Math�matiques,
bac S Nlle Cal�donie 2019.
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Exercice 1. 5 points.
Une entreprise est sp�cialis�e dans la vente de carrelage.
Les parties A, B et C sont ind�pendantes.
Partie A.
On suppose dans cette partie que l’entreprise vend des lots de
carrelage contenant 25% de carreaux avec motif et 75% de carreaux
blancs. Lors d’un contr�le qualit� on observe que :
• 2,25% des carreaux sont fissur�s ;
• 6% des carreaux avec motif sont fissur�s.
On pr�l�ve au hasard un carreau.
On note M l’�v�nement � le carreau a un motif � et F l’�v�nement � le carreau est fissur� �.
1. Traduire la situation par un arbre pond�r�.
2. On sait que le carreau pr�lev� est fissur�. D�montrer que la probabilit� qu’il s’agisse d’un carreau avec motif est 2 /3.
3. Calculer PM(F), probabilit� de F sachant M.
Partie B.
On mod�lise l’�paisseur en millim�tre d’un carreau pris au hasard par
une variable al�atoire X qui suit une loi normale d’esp�rance μ = 11 et
d’�cart type σ.
Un carreau est commercialisable si son �paisseur mesure entre 10,1 mm et 11,9 mm.
On sait que 99 % des carreaux sont commercialisables.
1. D�montrer que P(X < 10,1) = 0,005.
;
P(X > 11,9) = P(X <10,1) =(1-0,99) / 2 = 0,005.
2. On introduit la variable al�atoire Z telle que Z =(X −11) /σ..
a. Donner la loi suivie par la variable al�atoire Z.
Z suit la loi normale centr�e r�duite.N(0 ; 1).
b. D�montrer que P(Z < -0,9 / s) =0,005.
c. En d�duire la valeur de σ arrondie au centi�me.
P(10,1 < X < 11,9) = 0,99 ; P(10,1-11 < X-11 < 11,9-11) = 0,99 ; P(-0,9 < X-11 < 0,9) = 0,99 ; P(-0,9/ s < (X-11) / s < 0,9 / s) = 0,99 ;
P(-0,9/ s < (Z < 0,9 / s) = 0,99 ; 2P(Z < 0,9 / s)-1 = 0,99 ; P(Z < 0,9 / s) =0,995 ;
P(Z < -0,9 / s) =1-0,995 =0,005
s = 0,35.
Partie C.
On consid�re la fonction f d�finie sur [0 ; 2π] par
f (x) = −1,5cos(x)+1,5
On admet que la fonction f est continue sur [0 ; 2π].
On note C1 la courbe repr�sentative de la fonction f dans un rep�re orthonorm�.
1. D�montrer que la fonction f est positive sur [0 ; 2π].
f(0) = f(2p) =0 et f '(x) = 1,5 sin (x).
2. Sur la figure ci-dessus, la courbe trac�e en tiret�s, not�e C2, est la courbe sym�trique de C1 par rapport � l’axe des abscisses.
La forme d’un carreau est celle de la zone d�limit�e par les courbes C1 et C2.
On note A son aire, exprim�e en unit� d’aire. Calculer A..
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Exercice 2. 5 points.
On consid�re la fonction f d�finie sur [0 ; +∞[ par
f (x) = ln((3x +1) / (x +1)).
On admet que la fonction f est d�rivable sur [0 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction d�riv�e.
On note Cf la courbe repr�sentative de la fonction f dans un rep�re orthogonal..
Partie A
1. D�terminer la limite en plus l'infini de f (x) et en donner une interpr�tation graphique.
x( 3+ 1 /x) / [x(1+1/x)]= (3+1/x) / (1 +1/x).
Quand x tend vers plus l'infini, 1 / x tend vers z�ro et (3x +1) / (x +1) tend vers 3.
f(x) tend vers ln(3) quanx tend vers plus l'infini.
La droite d'�quation y = ln(3) est asymptote � la courbe C1.
2. a. D�montrer que, pour tout nombre r�el x positif ou nul,
f ′(x) =2 / [(x +1)(3x +1)].
On pose u = 3x+1 et v = x+1 ; u' = 3 ; v' = 1 ; w = u / v.
w '= (u'v-v'u) /v2 = [3(x+1)-(3x+1)] /(x+1)2 = 2/(x+1)2 ;
f '(x) = w ' / w = 2/[(x+1)(3x+1)].
b. En d�duire que la fonction f est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
Sur cet intervalle la d�riv�e f '(x) est strictement positive.
La fonction f(x) est donc strictement croissante.
Partie B.
Soit (un) la suite d�finie par u0 = 3 et, pour tout entier naturel n,un+1 = f (un) .
1. D�montrer par r�currence que, pour tout entier naturel n,
0,5 < un+1 < un.
Initialisation : u1 = f(3) = ln(10 / 4) = ln(2,5).
0,5 < u1 < u0 est vraie.
H�r�dit� : la propri�t� est suppos�e vraie au rang p.
0,5 < up+1 < up.
La fonction f(x) �tant strictement croissante sur [0 ; +oo[ :
f(0,5) < f(up+1) < f(up).
f(0,5) < up+2 < up+1 avec f(0,5) =ln(5 /3) >0,5.
La propri�t� est vraie au rang p+1.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire, elle est donc vraie pour tout n entier naturel.
2. D�montrer que la suite (un) converge vers une limite strictement positive.
f(x) �tant positive sur [0 ; +oo[, les termes de la suite sont strictement positifs.
La suite est strictement croissante et born�e. Donc elle converge vers une limite strictement positive.
Partie C.
On note ℓ la limite de la suite (un). On admet que f (ℓ) = ℓ.
L’objectif de cette partie est de d�terminer une valeur approch�e de ℓ.
On introduit pour cela la fonction g d�finie sur [0 ; +∞[ par g (x)= f (x)−x.
On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction g sur [0 ; +∞[ o�
x0 = (−2+7�) / 3 ~0,215 et g (x0) ≈ 0,088, en arrondissant � 10−3.
1. D�montrer que l’�quation g (x) = 0 admet une unique solution strictement positive. On la note α.
Sur l' intervalle [0 ; x0 [, g(x)) est continue ( car d�rivable) et strictement croissante ; g(0) = 0 ; g(x0) ~0,088.
Sur l' intervalle [x0 ; + oo [, g(x)) est continue ( car d�rivable) et strictement d�croissante ; g(x0) ~0,088 et g(x) tend vers moins l'infini quand x tend vers plus l'infini.
D'apr�s le th�or�me de la bijection, l'�quation g(x) = 0 admet une unique solution sur cet intervalle.
2.a. Recopier et
compl�ter l’algorithme ci-dessous afin que la derni�re valeur prise par
la variable x soit une valeur approch�e de α par exc�s � 0,01 pr�s.
b. Donner alors la derni�re valeur prise par la variable x lors de l’ex�cution de l’algorithme.
x ←0,22
Tant que ln((3x +1) / (x +1))-x > 0,01 faire
x ←x +0,01
Fin de Tant que
La derni�re valeur de x est 0,51.
3. En d�duire une valeur approch�e � 0,01 pr�s de la limite ℓ de la suite (un).
g(0,51) ~0 ; f(0,51) ~0,51.
La limite de la suite est 0,51 � 0,01 pr�s.
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Exercice 3. 5 points.
Soit
ABCDEFGH un cube et I le centre du carr� ADHE, c’est-�-dire, le milieu
du segment [AH] et du segment [ED]. Soit J un point du segment [CG].
La section du cube ABCDEFGH par le plan (FIJ) est le quadrilat�re FKLJ.
On a donc A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0) et E(0; 0; 1).
Les parties A et B peuvent �tre trait�es demani�re ind�pendante.
Partie A.
Dans cette partie, le point J a pour coordonn�es (1 ; 1 ; 0,4).
1. D�montrer que les coordonn�es du point I sont (0 ; 0,5 ; 0,5).
A(0 ; 0 ; 0) ; H( 0 ; 1 ; 1).
xI = (xA +xH) / 2 = 0 ; yI = (yA +yH) / 2 = 0,5 ; zI = (zA +zH) / 2 = 0,5.
a. D�montrer que le vecteur  est un vecteur normal au plan (FIJ).
F(1 ; 0 ; 1) ; I(0 ; 0,5 ; 0,5) ; J( 1 ; 1 ; 0,4).
b. D�montrer qu’une �quation cart�sienne du plan (FIJ) est −x +3y +5z −4 = 0.
Equation de ce plan : -x +3y +5z +d = 0.
F appartient � ce plan : -1 +3 *0+5*1+d = 0 ; d = -4.
2. Soit d la droite orthogonale au plan (FIJ) et passant par B.
a. D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite d.
Le vecteur est un vecteur directeur de la droite d.
Repr�sentation param�trique de cette droite :
x = -t+xB ; y = 3t +yB ; z = 5 t+zB avec t r�el.
x = -t +1 ; y = 3t ; z = 5 t avec t r�el.
b. On note M le point d’intersection de la droite d et du plan (FIJ).
D�montrer que M ( 6 /7 ; 3 / 7 ; 5 /7).
M appartient � la droite et au plan :
-(-t+1)+3 *3t +5*5t-4 =0 soit 25 t -5=0 ; t = 5 /35 =1 /7.
xM = -1 / 7+1=6 / 7 ; yM = 3 / 7 ; zM =5 / 7.
Partie B.
Dans cette partie, J est un point quelconque du segment [CG].
Ses coordonn�es sont donc (1 ; 1 ; a), o� a est un r�el de l’intervalle [0; 1].
1. Montrer que la section du cube par le plan (FIJ) est un parall�logramme.
Les plans (BCF) et (AED) ( faces avant et arri�re du cube ) sont parall�les.
L'intersection du plan (BCF) et du plan (FIJ) est la droite (BJ).
L'intersection du plan (AED) et du plan (FIJ) est la droite (KL).
Les droites (KL) et la droite (BJ) sont donc parall�les.
Les plans (ABF) et (CDH) ( faces lat�rales du cube ) sont parall�les.
L'intersection du plan (ABF) et du plan ( FIJ) est la droite (FK).
L'intersection du plan (CDH) et du plan (FIJ) est la droite (JL).
Les droites (FK) et la droite (JL) sont donc parall�les.
2. On admet alors que L a pour coordonn�es (0 ; 1 ; 0,5a).
Pour quelle(s) valeur(s) de a le quadrilat�re FKLJ est-il un losange ?
Les c�t�s cons�cutifs du parall�logramme FJLK ont m�me longueur.
FJ2 = 02+12+(a-1)2 ; JL2 = 12+02+(0,5a)2 ;
(a-1)2 +1 = 1 +0,25a2 ; (a-1)2 = (0,5a)2 ;
a-1 = 0,5a ; a = 2 ( exclu).
a-1 = -0,5a ; a = 2 /3.
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Exercice 4. 5 points.
Les parties A et B sont ind�pendantes.
Partie A.
On consid�re l’�quation (E) :
25z2 −14z +25 = 0.
1. R�soudre dans C l’�quation (E). On �crira les solutions sous forme alg�brique.
Discriminant D = (-14)2 -4 x25 x25 = -2304 =-(48)2.
Solutions : z1 =(14 +48 i) / 50 =(7 +24 i) / 25 ; z2 =(7 -24 i) / 25.
2. D�montrer que les solutions de (E) sont de module 1.
|z1| =|z2| =[(72 +242) / 252]�=1.
3. On note α le r�el de l’intervalle ] 0 ; p/2[ tel que cosα = 7 / 25 et sin a =24 / 25.
�crire les solutions de (E) sous forme exponentielle en fonction de α.
z1 = 7 / 25 +24 /25 i = cosα + i sin a ; z2 = cosα - i sin a ;
z1 = exp(ia) ; z2 = exp(-ia) ;
4.
La figure ci-dessous fait appara�tre huit points du cercle unit�. Deux
de ces huit points ont une affixe solution de l’�quation (E). Lesquels ?
Partie B.
Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la r�ponse.
Il est attribu� un point par r�ponse exacte correctement justifi�e. Une
r�ponse non justifi�e ne rapporte aucun point. Une absence de r�ponse
n’est pas p�nalis�e.
1. Affirmation A :
(0,5 +i 3� /2)2019 = 1. Faux.
Soit z = 0,5 +i 3� /2 ; |z| = (0,52 +3/4)� =1.
z = cos(p/3) + i sin (p/3) =exp(ip/3) ; 2019 x p/3 = 673 p = p +672 p.
z2019 = exp(ip) = -1.
2. Soit z le nombre complexe 1 / 6(2+5i).
Affirmation B :
La limite en plus l'infini de |z|n est �gale � z�ro. Vrai.
|z| =(22+52)� / 6 =29� / 6 < 1.
(29� / 6)n tend vers z�ro si n tend vers plus l'infini.
3. On rappelle que, pour tout nombre r�el x,
cos(2x) = cos2(x)−sin2(x).
Affirmation C :
Pour tout nombre r�el a de [−π ; 0] tel que cos(2a) =7 / 25, on a sin(a) = −3 /5. Vrai.
cos (2a) =1-2 sin2(a) = 7 /25.
2 sin2(a) =1-7 /25 = 18 /25.
sin2(a) =9 /25 ; sin(a) = �3 / 5 ;
sin a= 3 /5 ; a ~37� et a ~180 -37�~143�.
sin(a) = -3 /5 ; a ~-37�et a = 180 +37 ~217�.
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