Fonctions logarithme et exponentielle, Concours avenir.

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  2019.
21. Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm�, on note D la droite d’�quation y = x.
Par ailleurs, pour n ∈N, on note (Cn) la courbe repr�sentative de la fonction d�finie par : f(x) =x2 +nx +1
Combien existe-t-il d’entier(s) naturel(s) n pour le(s)quel(s) (Cn) et D n’ont aucun point en commun ?
a. 1 ; b. 2 ; c. 3 ; d. une infinit�. Vrai.
x2 +nx +1 doit �tre diff�rent de x soit x2 +(n-1)x +1 non nul.
x2 +(n-1)x +1=0 ; discriminant : (n-1)2-4 =0 ; n-1 =� 2 ; n =3 et n = -1 ( exclu).
n doit �tre diff�rent de 3.

22. La limite, lorsque x tend vers 2 de (x2-x-2) / (x2-3x-2) est �gale � :
a. 0  vrai ; b. +oo ; c. 2 ; d. 3.
Le d�nominateur tend vers -4 et le num�rateur tend vers z�ro.

23. Le domaine de d�finition de la fonction f, d�finie par :
f (x) = lnx / [(ln(x-3�) +ln(x+3�)].
 x >0  et x-3� > 0 soit  x > 3� et x+3� > 0 soit  x > -3� .
x doit �tre sup�rieur  � 3�.
Le d�nominateur ne doit pas �tre nul :
(ln(x-3�) +ln(x+3�) = ln[x-3�)(x+3�)] =ln(x2-3) diff�rent de z�ro soit x2-3 diff�rent de 1 ; x diff�rent de �2
]3� ; 2 [ union ]2 ; +oo[. R�ponse d.

24. Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm�, on note C la courbe repr�sentative de la fonction d�finie par f(x)= ln(x). L’ordonn�e du point de C en lequel la tangente � C passe par l’origine du rep�re est �gale � :
a. 0 ; b. 1 vrai ; c. e ; d. −1.
D�riv�e f '(x) = 1 /x. Coefficient directeur de la tangente � la courbe au point C : 1 /xC.
Equation de la tangente  � la courbe au point C passant par l'origine y = xC / /xC =1.


25. Le domaine de d�finition de la fonction f , d�finie par :
f (x) = ln(3x +2xex −xe2x ) est :
a. ]ln3 ; +∞[ ; b. ]−∞; 0[∪] ln3 ; +∞[ ; c. ]0 ; +∞[ ; d. ]0 ; ln3[ vrai.
3x +2xex −xe2x > 0 ; x(3 +2ex-e2x) > 0 ;
Etude du signe de 3 +2ex-e2x en pose X = ex positif ; 3 +2X-X2  =0.
Discriminant : 4 +12 = 16 ; solutions X1 =(-2 +4) / (-2) = -1 (exclu) et X2 = +3 ;
x =ln(3) ; 3 +2X-X2  est positif sur ]0 ; 3[ ; 3 +2ex-e2x est positif sur ]0 ; ln(3) [.

26. Soit f la fonction d�finie par f (x) = ln(ln(x�)). En notant f ′ la fonction d�riv�e de f , on peut affirmer que l’expression de f ′(x) est :
a. 1 /(x ln(x)) vrai ; b. 1 / ln(x�) ; c. 1/(x ln(x�)) ; d. 1 /(x ln(ln(x))).
On pose u = ln(x�) =0,5 ln(x) ; u' = 0,5 / x ; f '(x) = u' / u = 0,5 / (x ln(x�)) = 0,5 /(0,5x ln(x)) = 1 /(x ln(x)).

 27. Soit f la fonction d�finie par f (x) = ln(x2 −9x −22). La limite de f (x), lorsque x tend vers 11 par valeurs sup�rieures, est �gale � :
a. 0+ ; b. 0− ; c. −∞ vrai ; d. +∞.
Quand x tend vers 11+ : x2 −9x −22 tend vers 0+ ; ln(x2 −9x −22) tend vers moins l'infini.

28. Dans l’ensemble des nombres r�els, l’�quation e2x −1 = 6e−2x admet :
a. aucune solution ;
b. une solution strictement sup�rieure � ln(2�) ; vrai
c. une solution strictement inf�rieure � ln(2�) ;
d. deux solutions de signes contraires.
On pose X = e2x positif ; X-1 = 6 /X ; X2 -X-6=0 ; discriminant : 25 ; solution retenue X =3 soit ln(3) = 2x ; x = 0,5 ln(3)~0,55.
Or ln(2�) ~0,35.

29. Soit f la fonction d�finie sur R par f (x) = e2x +ex .
Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm�, on note (C ) la courbe repr�sentative de f et D la droite d’�quation y = x.
Combien (C ) poss�de-t-elle de tangente(s) parall�le(s) � D ?
a. 0 ; b. 1 vrai ; c. 2 ; d. 4.
Coefficient directeur des tangentes � la courbe C : f '(x) = 2e2x+ex.
Ces tangentes sont parall�les � la droite d'�quation y = x.
 2e2x+ex= 1 ; 2e2x+ex -1 = 0.
On pose X = ex positif ; 2X2 +X-1 = 0 ; discriminant : 9 ; solution retenue : X =0,5 ; x = ln(0,5).


30. Soit f la fonction d�finie sur R par f (x) =(e2x-3) / (ex+1).
Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm�, combien la courbe repr�sentative de f poss�de-telle de tangente(s) parall�le(s) � l’axe des abscisses ?
a. 0 vrai ; b. 1 ; c. 2 ; d. 3.
Calcul de f '(x) en posant u = e2x-3 et v = ex+1 ; u' = 2e2x ; v' = ex ; f  '(x) =[ 2e2x(ex+1) -ex(e2x-3)] / (ex+1)2.
f '(x) =(e3x+2e2x+3ex) / (ex+1)2 = ex(e2x+2ex +3) / (ex+1)2 .
Coefficient directeur d'une tangente parall�le � l'axe des  abscisses : z�ro.
e2x+2ex +3 = 0 ; on pose X = ex ; X2 +2X+3=0 ; discriminant n�gatif, aucune solution r�elle.

31. Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm�, on note (C ) la courbe repr�sentative de f , d�finie sur R, par f (x) = exp(x2+x+1).
Combien (C ) poss�de-t-elle de tangente(s) passant par l’origine ?
a. 0 ; b. 1 ; c. 2 vrai ; d. 4.
Calcul de la d�riv�e en posant X =x2+x+1 ; X' = 2x+1 ; f '(x) = (2x+1)exp (x2+x+1).
Equation d'une tangente � la courbe passant par l'origine : y = f '(x) x .
Au point de tangence : exp(x2+x+1) =(2x+1)exp (x2+x+1) x.
(2x+1)x =1 ;  2x2 +x-1 = 0 ; solutions -1 et +0,5.

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2018.
Fonction exponentielle.
28) Pour tout nombre r�el x, on a : 2-(ex+4) / (ex+2) =

28) Dans R , l’�quation 1 / e2x =e4-x admet pour solution
a : x = 4 /3.
b : x = -4 /3.
c : x = -4. Vrai.
d :x = 4.
e2x(e4-x) = 1 ; e2x+4-x= 1 ; ex+4 = 1 ; x+4 = ln 1 = 0 ; x = -4 .

29.  On consid�re la fonction f d�finie sur ] -2 ; + oo[ par f(x) = -3e-x / (x+2). La fonction fest d�rivable sur cet intervalle et f '(x) =

Pour les questions 30 et 31, on consid�re les fonctions f et g d�finies sur R par f(x) = 0,5(ex+e-x) et g(x) = 0,5(ex-e-x).
30 : Pour tout nombre r�el x , on a : ( f(x))2-(g(x))2 =
a : 1. Vrai.
b : ex.
c : -1
d : e-x.
( f(x))2-(g(x))2 =(f(x) + g(x)) . (f(x)-g(x)) = ex (e-x) = 1.

31 : Pour tous nombres r�els x et y , on a : f(x) *f(y) +g(x) *g(y) =
a :g(x+y).
b : g(x-y).
c : f(x+y). Vrai.
d : f(x-y).
 f(x) *f(y)= 0,25(ex+e-x)(ey+e-y)=0,25 (ex+y+e-(x+y)+ex-y +e-x+y) ;
g(x) *g(y) =0,25(ex-e-x)(ey-e-y)=0,25 (ex+y+e-(x+y)-ex-y -e-x+y) ;
 f(x) *f(y) +g(x) *g(y) =0,5 (ex+y+e-(x+y))=f(x+y).

Fonction logarithme n�p�rien.
Pour les questions 34 � 40, on consid�re la fonction g(x) = ln(e2 /(f(x)) o� f est une fonction d�rivable sur dont le tableau de variation est le suivant :

34 : g(0) =
a : 1
b : 2. Vrai.
c : e2.
d : Aucune des r�ponses pr�c�dentes n’est juste.
f(0) = 1 ; g(0) = ln(e2) = 2 ln (e) = 2.

35 : En plus l'infini, la limite de g(x) est :
a : -oo.
b : +oo.
c :0.
d : 2-ln(3). Vrai.
En plus l'infini, g(x) est �quivalent � ln(e2 / 3) = 2-ln(3).

36 : En moins l'infini, la limite de g(x) est :
a : -oo. Vrai.
b : +oo.
c :ln(2) -ln(3).
d : Aucune des r�ponses pr�c�dentes n’est juste.
En moins l'infini, g(x) est tend vers plus l'infini et e2 /(f(x)) tend vers z�ro ;  ln(e2 /(f(x)) tend vers moins l'infini.

37 : La fonction g(x) est d�rivable sur R et g'(x) est donn�e par :
a : -e2 f '(x) / f(x).
b : -f '(x) / f(x). Vrai.
c : -e2 f '(x) / f(x)2.
d : -f '(x) / f(x)2.
On pose u = e2 /(f(x) ; u' = -e2 f '(x) / f(x)2. D�riv�e de ln (u) : u' / u soit -f '(x) / f(x).

38 : Dans le plan muni d’un rep�re, la courbe repr�sentative de la fonction g :
a : n’admet aucune asymptote.
b : admet exactement une asymptote horizontale ou verticale. Vrai.
c : admet exactement deux asymptotes horizontales ou verticales.
d : Aucune des r�ponses pr�c�dentes n’est juste.
En plus l'infini, g(x) est �quivalent � ln(e2 / 3) = 2-ln(3).

 39 : L’�quation g(x) = -100.
a : n’admet aucune solution dans R.
b : admet exactement une solution dans R. Vrai.
c : admet exactement deux solutions dans R.
d : Aucune des r�ponses pr�c�dentes n’est juste.

 40 : L’�quation g(x) = 3
a : n’admet aucune solution dans R . Vrai.
b : admet exactement une solution dans R.
c : admet exactement deux solutions dans R.
d : Aucune des r�ponses pr�c�dentes n’est juste.
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 2016.
17. Dans R l'�quation admet e2x+ex+4 = ln((e-1) /17).
a. aucune solution. Vrai.
b. exactement une solution.
c. exactement deux solutions.
d. exactement trois solutions.
e2x+ex+4 est positif quel que soit x r�el ; (e-1) /17 est inf�rieur � 1 ; ln((e-1) /17) est n�gatif.

18. Dans ]-p ; +p] l'�quation sin(x) = ln [exp(2x+3) / exp(2+2x) ] cos (x) admet :
a. aucune solution.
b. exactement une solution.
c. exactement deux solutions. Vrai.
d. exactement trois solutions.
exp(2x+3) / exp(2+2x)  = exp(2x+3-2x-2) = exp(1) = e ; ln(e) = 1.
sin(x) = cos(x) = sin ( p/2-x) ;
x = p/2-x +2kp et x =- p/2-x +2kp.

Fonction exponentielle.
 19. On consid�re la fonction f d�finie sur R par f(x)=(ex-2) / (ex+2), alors pour tout x r�el on a :
a. f '(x) = 2e2x /(ex+2)2.
b. f '(x) = (e2x -4)/(ex+2)2.
c. f '(x) = 2ex /(ex+2)2.
d. f '(x) = 4e2x /(ex+2)2. Vrai.
On pose u = ex-2 et v = ex+2 ; u' = v' = ex.
(u'v -v'u ) / v2=ex(ex+2 -ex+2) / (ex+2)2= 4ex / (ex+2)2.

20. Quand x tend vers l'infini, la limite de x exp(1/x) est �gale � :
a. 0 ; b. 1 ; c. -oo ; d.  +oo. Vrai.
Quand x tend vers l'infini :
 1/x tend vers z�ro ; exp(1/x)  tend vers 1 ; x exp(1/x) tend vers + oo.

21.  Soient x et y deux nombres r�els quelconques, on note A = exp((x+y)/2) [exp((x-y)/2) +exp((y-x)/2)]  et ,B = (exp(x) +exp(y) ) /e alors :
a. A=B ; b. A < B ; c. A >B Vrai ; c. On ne peut pas comparer A et B sans informations sur x et y.
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22 . Quand x tend vers z�ro, la limite de (e11x-e7x) / x est �gale � : a. 0 ; b. +oo ; c. 4 Vrai ; d. 11 / 7.
e7x(e4x-1)/ x avec, au soisinage de z�ro,  e4x~1+4x.
(e4x-1) ~4x ; (e4x-1)/ x ~4 ; e7x ~1 ; e7x(e4x-1)/ x ~4.

Fonction logarithme n�p�rien.
23. ln(16) +2 ln(3) -ln(24) est �gal � :
a. 0 ; b. 2ln(3) ; c. ln(6) Vrai ; d. ln(5).
 ln(16) +ln(9)-ln(24) = ln (16 x9 /24) = ln(6).
24.  Pour tout x appartenant � ]-3 ; 3 [, ln(9-x2) est �gal � :
a. 2ln(3)-ln(x).
b. ln(-3-x) +ln(-3+x). 
c. ln(-3-x) ln(-3+x).
d. Aucune des 3 r�ponses pr�c�dentes n'est exacte. Vrai.
ln(9-x2)=ln[(3-x)(3+x)]= ln(3-x) +ln(x+3).

25. Quand x tend vers l'infini, la limite de 4x-3ln(x) est �gale � :
a. 0 ; b. +oo Vrai ; c. -oo ; d. Aucune des 3 r�ponses pr�c�dentes n'est exacte.
Par croissance compar�e, 4x cro�t plus vite que 3ln(x).
 


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