Math�matiques,
bac S Asie 2019.
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Exercice 1 ( 6 points).
La
loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d’�volution de la
temp�rature d’un corps est proportionnel � la diff�rence entre la
temp�rature de ce corps et celle du milieu environnant.
Une tasse de caf� est servie � une temp�rature initiale de 80� C dans
un milieu dont la temp�rature exprim�e en degr� Celsius, suppos�e
constante, est not�e M.
Le but de cet exercice est d’�tudier le refroidissement du caf� en
appliquant la loi de Newton suivant deux mod�les. L’un, dans la partie
A, utilise une suite ; l’autre, dans la partie B, utilise une fonction.
Les parties A et B sont ind�pendantes.
Partie A.
Dans cette partie, pour tout entier naturel n, on note Tn la temp�rature du caf� � l’instant n, avec Tn exprim� en degr� Celsius et n en minute. On a ainsi T0 = 80 .
On mod�lise la loi de Newton entre deux minutes cons�cutives quelconques n et n +1 par l’�galit� :
Tn+1-Tn =k(Tn-M) o� k est une constante r�elle.
Dans la suite de la partie A, on choisit M =10 et k = −0,2.
Ainsi, pour tout entier naturel n, on a : Tn+1-Tn = -0,2(Tn-10)
1. D’apr�s le contexte, peut-on conjecturer le sens de variations de la suite (Tn ) ?
(Tn-10) est positif ; -0,2(Tn-10) est n�gatif ; Tn+1-Tn est n�gatif.
La suite est d�croissante.
2. Montrer que pour tout entier naturel n : Tn+1 = 0,8 Tn +2.
Tn+1=Tn -0,2(Tn-10) = 0,8 Tn+2.
3. On pose, pour tout entier naturel n : un = Tn-10.
a) Montrer que (un) est une suite g�om�trique. Pr�ciser sa raison et son premier terme u0 .
un+1 = Tn+1-10=0,8 Tn-10 +2 = 0,8 (Tn -10) =0,8 un.
On passe d'un terme au suivant en le multipliant par 0,8.
C'est une suite g�om�trique de raison 0,8 et de premier terme u0 = T0-10 = 80 -10 = 70.
b) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : Tn = 70 x0,8n+10.
un = 70 x0,8n ; Tn = 70 x0,8n+10.
4. On consid�re l’algorithme suivant :
Tant que T > 40
T = 0,8 T+2
n = n+1
Fin Tant que
a) Au d�but, on affecte la valeur 80 � la variable T et la valeur 0 � la variable n.
Quelle valeur num�rique contient la variable n � la fin de l’ex�cution de l’algorithme ?
b) Interpr�ter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
40 =70 x0,8n+10 ; 30 / 70 = 0,8n ; ln(3 / 7) = n ln(0,8) ; n = 3,797. ( n = 4).
Au bout de 4 minutes la temp�rature du caf� est inf�rieure � 40�C.
Partie B.
Dans cette partie, pour tout r�el t positif ou nul, on note q (t) la temp�rature du caf� � l’instant t,
avec q (t) exprim� en degr� Celsius et t en minute. On a ainsi q (0) = 80 .
Dans ce mod�le, plus pr�cis que celui de la partie A, on suppose que q
est une fonction d�rivable sur l’intervalle [0,+oo[ et que, pour tout
r�el t de cet intervalle, la loi de Newton se mod�lise par
l’�galit� : q '(t) = −0,2(q (t) −M ).
1. Dans cette question, on choisit M = 0 . On cherche alors une fonction q d�rivable sur l’intervalle [0,+oo[ v�rifiant q (0) = 80 et, pour tout r�el t de cet intervalle : q '(t) = −0, 2q (t) .
a) Si q est une telle fonction, on pose pour tout t de l’intervalle [0,+oo[ , f(t) =q(t) / e-0,2t.
Montrer que la fonction f est d�rivable sur [0,+oo[ et que, pour tout r�el t de cet intervalle, f '(t) = 0 .
Sur cet intervalle la fonction g(t) = 0,2 t est d�rivable ; il en est de m�me de la fonction e-0,2t.
La fonction f(t) est le quotient de fonctions d�rivables ; f(t) est donc d�rivable sur cet intervalle.
b) En conservant l’hypoth�se du a), Calculer f (0) .
En d�duire, pour tout t de l’intervalle [0,+oo[ , une expression de f (t) , puis de q (t) .
f(0) =q(0) / e0= q(0) = 80.
f '(t) = [q'(t) e-0,2t +0,2 q(t) e-0,2t] / e-0,4t =[q'(t) +0,2 q(t) ] / e-0,2t ;
f '(t) = [−0,2q (t)+0,2 q(t) ] / e-0,2t = 0.
f(t) = constante = f(0) = 80.
q(t) = 80 e-0,2t.
c) V�rifier que la fonction q trouv�e en b) est solution du probl�me.
q(0) = 80.
q(t) est d�rivable en tant que multiplication d'une fonction d�rivable par un nombre r�el.
q '(t) =-0,2 x80 e-0,2t = -0,2 q(t).
Cette fonction est donc solution du probl�me.
2. Dans cette question, on choisit M =10 . On admet qu’il existe une unique fonction g d�rivable
sur [0,+oo[ , mod�lisant la temp�rature du caf� � tout instant positif t, et que, pour tout t de l’intervalle [0,+oo[ :
g(t) = 10 +70e-0,2t.
o� t est exprim� en minute et g(t) en degr� Celsius.
Une personne aime boire son caf� � 40� C.
Montrer qu’il existe un unique r�el t0 dans [0,+oo[ tel que g(t0) = 40 .
Donner la valeur de t0 arrondie � la seconde.
g '(t) = -0,2 x70 e-0,2t est strictement n�gative.
g(t) est strictement d�croissante.
g(0) = 80 ; g(t) tend vers 10 quand t tend vers plus l'infini.
40 appartient � [10 ; 80 ]
D'apr�s le corollaire du th�or�me des valeurs interm�diaires, g(t) =40 admet une solution unique t0.
40 =10 +70e-0,2t ; 30 / 70 = e-0,2t ; ln(3 / 7) = -0,2 t ; t =4,236 min ou 4 min 15 s.
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Exercice 2 ( 4 points ).
Pour
chacune des questions suivantes, une seule des quatre affirmations est
exacte. Indiquer sur la copie le num�ro de la question et recopier la
lettre correspondant � l’affirmation exacte. Il est attribu� un point
si la lettre correspond � l’affirmation exacte, 0 sinon.
Dans tout l’exercice, on se place dans un rep�re orthonorm� (O ; i , j , k ) de l’espace.
Les quatre questions sont ind�pendantes. Aucune justification n’est demand�e.
1. On consid�re le plan p d’�quation cart�sienne 3x + 2y + 9z − 5 = 0 et la droite d dont une
repr�sentation param�trique est :
x = 4t +3 ; y = -t+2 ; z = -t+9 avec t r�el.
Affirmation A : l’intersection du plan p et de la droite d est r�duite au point de coordonn�es (3 ;2 ;9). Faux.
3 x3 +2 x2 +9 x9 -5 = 73 diff�rent de z�ro.
Les coordonn�es de ce point ne v�rifient pas l'�quation deu plan P.
Affirmation B : le plan P et la droite d sont orthogonaux. Faux.
Coordonn�es du vecteur orthogonal au plan P : (3 ; 2 ; 9).
Coordonn�es du vecteur directeur de la droite (d) : (4 ; -1 ; -1).
Ces deux vecteurs ne sont pas colin�aires.
Affirmation C : le plan P et la droite d sont parall�les. Faux.
Le produit scalaire de ces deux vecteur est �gal � : 4 x3 -2-9 = 1.
Le produit scalaire diff�re de z�ro, la droite (d= et le plan P ne sont pas parall�les.
Affirmation D : l’intersection du plan p et de la droite d est r�duite au point de coordonn�es (−353 ;91 ;98) . Vrai.
3(4t+3) +2(-t+2) +9(-t+9) -5 = 0 ; t = -89.
x = -89 x 4 +3 = -353 ; y = 89+2 = 91 ; z = 89+9 =98.
2. On consid�re le cube ABCDEFGH repr�sent� ci-dessous et les points I, J et K d�finis par les �galit�s vectorielles.
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Affirmation A : la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK) est un triangle.
Affirmation B : la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK) est un quadrilat�re.
Affirmation C : la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK) est un pentagone. Vrai.
Affirmation D : la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK) est un hexagone.
3. On consid�re la droite d dont une repr�sentation param�trique est
x = t+2 ; y = 2 ; z = 5t-6 avec t r�el
et le point A(− 2 ;1 ;0) . Soit M un point variable de la droite d.
Affirmation A : la plus petite longueur AM est �gale � 53� .
AM =[(t+2+2)2 +(2-1)2 +(5t-6-0)2]� =[t2 +16 +8t + 1 +25t2 +36 -60t]� =[26 t2 -52t +53]�.
26 t2 -52t +53 atteint son minimum pour t =52 / (2 x26) = 1 ;
AMmin = [26 -52 +53]� = 27 �.
Affirmation B : la plus petite longueur AM est �gale � 27�. Vrai.
Affirmation C : la plus petite longueur AM est atteinte lorsque le point M a pour coordonn�es (− 2 ;1 ;0) .
Affirmation D : la plus petite longueur AM est atteinte lorsque le point M a pour coordonn�es (2 ;2 ;−6) .
4. On consid�re le plan p d’�quation cart�sienne x + 2y −3z +1 = 0 et le plan p’ d’�quation cart�sienne 2x − y + 2 = 0 .
Affirmation A : les plans p et p’ sont parall�les. Faux.
Coordonn�es d'un vecteur normal au plan P : (1 ; 2 ; -3).
Coordonn�es d'un vecteur normal au plan P' : (2 ; -1 ; 2).
Ces deux vecteurs ne sont pas colin�aires.
Affirmation B : l’intersection des plans p et p’ est une droite passant par les points A(5 ;12 ;10) et B(3 ;1 ;2) .Faux.
5 +2 x 12 -3 x10+1 = 0 est v�rifi� ; A appartient au plan P.
2 x5 -12 +2 = 0 est v�rifi�e, A appartient au plan P'.
3 +2 x 1 -3 x2+1 = 0 est v�rifi� ; B appartient au plan P.
2 x2 -1 +2 diff�re de z�ro, B n'appartient pas au plan P'.
Affirmation C
: l’intersection des plans p et p’ est une droite passant par le point
C(2 ;6 ;5) et dont un vecteur directeur a pour coordonn�es (1 ;2 ;2). Faux.
Affirmation D
: l’intersection des plans p et p’ est une droite passant par le point
D(−1 ;0 ;0) et dont un vecteur directeur a pour coordonn�es (3 ;6 ;5). Vrai.
De plus -1+1 = 0 est v�rifi� ; D appartient au plan P.-2+2=0, D appartient au plan P'.
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Exercice 3. ( 7
points )
Les parties A, B et C sont ind�pendantes.
Dans tout l’exercice, on arrondira les r�sultats au milli�me.
Partie A.
En France, la consommation de produits bio cro�t depuis plusieurs ann�es.
En 2017, le pays comptait 52 % de femmes. Cette m�me ann�e, 92 % des
Fran�ais avaient d�j� consomm� des produits bio. De plus, parmi les
consommateurs de produits bio, 55 % �taient des femmes.
On choisit au hasard une personne dans le fichier des Fran�ais de 2017. On note :
• F l’�v�nement � la personne choisie est une femme � ;
• H l’�v�nement � la personne choisie est un homme � ;
• B l’�v�nement � la personne choisie a d�j� consomm� des produits bio �.
1. Traduire les donn�es num�riques de l’�nonc� � l’aide des �v�nements F et B.
P(F) = 0,52 ; P(B) = 0,92 ; PB(F) = 0,55.
2. a) Montrer que P(F n B) = 0,506 .
PB(F) =P(F n B) / P(B) ; P(F n B) = 0,92 x0,55 =0,506.
b) En d�duire la probabilit� qu’une personne ait consomm� des produits bio en 2017, sachant que c’est une femme.
PF(B) =P(F n B) / P(F) = 0,506 / 0,52 =0,973.
3. Calculer PH(non B) . Interpr�ter ce r�sultat dans le contexte de l’exercice.
P(non B) = 1-0,92 = 0,08.
PF(B) =0,973 ; par suite PF(non B) =1-0,973 =0,027.
Donc : P(F n non B) =0,027 x0,52 = 0,014.
Formule des probabilit�s totales : P(non B) = P(H n non B) + P(F n non B) =0,08.
P(H n non B) =0,08 -0,014 = 0,066.
PH(non B) = P(H n non B) / P(H) =0,066 / (1-0,52) =0,137.
La probabilit� qu'un homme n'est pas consomm� de produit bio est 0,137.
Partie B.
Dans un supermarch�, un chef de rayon souhaite d�velopper l’offre de produits bio.
Afin
de justifier sa d�marche, il affirme � son responsable que 75 % des
clients ach�tent des produits bio au moins une fois par mois.
Le responsable souhaite v�rifier ses dires. Pour cela, il organise un sondage � la sortie du magasin.
Sur 2 000 personnes interrog�es, 1 421 r�pondent qu’elles consomment des produits bio au moins une fois par mois.
Au seuil de 95 %, que peut-on penser de l’affirmation du chef de rayon ?
n = 2000 ; p = 0,75. n > 30 ; np =2000 x0,75 = 1500 > 5 ; n(1-p) = 2000 x0,25 = 500 > 5.
Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % :
1,96 (p(1-p) / n)� =1,96 (0,75 x0,25 / 2000)� =0,019.
[0,75 -0,019 ; 0,75 +0,019) soit [0,73 ; 0,77 ].
Fr�quence observ�e f = 1421 / 2000 =0,71
Cette valeur n'appartient pas � l'intervalle de fluctuation. Au risque de 5 %, l'affirmation est fausse.
Partie C.
Pour
promouvoir les produits bio de son enseigne, le responsable d’un
magasin d�cide d’organiser un jeu qui consiste, pour un client, �
remplir un panier avec une certaine masse d’abricots issus de
l’agriculture biologique. Il est annonc� que le client gagne le contenu
du panier si la masse
d’abricots d�pos�s est comprise entre 3,2 et 3,5 kilogrammes.
La masse de fruits en kg, mis dans le panier par les clients, peut �tre
mod�lis�e par une variable al�atoire X suivant la loi de probabilit� de
densit� f d�finie sur l’intervalle [3 ; 4] par : f(x) = 2 / (x-2)2.
Rappel : on appelle fonction de densit� d’une loi de probabilit� sur
l’intervalle [a, b] toute fonction f d�finie, continue et positive sur
[a, b], telle que l’int�grale de f sur [a, b] est �gale � 1.
1.
V�rifier que la fonction f pr�c�demment d�finie est bien une fonction
de densit� d’une loi de probabilit� sur l’intervalle [3 ; 4].
La fonction f, quotient de fonctions continues dont le d�nominateur ne s'annule pas, est continue sur cet intervalle.
De plus f(x) est positive.
Primitive de f(x) : F(x) = -2 / (x-2).
F(4) -F(3) =2 [ -1 / 2 -(-1 / 1) ]= 2(-0,5 +1)=1.
2. Le magasin annonce : � Un client sur trois gagne le panier ! �. Cette annonce est-elle exacte ?
P(3,2 < X < 3,5) =F(3,5) -F(3,2) = -2 [1 / 1,2 -1 / 1,5) = 0,333.
L'annonce est exacte.
3. Cette question a pour but de calculer l’esp�rance math�matique E(X ) de la variable al�atoire X.
On rappelle que, pour une variable al�atoire X de densit� f sur l’intervalle [a, b], E(X ) est donn�e par :
a) V�rifier que la fonction G, d�finie sur l’intervalle [3 ; 4] par G(x) = ln(x-2) -x /(x-2)
, est une primitive de la fonction x /(x-2)2 sur cet intervalle.
On calcule G'(x) en posant u = x, v = x-2 ; u' = 1 ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 = (x-2-x) / (x-2)2 = -2 /(x-2)2.
G'(x) = 1 /(x-2) +2 /(x-2)2.
R�duire au m�me d�nominateur ; G'(x) = (x-2+2) / (x-2)2 = x /(x-2)2 .
b) En d�duire la valeur exacte de E(X ) , puis sa valeur arrondie au centi�me.
Interpr�ter le r�sultat dans le contexte de l’exercice.
G(4) -G(3) = 2[ln(2) -2 -ln(1)+3] =2(ln(2) +1) ~3,39.
La masse moyenne du panier d'abricots est 3,39 kg.
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Exercice 4 – Candidats n’ayant pas suivi la sp�cialit� math�matique (5 points)
1. On consid�re dans l’ensemble des nombres complexes l’�quation (E) � l’inconnue z :
z3 + (−2 *3� + 2i )z2 + (4 − 4i 3�) z + 8i = 0 (E).
a) Montrer que le nombre − 2i est une solution de l’�quation (E).
8i3 + (−2 *3� + 2i )4i2 + (4 − 4i 3�) 2i + 8i = 0.
-8 i-4 (−2 *3� + 2i ) +8i-8i2 3�+8i=0.
8*3� -8i -8* 3�+8i=0 est v�rifi�.
b) V�rifier que, pour tout nombre complexe z, on a :
z3 + (−2 *3� + 2i )z2 + (4 − 4i 3�) z + 8i =(z+2i)(z2 -2*3�z+4).
On d�veloppe :
(z+2i)(z2 -2*3�z+4) =
z3 −2 *3� z2 +4 z +2iz2− 4i 3� z +8i =
z3 + (−2 *3� + 2i )z2 + (4 − 4i 3�) z + 8i.
c) R�soudre l’�quation (E) dans l’ensemble des nombres complexes.
z+2i = 0 conduit � z = -2i.
z2 -2*3�z+4=0 ; discriminant D =(2*3�)2 -4 *4 = -4 = 4 i2.
Solutions : z = (2*3�� 2i) / 2 = 3�� i.
d) �crire les solutions de l’�quation (E) sous forme exponentielle.
z = -2i = 2 exp(-i p/2).
z = 3�+i ; |z| =(3+1)� = 2 ; z / |z| = 3�/ 2 + 0,5i=cos (p/6) + i sin(p/6) =exp(ip/6) ; z = 2 exp(ip/6).
z = 3�-i ; |z| =(3+1)� = 2 ; z / |z| = 3�/ 2 - 0,5i=cos (-p/6) + i sin(-p/6) =exp-(ip/6) ; z = 2 exp(-ip/6).
Dans la suite, on se place dans le plan muni d’un rep�re orthonorm� direct d’origine O.
2. On consid�re les points A, B, C d’affixes respectives − 2i , 3� + i et 3� −i .
a) Montrer que A, B et C appartiennent � un m�me cercle de centre O dont on d�terminera le rayon.
Ces trois nombres complexes poss�dent le m�me module 2.
OA = OB = OC, les points A, B, C appartiennent au m�me cercle de centre O et de rayon 2.|
b) Placer ces points sur une figure que l’on compl�tera par la suite.
c) On note D le milieu du segment [OB]. D�terminer l’affixe z L du point L tel que AODL soit un parall�logramme.
3. On rappelle que, dans un rep�re orthonorm� du plan, deux vecteurs de coordonn�es respectives (x, y) et (x ', y ') sont orthogonaux si et seulement si x x '+ y y ' = 0 .
a) Soit u et v deux vecteurs du plan, d’affixes respectives z et z ' .
Montrer que ces deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si  est un imaginaire pur.
z = x +iy ; z' = x' +iy' ; = xx' -i2yy' +i(-xy' +x'y).
Donc est un imaginaire pur implique que :xx' +yy' = 0 et que les deux vecteurs soient orthogonaux.
b) � l’aide de la question 3.a), d�montrer que le triangle AOL est rectangle en L.
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