Math�matiques, bac S Antilles 2019.

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Exercice 1 : Commun à tous les candidats (6 points)
Partie A.
Soit 𝑎 et 𝑏 des nombres r�els. On consid�re une fonction 𝑓 d�finie sur [0 ; +∞[ par
𝑓(𝑥) =a / (1+e-bx).
La courbe Cf repr�sentant la fonction 𝑓 dans un rep�re orthogonal est donn�e ci-dessous.
La courbe Cf passe par le point A(0 ; 0,5).
La tangente � la courbe Cf au point A passe par le point B(10 ; 1).

1. Justifier que a = 1.
f(0) = 0,5 = a /(1+e0) = a / (1+1) =0,5 a ; a = 1.
On obtient alors, pour tout r�el 𝑥 ≥ 0, f(x) =1 / (1+e-bx).
2. On admet que la fonction f est d�rivable sur [0 ; +∞[ et on note f ' sa fonction d�riv�e.
V�rifier que, pour tout r�el 𝑥 ≥ 0, f '(x) = be-bx / (1+e-bx)2.
On pose u = 1+e-bx ; u' = -be-bx ; f '(x) = -u' / u2 = be-bx / (1+e-bx)2.
3. En utilisant les donn�es de l’�nonc�, d�terminer b
Equation de la tangente y = c x +d.
c = f '(0) = b / 4 ;
La tangente passe en A(0 ; 0,5) : 0,5 = d.
La tangente passe en B(10 ; 1) : 1 = 2,5b +0,5 ; b = 0,2.
Equation de cette tangente : y = 0,05 x +0,5.

Partie B.
La proportion d’individus qui poss�dent un certain type d’�quipement dans une population est mod�lis�e par la fonction p d�finie sur [0 ; +∞[ par p(x) =1 / (1 +e-0,2x)
Le r�el x repr�sente le temps �coul�, en ann�e, depuis le 1er janvier 2000.
Le nombre p(x) mod�lise la proportion d’individus �quip�s apr�s x ann�es.
Ainsi, pour ce mod�le, p(0) est la proportion d’individus �quip�s au 1er janvier 2000 et p(3,5) est la proportion d’individus �quip�s au milieu de l’ann�e 2003.
1. Quelle est, pour ce mod�le, la proportion d’individus �quip�s au 1er janvier 2010 ? On en donnera une valeur arrondie au centi�me.
p(10) = 1 / (1 +e-2)=0,88.
2. a. D�terminer le sens de variation de la fonction p sur [0 ; +∞[.
p '(x) = 0,2e-0,2x / (1+e-0,2x)2.
p'(x) �tant strictement positive sur [0 ; +∞[ , p(x) est strictement croissante sur cet intervalle.
b. Calculer la limite de la fonction 𝑝 en +∞.
Le terme en exponentielle tend vers z�ro si x tend vers plus l'infini.
p(x) tend vers 1 si x tend vers plus l'infini.
c. Interpr�ter cette limite dans le contexte de l’exercice.
Au bout d'un temps tr�s long, tous les individus sont �quip�s de ce mat�riel.
3. On consid�re que, lorsque la proportion d’individus �quip�s d�passe 95 %, le march� est satur�.
D�terminer, en expliquant la d�marche, l’ann�e au cours de laquelle cela se produit.
1 / (1 +e-0,2x) > 0,95 ; 1 +e-0,2x < 1 /  0,95 ; e-0,2x < 1 / 0,95 -1 ;
e-0,2x < 0,05 / 0,95 ;
La fonction logarithme �tant strictement croissante sur [0 ; +∞[.
-0,2x < ln(0,05 / 0,95) ; 0,2 x > ln (0,95 / 0,05) ;
x > ln (19)  / 0,2 ;  x >14,7.
Courant 2014, le march� sera satur�.
En 2015, plus de 95 % des individus seront �quip�s.
4. On d�finit la proportion moyenne d’individus �quip�s entre 2008 et 2010 par :
a. V�rifier que, pour tout r�el 𝑥 ≥ 0, p(x) =e0,2x / (1+e0,2x).
 p(x) =1 / (1 +e-0,2x)
On multiplie num�rateur et d�nominateur par e0,2x : Par suite p(x) =e0,2x / (1+e0,2x).

b. En d�duire une primitive de la fonction p sur [0 ; +∞[.
On pose u = 1 +e0,2x ; u' = 0,2e0,2x ;  5 u' = e0,2x ; p(x) = 5 u' / u.
Une primitive de la fonction p est p(x) = 5 ln(u) = 5 ln (1+e0,2x).
c. D�terminer la valeur exacte de 𝑚 et son arrondi au centi�me.
m = 2,5 [ ln(1+e2) -ln(1+e1,6)] ~0,86.



Exercice 2 : Commun à tous les candidats (5 points)
Les deux parties de cet exercice sont ind�pendantes.
Alex et �lisa, deux pilotes de drones, s’entra�nent sur un terrain constitu� d’une partie plane qui est bord�e par un obstacle.
On consid�re un rep�re orthonorm� , une unit� correspondant � dix m�tres. Pour mod�liser le relief de la zone, on d�finit six points O, P, Q, T, U et V par leurs coordonn�es dans ce rep�re :
O(0 ; 0 ; 0), P(0 ; 10 ; 0), Q(0 ; 11 ; 1), T(10 ; 11 ; 1), U(10 ; 10 ; 0) et V(10 ; 0 ; 0).
La partie plane est d�limit�e par le rectangle OPUV et l’obstacle par le rectangle PQTU.

Les deux drones sont assimilables � deux points et on suppose qu’ils suivent des trajectoires rectilignes :
• le drone d’Alex suit la trajectoire port�e par la droite (AB) avec A(2 ; 4 ; 0,25) et B(2 ; 6 ; 0,75) ;
• le drone d’�lisa suit la trajectoire port�e par la droite (CD) avec C(4 ; 6 ; 0,25) et D(2 ; 6 ; 0,25).

Partie A : �tude de la trajectoire du drone d’Alex
1. D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite (AB).
Coordonn�es d'un vecteur directeur de  cette droite ( 2-2 : 6-4 ; 0,75 -0,25) soit ( 0 ; 2 ; 0,5).
Le point A appartient � cette droite:
x=2 ; y = 2t +4 ; z = 0,5 t +0,25 avec t r�el.
2. a. Justifier que le vecteur 𝑛 de coordonn�es (0 ; 1 ; −1) est un vecteur normal au plan (PQU).
b. En d�duire une �quation cart�sienne du plan (PQU).

Equation cart�sienne de ce plan : y-z+d =0.
Le point P appartient � ce plan : 10 -0 +d = 0 ; d = -10.
y-z-10=0.
3. D�montrer que la droite (AB) et le plan (PQU) sont s�cants au point I de coordonn�es (2 ; 37 /3 ; 7 /3)
Montrons que I appartient � la droite (AB) : 
2t+4 =37 / 3 ; 2t =25/3 ; t = 25 / 6.
De plus 0,5 t +0,25 = 25 /12 +0,25 = 25 / 12 +3 /12 = 28 /12 =7 /3.
Don I appartient bien � la droite (AB).
De plus le vecteur de coordonn�es (0 ; 1 ; -1) n'est pas un vecteur directeur de la droite (AB). Donc la droite (AB) et le plan (PQU) sont s�cant en I.
4. Expliquer pourquoi, en suivant cette trajectoire, le drone d’Alex ne rencontre pas l’obstacle.
La c�te du point I  ( 37 /3) est sup�rieure � celle du point U ( 11). Le drone passe au dessus de l'obstacle.

Partie B : Distance minimale entre les deux trajectoires
Pour �viter une collision entre leurs deux appareils, Alex et �lisa imposent une distance minimale de 4 m�tres entre les trajectoires de leurs drones. L’objectif de cette partie est de v�rifier si cette consigne est respect�e.
Pour cela, on consid�re un point M de la droite (AB) et un point N de la droite (CD).
Il existe alors deux r�els a et b tels que
On s’int�resse donc � la distance MN.
1. D�montrer que les coordonn�es du vecteur sont (2 − 2b ; 2 − 2a ; −0,5a).

2. On admet que les droites (AB) et (CD) ne sont pas coplanaires. On admet �galement que la distance MN est minimale lorsque la droite (MN) est perpendiculaire � la fois � la droite (AB) et � la droite (CD).
D�montrer alors que la distance MN est minimale lorsque a = 16 /17 et b = 1.

3. En d�duire la valeur minimale de la distance MN puis conclure.
MN = [(2-2b)2 +(-2a+2)2 +(-0,5a)2 ]� = [(2-2)2 +(-32 / 17+2)2 +(-16 / 34)2 ]� = [(2 /17)2 +(8 /17)2 ]� ;
MN = [68 / 172] �=(4 /17)� =2 /17�~0,49 m.
Or une unit� correspond � 10 m ; la distance minimale entre les drones est 4,9 m, valeur sup�rieure � 4 m. Les drones ne peuvent pas se rencontrer.



Exercice 3 : Commun � tous les candidats (4 points)
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la r�ponse.
Il est attribu� un point par r�ponse exacte correctement justifi�e. Une r�ponse non justifi�e ne rapporte aucun point. Une absence de r�ponse n’est pas p�nalis�e.
Le plan complexe est muni d’un rep�re orthonorm� direct .
On consid�re le nombre complexe c=�exp(ip/3) et les points S et T d’affixes respectives c2 et 1 /c.
1. Affirmation 1 : Le nombre c peut s’�crire c = 0,25(1-i 3�). Faux.
c = � cos (p/3) +� i sin (p/3) =0,5( 0,5 + 3� /2 i )  =0,25(1+i 3�).

2. Affirmation 2 :
Pour tout entier naturel n, c3n est un nombre r�el. Vrai.
c3n =0,53n exp(i n p).

3. Affirmation 3 :
Les points O, S et T sont align�s. Vrai.

Ces deux vecteurs �tant colin�aires, les points O, S et T sont align�s.

4. Affirmation 4 :
Pour tout entier naturel non nul n, |c| + |c2| + ⋯ + |cn| = 1 − 0,5n. Vrai.
|c| = 0,5 ;
Somme des n premiers termes d'une suite g�om�trique de raison 0,5 et de premier terme 0,5 : |c| + |c2| + ⋯ + |cn| =0,5(1-0,5n) / (1-0,5) ;
  |c| + |c2| + ⋯ + |cn| =1 − 0,5n.

Exercice 4. (5 points).
Les trois parties de cet exercice sont ind�pendantes.
Partie A.
Lors d’une soir�e, une cha�ne de t�l�vision a retransmis un match. Cette cha�ne a ensuite propos� une �mission d’analyse de ce match.
On dispose des informations suivantes :
• 56 % des t�l�spectateurs ont regard� le match ;
• un quart des t�l�spectateurs ayant regard� le match ont aussi regard� l’�mission ;
• 16,2 % des t�l�spectateurs ont regard� l’�mission.
On interroge au hasard un t�l�spectateur. On note les �v�nements :
• M : � le t�l�spectateur a regard� le match � ;
• E : � le t�l�spectateur a regard� l’�mission �.
On note x la probabilit� qu’un t�l�spectateur ait regard� l’�mission sachant qu’il n’a pas regard� le match.
1. Construire un arbre pond�r� illustrant la situation.

2. D�terminer la probabilit� de 𝑀 ∩ 𝐸.
3. a. V�rifier que 𝑃(𝐸) = 0,44𝑥 + 0,14.
b. En d�duire la valeur de 𝑥.
4. Le t�l�spectateur interrog� n’a pas regard� l’�mission. Quelle est la probabilit�, arrondie � 10-2, qu’il ait regard� le match ?


Partie B.
Pour d�terminer l’audience des cha�nes de t�l�vision, un institut de sondage recueille, au moyen de bo�tiers individuels, des informations aupr�s de milliers de
foyers fran�ais. Cet institut d�cide de mod�liser le temps pass�, en heure, par un t�l�spectateur devant la t�l�vision le soir du match, par une variable al�atoire 𝑇 suivant la loi
normale d’esp�rance 𝜇 = 1,5 et d’�cart-type 𝜎 = 0,5.
1. Quelle est la probabilit�, arrondie � 10-3, qu’un t�l�spectateur ait pass� entre une heure et deux heures devant sa t�l�vision le soir du match ?
P(T < 1) =0,15866 ; P(T < 2) =0,84134 ; P(1 < T < 2) =0,84134 -0,15866 ~0,683.
2. D�terminer l’arrondi � 10-2 du r�el t tel que 𝑃(𝑇 ≥ t) = 0,066. Interpr�ter le r�sultat..
P (T < t) = 1-0,066 = 0,934.
La calculatrice donne t = 2,25.
6,6 % des t�l�spectateurs ont pass� plus de 2 h 15 min devant la t�l�vision le soir du match.

Partie C.
La dur�e de vie d’un bo�tier individuel, exprim�e en ann�e, est mod�lis�e par une variable al�atoire not�e S qui suit une loi exponentielle de param�tre 𝜆 strictement
positif. On rappelle que la densit� de probabilit� de 𝑆 est la fonction 𝑓 d�finie sur [0; +∞[ par
f(x) = l exp(-lx).
L’institut de sondage a constat� qu’un quart des bo�tiers a une dur�e de vie comprise entre un et deux ans.
L’usine qui fabrique les bo�tiers affirme que leur dur�e de vie moyenne est sup�rieure � trois ans.
L’affirmation de l’usine est-elle correcte ? La r�ponse devra �tre justifi�e.
P(1 < S <2) = e-l -e-2l = 0,25.
On pose X = e-l  ;
X-X2-0,25 =0 soit (X-0,5)2 = 0 ; X = 0,5.
e-l   = 0,5 ; l = -ln(0,5) = ln(2)
Esp�rance E = 1 /l = 1 /ln(2) ~1,44.
Cette valeur �tant inf�rieure � 3 ans, l'affirmation de l'usine est fausse.


  

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