br> 2 x5 -12 +2 = 0 est vérifiée, A appartient au plan P'.<br> </span></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;">3 +2 x 1 -3 x2+1 = 0&nbsp; est vérifié ; B appartient au plan P.<br> 2 x2 -1 +2 diffère de zéro, B n'appartient pas au plan P'.</span></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font><br> <font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"><span style="text-decoration: underline;">Affirmation C</span> : l intersection des plans p et p est une droite passant par le point C(2 ;6 ;5) et dont un vecteur directeur a pour coordonnées (1 ;2 ;2). <span style="font-weight: bold;">Faux</span>.<br> <img style="width: 592px; height: 55px;" alt="" src="image/as1934.jpg"><br> <span style="text-decoration: underline;">Affirmation D</span> : l intersection des plans p et p est une droite passant par le point D("1 ;0 ;0) et dont un vecteur directeur a pour coordonnées (3 ;6 ;5). <span style="font-weight: bold;">Vrai</span>.<br> <img style="width: 544px; height: 69px;" alt="" src="image/as1935.jpg"><br> De plus </span></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;">-1+1 = 0 est vérifié ; D appartient au plan P.-2+2=0, D appartient au plan P'.</span></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font><br> <font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;">.<br> </span></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"></span></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font> <font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"> </span></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font> <font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"></span></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"></span></font></font></font></font><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"></span></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"></span></font></font></font></font></font></font></font></font></font><span style="font-family: Arial;"> </span><span style="font-family: Arial;"> <span style="font-style: italic;"></span></span><span style="font-family: Arial;"></span><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"></span></font></center> <span style="font-weight: normal; color: black; font-family: Arial;"></span><span style="font-weight: normal; color: black; font-family: Arial;"></span><span style="font-weight: normal; color: black; font-family: Arial;"></span><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="font-weight: normal; font-family: Arial;" color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-style: italic;"></span></font></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><span style="color: black; font-weight: normal;"><span style="font-family: Arial;"><span style="font-style: italic;"></span></span></span></font></font></font></td> <td style="vertical-align: top;"><br> </td> </tr> </tbody> </table> <span style="color: black;"><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"><span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);"></span></span></span></font><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"><span style="text-decoration: underline; font-weight: bold;"></span></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"><span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);"></span></span><font color="#009900"><span style="color: black;"><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"></span></span></font> <script> (function() { var cx = '003809798789904613312:whvo2ag9n2m'; var gcse = document.createElement('script'); gcse.type = 'text/javascript'; gcse.async = true; gcse.src = (document.location.protocol == 'https:' ? 'https:' : 'http:') + '//cse.google.com/cse.js?cx=' + cx; var s = document.getElementsByTagName('script')[0]; s.parentNode.insertBefore(gcse, s); })(); </script><gcse:search></gcse:search></p> <center> </center> <span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span> <table style="width: 1279px; height: 32px; text-align: left; margin-left: auto; margin-right: auto;" border="0" cellpadding="2" cellspacing="2"> <tbody> <tr> <td colspan="1" rowspan="1" style="vertical-align: top;"><br> </td> <td style="vertical-align: top;"><br> </td> </tr> <tr> <td style="width: 1016px; vertical-align: top; text-align: center; font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span><span style="font-weight: bold;"></span><span style="font-weight: bold;"></span><span style="font-weight: bold;"></span><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"></span></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font><span style="font-weight: bold;"></span><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold;"></span> <span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span></span></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold;"></span></span></font></font></font></font></font></font></font></font></font><span style="font-weight: bold;"></span> <br style="font-weight: bold;"> <span style="font-weight: bold;">Exercice 3</span>. ( 7 points )<br> <span style="font-weight: bold;"></span>Les parties A, B et C sont indépendantes.<br> Dans tout l exercice, on arrondira les résultats au millième.<br> <span style="font-weight: bold;">Partie A</span>.<br> En France, la consommation de produits bio croît depuis plusieurs années.<br> En 2017, le pays comptait 52 % de femmes. Cette même année, 92 % des Français avaient déjà consommé des produits bio. De plus, parmi les consommateurs de produits bio, 55 % étaient des femmes.<br> On choisit au hasard une personne dans le fichier des Français de 2017. On note :<br> " F l évènement « la personne choisie est une femme » ;<br> " H l évènement « la personne choisie est un homme » ;<br> " B l évènement « la personne choisie a déjà consommé des produits bio ».<br><span style="font-weight: bold;"> 1. </span>Traduire les données numériques de l énoncé à l aide des évènements F et B.<br> P(F) = 0,52 ; P(B) = 0,92 ; P<sub>B</sub>(F) = 0,55.<br><span style="font-weight: bold;"> 2. a) </span>Montrer que P(F n B) = 0,506 .<br> P<sub>B</sub>(F) =P(F n B) / P(B) ; P(F n B) = 0,92 x0,55 =0,506.<br><span style="font-weight: bold;"> b)</span> En déduire la probabilité qu une personne ait consommé des produits bio en 2017, sachant que c est une femme.<br> P<sub>F</sub>(B) =P(F n B) / P(F)&nbsp; = 0,506 / 0,52 =0,973.<br><span style="font-weight: bold;"> 3. </span>Calculer P<sub>H</sub>(non B) . Interpréter ce résultat dans le contexte de l exercice.<br> P(non B) = 1-0,92 = 0,08.<br> P<sub>F</sub>(B) =0,973 ; par suite P<sub>F</sub>(non B) =1-0,973 =0,027.<br> Donc : P(F n non B) =0,027 x0,52 = 0,014.<br> Formule des probabilités totales : P(non B) = P(H n non B) + P(F n non B) =0,08.<br> P(H n non B) =0,08 -0,014 = 0,066.<br> P<sub>H</sub>(non B) = P(H n non B) / P(H) =0,066 / (1-0,52) =0,137.<br> La probabilité qu'un homme n'est pas consommé de produit bio est 0,137.<br> <br><span style="font-weight: bold;"> Partie B</span>.<br> Dans un supermarché, un chef de rayon souhaite développer l offre de produits bio.<br>Afin de justifier sa démarche, il affirme à son responsable que 75 % des clients achètent des produits bio au moins une fois par mois.<br> Le responsable souhaite vérifier ses dires. Pour cela, il organise un sondage à la sortie du magasin.<br> Sur 2 000 personnes interrogées, 1 421 répondent qu elles consomment des produits bio au moins une fois par mois.<br> Au seuil de 95 %, que peut-on penser de l affirmation du chef de rayon ?<br> n = 2000 ; p = 0,75. n &gt; 30 ; np =2000 x0,75 = 1500 &gt; 5 ; n(1-p) = 2000 x0,25 = 500 &gt; 5.<br> Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % : <br> &nbsp;1,96 (p(1-p) / n)<sup>½</sup> =1,96 (0,75 x0,25 / 2000)<sup>½</sup> =0,019.<br> [0,75 -0,019 ; 0,75 +0,019) soit [0,73 ; 0,77 ].<br> Fréquence observée f = 1421 / 2000 =0,71<br> Cette valeur n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation. Au risque de 5 %, l'affirmation est fausse.<br> <br><span style="font-weight: bold;"> Partie C</span>.<br>Pour promouvoir les produits bio de son enseigne, le responsable d un magasin décide d organiser un jeu qui consiste, pour un client, à remplir un panier avec une certaine masse d abricots issus de l agriculture biologique. Il est annoncé que le client gagne le contenu du panier si la masse<br> d abricots déposés est comprise entre 3,2 et 3,5 kilogrammes.<br> La masse de fruits en kg, mis dans le panier par les clients, peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi de probabilité de densité f définie sur l intervalle [3 ; 4] par : f(x) = 2 / (x-2)<sup>2</sup>.<br> Rappel : on appelle fonction de densité d une loi de probabilité sur l intervalle [a, b] toute fonction f définie, continue et positive sur [a, b], telle que l intégrale de f sur [a, b] est égale à 1.<br><span style="font-weight: bold;"> 1.</span> Vérifier que la fonction f précédemment définie est bien une fonction de densité d une loi de probabilité sur l intervalle [3 ; 4].<br> La fonction f, quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas,&nbsp; est continue sur cet intervalle.<br> De plus f(x) est positive.<br> Primitive de f(x) : F(x) = -2 / (x-2).<br> F(4) -F(3) =2 [ -1 / 2 -(-1 / 1) ]= 2(-0,5 +1)=1.<br><span style="font-weight: bold;"> 2. </span>Le magasin annonce : « Un client sur trois gagne le panier ! ». Cette annonce est-elle exacte ?<br> P(3,2 <span style="text-decoration: underline;">&lt;</span> X <span style="text-decoration: underline;">&lt;</span> 3,5) =F(3,5) -F(3,2) = -2 [1 / 1,2 -1 / 1,5) = 0,333.<br> L'annonce est exacte.<br> <span style="font-weight: bold;">3. </span>Cette question a pour but de calculer l espérance mathématique E(X ) de la variable aléatoire X.<br> On rappelle que, pour une variable aléatoire X de densité f sur l intervalle [a, b], E(X ) est donnée par :<img style="width: 154px; height: 43px;" alt="" src="image/as1936.jpg" align="middle"><br><span style="font-weight: bold;"> a)</span> Vérifier que la fonction G, définie sur l intervalle [3 ; 4] par G(x) = ln(x-2) -x /(x-2) , est une primitive de la fonction x /(x-2)<sup>2</sup> sur cet intervalle.<br> On calcule G'(x) en posant u = x, v = x-2 ; u' = 1 ; v' = 1.<br> (u'v-v'u) / v<sup>2</sup> = (x-2-x) / (x-2)<sup>2</sup> = -2 /(x-2)<sup>2</sup>. <br> G'(x) = 1 /(x-2) +2 /(x-2)<sup>2</sup>. <br> Réduire au même dénominateur ; G'(x) = (x-2+2) / (x-2)<sup>2</sup> = x /(x-2)<sup>2</sup> .<br><span style="font-weight: bold;"> b)</span> En déduire la valeur exacte de E(X ) , puis sa valeur arrondie au centième.<br> Interpréter le résultat dans le contexte de l exercice.<br> G(4) -G(3) = 2[ln(2) -2 -ln(1)+3] =2(ln(2) +1) ~3,39.<br> La masse moyenne du panier d'abricots est 3,39 kg.<br> <font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small> </small></font></font></small></font></font> <font color="#009900"><font color="#009900"><small><font color="#009900"><font color="#000000" face="Times New Roman" size="+2"><small> </small></font></font></small></font></font> <p style="color: rgb(0, 0, 0); font-family: Arial; font-size: medium; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; text-align: center; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 1; word-spacing: 0px; background-color: rgb(255, 255, 255);"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"></span></font></font></font></font></font></font></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Arial;"><span style="font-style: italic;"></span></span></font></font></font></font></font></font></font></font></font></p> <span style="font-weight: bold;"></span><span style="font-weight: bold;"></span><big><span style="font-family: Symbol;"></span></big><big><span style="font-family: Symbol;"></span></big> <big><span style="font-family: Symbol;"><small><span style="font-family: Arial;"></span></small></span></big> </td> <td style="vertical-align: top;"> <script async="" src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script><ins class="adsbygoogle" style="width: 300px; height: 600px;" data-ad-client="ca-pub-0015053057299262" data-ad-slot="5122043886"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script><br> </td> </tr> </tbody> </table> <span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span><span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);"><font color="#000000"> <script language="" type="text/javascript"><!-- google_ad_client = "pub-0015053057299262"; google_ad_width = 728; google_ad_height = 15; google_ad_format = "728x15_0ads_al"; google_ad_channel = ""; google_color_border = "2BA94F"; google_color_bg = "FFFFFF"; google_color_link = "CC0000"; google_color_text = "000000"; google_color_url = "CC0000"; //--></script></font></span><span style="color: rgb(0, 153, 0);"></span><span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);"><font color="#000000"> <script language="" type="text/javascript" src="http://pagead2.googlesyndication.com/pagead/show_ads.js"></script></font></span><small><span style="font-family: Verdana;"><span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span></span></small><small><span style="font-family: Verdana;"></span></small><small><span style="font-family: Verdana;"></span></small><small><span style="font-family: Verdana;"></span></small><font color="#000000"><b><i> </i></b> </font><font color="#000000"> </font> <p> <table style="margin-right: auto; margin-left: auto; text-align: left; width: 1366px; height: 151px;" border="0"> <tbody> <tr align="center"> <td style="vertical-align: top;"><span style="font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold;"></span><span style="text-decoration: underline;"></span><span style="font-weight: bold;"></span></span><span style="font-family: Arial;"></span><span style="font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold;"></span></span><span style="font-family: Arial;"></span><span style="font-family: Arial;"></span><span style="font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold;"></span><br> </span><font color="#009900"><span style="font-family: Arial;"></span></font><font color="#009900"><span style="font-family: Arial;"><span style="color: black;"></span></span></font><span style="font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold;">Exercice 4</span>  Candidats n ayant pas suivi la spécialité mathématique (5 points)</span><br style="font-family: Arial;"> <span style="font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold;">1.</span> On considère dans l ensemble des nombres complexes l équation (E) à l inconnue z :</span><br style="font-family: Arial;">&nbsp; <span style="font-family: Arial;">z<sup>3</sup> + ("2 *3<sup>½</sup> + 2i )z<sup>2</sup> + (4 " 4i 3<sup>½</sup>) z + 8i = 0 (E).</span><br style="font-family: Arial;"> <span style="font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold;">a) </span>Montrer que le nombre " 2i est une solution de l équation (E).<br> </span><span style="font-family: Arial;">8i<sup>3</sup> + ("2 *3<sup>½</sup> + 2i )4i<sup>2</sup> + (4 " 4i 3<sup>½</sup>) 2i + 8i = 0.<br> -8 i-4 </span><span style="font-family: Arial;">("2 *3<sup>½</sup> + 2i ) +8i-8i<sup>2</sup> 3<sup>½</sup>+8i=0.<br> 8</span><span style="font-family: Arial;">*3<sup>½</sup> -8i -8* </span><span style="font-family: Arial;">3<sup>½</sup>+8i=0 est vérifié.</span><br style="font-family: Arial;"> <span style="font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold;">b)</span> Vérifier que, pour tout nombre complexe z, on a :</span><br style="font-family: Arial;"> &nbsp; <span style="font-family: Arial;">z<sup>3</sup> + ("2 *3<sup>½</sup> + 2i )z<sup>2</sup> + (4 " 4i 3<sup>½</sup>) z + 8i =(z+2i)(z<sup>2</sup> -2*3<sup>½</sup>z+4).<br> On développe : <br> </span><span style="font-family: Arial;">(z+2i)(z<sup>2</sup> -2*3<sup>½</sup>z+4) =</span> <span style="font-family: Arial;">z<sup>3</sup> </span><span style="font-family: Arial;">"2 *3<sup>½</sup> z<sup>2</sup> +4 z +2iz<sup>2</sup></span><span style="font-family: Arial;">" 4i 3<sup>½</sup> z +8i =</span>&nbsp; <span style="font-family: Arial;">z<sup>3</sup> + ("2 *3<sup>½</sup> + 2i )z<sup>2</sup> + (4 " 4i 3<sup>½</sup>) z + 8i. </span><br style="font-family: Arial;"> <span style="font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold;">c)</span> Résoudre l équation (E) dans l ensemble des nombres complexes.<br> z+2i = 0 conduit à z = -2i.<br> </span><span style="font-family: Arial;">z<sup>2</sup> -2*3<sup>½</sup>z+4=0 ; discriminant <span style="font-family: Symbol;">D</span> =(2*3<sup>½</sup>)<sup>2</sup> -4 *4 = -4 = 4 i<sup>2</sup>.<br> Solutions : z = (</span><span style="font-family: Arial;">2*3<sup>½</sup>± 2i) / 2 = </span><span style="font-family: Arial;">3<sup>½</sup>± i.</span><br style="font-family: Arial;"> <span style="font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold;">d)</span> Écrire les solutions de l équation (E) sous forme exponentielle.<br> z = -2i = 2 exp(-i <span style="font-family: Symbol;">p</span>/2).<br> z = 3<sup>½</sup>+i ; |z| =(3+1)<sup>½ </sup>= 2 ; z / |z| = </span><span style="font-family: Arial;"> 3<sup>½</sup>/ 2 + 0,5i=cos (<span style="font-family: Symbol;">p</span>/6) + i sin(</span><span style="font-family: Arial;"><span style="font-family: Symbol;">p</span>/6</span><span style="font-family: Arial;">) =exp(i</span><span style="font-family: Arial;"><span style="font-family: Symbol;">p</span>/6) ; z = 2 </span><span style="font-family: Arial;">exp(i</span><span style="font-family: Arial;"><span style="font-family: Symbol;">p</span>/6).<br> </span><span style="font-family: Arial;">z = 3<sup>½</sup>-i ; |z| =(3+1)<sup>½ </sup>= 2 ; z / |z| = </span><span style="font-family: Arial;"> 3<sup>½</sup>/ 2 - 0,5i=cos (-<span style="font-family: Symbol;">p</span>/6) + i sin(-</span><span style="font-family: Arial;"><span style="font-family: Symbol;">p</span>/6</span><span style="font-family: Arial;">) =exp-(i</span><span style="font-family: Arial;"><span style="font-family: Symbol;">p</span>/6) ; z = 2 </span><span style="font-family: Arial;">exp(-i</span><span style="font-family: Arial;"><span style="font-family: Symbol;">p</span>/6).</span><br style="font-family: Arial;"> <span style="font-family: Arial;">Dans la suite, on se place dans le plan muni d un repère orthonormé direct d origine O.</span><br style="font-family: Arial;"> <span style="font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold;">2.</span> On considère les points A, B, C d affixes respectives " 2i , 3<sup>½</sup> + i et 3<sup>½</sup> "i .</span><br style="font-family: Arial;"> <span style="font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold;">a)</span> Montrer que A, B et C appartiennent à un même cercle de centre O dont on déterminera le </span><span style="font-family: Arial;">rayon.<br> Ces trois nombres complexes possèdent le même module 2.<br> OA = OB = OC, les points A, B, C appartiennent au même cercle de centre O et de rayon 2.</span><span style="font-family: Arial;"></span><span style="font-family: Arial;">|<br style="font-family: Arial;"> </span> <span style="font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold;">b)</span> Placer ces points sur une figure que l on complètera par la suite.<br> <img style="width: 214px; height: 192px;" alt="" src="image/as1937.jpg"><br style="font-family: Arial;"> </span> <span style="font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold;">c)</span> On note D le milieu du segment [OB]. Déterminer l affixe z<sub> L</sub> du point L tel que AODL soit </span><span style="font-family: Arial;">un parallélogramme.<br> <img style="width: 495px; height: 98px;" alt="" src="image/as1938.jpg"><br style="font-family: Arial;"> </span> <span style="font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold;">3.</span> On rappelle que, dans un repère orthonormé du plan, deux vecteurs de coordonnées respectives </span><span style="font-family: Arial;">(x, y) et (x ', y ') sont orthogonaux si et seulement si x x '+ y y ' = 0 .</span><br style="font-family: Arial;"> <span style="font-family: Arial;">a) Soit u</span><span style="font-family: Arial;"> </span><span style="font-family: Arial;">et v</span><span style="font-family: Arial;"> </span><span style="font-family: Arial;">deux vecteurs du plan, d affixes respectives z et z ' .</span><br style="font-family: Arial;"> <span style="font-family: Arial;">Montrer que ces deux vecteurs sont orthogonaux&nbsp;</span><span style="font-family: Arial;"></span> <span style="font-family: Arial;">si et seulement si&nbsp;<img style="width: 37px; height: 31px;" alt="" src="image/as1939.jpg" align="top"> est un imaginaire pur.<br> z = x +iy ; z' = x' +iy' ;&nbsp; </span><span style="font-family: Arial;"><img style="width: 37px; height: 31px;" alt="" src="image/as1939.jpg" align="top"></span><span style="font-family: Arial;">= xx' -i<sup>2</sup>yy' +i(-xy' +x'y).<br> Donc </span><span style="font-family: Arial;"><img style="width: 37px; height: 31px;" alt="" src="image/as1939.jpg" align="top">est un imaginaire pur implique que :xx' +yy' = 0 et que les deux vecteurs soient orthogonaux.</span><br style="font-family: Arial;"> <span style="font-family: Arial;"><span style="font-weight: bold;">b)</span> À l aide de la question 3.a), démontrer que le triangle AOL est rectangle en L.<br> <img style="width: 561px; height: 100px;" alt="" src="image/as1940.jpg"><br> </span> <font color="#009900"><span style="font-family: Arial;"><span style="color: black;"><br> </span></span></font><font color="#009900"><span style="font-family: Arial;"><span style="color: black;"></span></span></font><font color="#009900"><span style="font-family: Arial;"><span style="color: black;"> </span></span></font></td> </tr> </tbody> </table> </p> <span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span><br> <hr noshade="noshade" width="10%"><span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"><span style="font-weight: normal;"><span style="text-decoration: underline;"></span></span></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"><span style="font-weight: normal;"></span></span><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif;"><span style="font-weight: normal;"></span></span> <span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);"></span><span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span><span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);"></span><span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><span style="color: black;"></span></font></font></font><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><span style="color: black;"><span style="font-style: italic;"></span></span></font></font></font></font><span style="font-weight: normal;"><span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);"></span></span><font color="#000000" face="Times New Roman"><span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);"></span></font><span style="font-weight: normal;"></span><span style="text-decoration: underline; font-weight: bold;"></span><span style="color: rgb(0, 153, 0);"><span style="color: black;"><span style="font-family: Times New Roman,Times,serif; font-weight: normal;">&nbsp;</span></span></span><span style="text-decoration: underline; font-weight: bold;"></span>&nbsp;<span style="font-weight: normal;"><br> </span> </center> </td> </tr> <tr> <td style="text-align: center;" width="1373"><span style="font-weight: normal;"><span style="text-decoration: underline;"></span></span><span style="font-weight: normal;"></span><span style="font-weight: bold; color: rgb(0, 153, 0);"></span><span style="text-decoration: underline; font-weight: bold;"></span><span style="text-decoration: underline;"></span><span style="font-weight: bold; text-decoration: underline;"></span><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="font-weight: normal;" color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font color="#009900"><font style="color: black;" color="#009900"><span style="font-family: Symbol;"><span style="font-family: Times New Roman;"></span></span></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font></font><br> </td> </tr> <tr> <td width="1373"> <center><a href="../../index.htm"><font size="+2">menu</font></a></center> </td> </tr> </tbody> </table> </p> </center> </body></html>