Math�matiques,
bac S Centres �trangers 2019.
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Exercice 1 : Commun à tous les
candidats (4 points)
Cet exercice est un questionnaire � choix multiples (Q.C.M.) qui envisage quatre situations relatives � une station de ski.
Les quatre questions sont ind�pendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre r�ponses est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le num�ro de la question et la
lettre correspondant � la r�ponse exacte. Aucune justification n’est
demand�e. Une r�ponse exacte rapporte un point, une r�ponse fausse ou
une absence de r�ponse ne rapporte ni n’enl�ve aucun point.
1. Une �tude statistique a �tabli qu’un client sur quatre pratique le surf.
Dans une t�l�cabine accueillant 80 clients de la station, la
probabilit� arrondie au milli�me qu’il y ait exactement 20 clients
pratiquant le surf est :
a) 0,560; b) 0,25; c) 1 ; d) 0,103.
La variable al�atoire X repr�sente le nombre de surfeurs.
Les �v�nements sont ind�pendants, identiques ; chaque tirage a deux issues possibles.
X suit la loi de Bernoulli de param�tre n = 80 et p = 0,25.
p(X = 20) ~ 0,103
2. L’�paisseur
maximale d’une avalanche, exprim�e en centim�tre, peut �tre mod�lis�e
par une variable al�atoire X qui suit une loi normale de moyenne μ =
150 cm et d’�cart-type inconnu.
On sait que P( X > 200) = 0,025. Quelle est la probabilit� P( X >100) ?
a) On ne peut pas r�pondre car il manque des �l�ments dans l’�nonc�.
b) 0,025 ; c) 0,95 ; d) 0,975.
3. Dans un couloir
neigeux, on mod�lise l’intervalle de temps s�parant deux avalanches
successives, appel� temps d’occurrence d’une avalanche, exprim� en
ann�e, par une variable al�atoire T qui suit une loi exponentielle.
On a �tabli qu’une avalanche se d�clenche en moyenne tous les 5 ans. Ainsi E (T ) = 5 .
La probabilit� P(T > 5) est �gale � :
a) 0,5 ; b) 1 e−1 ; c) e−1 ; d) e−25.
l = 1 / 5 = 0,2.
P(T > 5) = e-5l = e-1.
4.
L’office de tourisme souhaite effectuer un sondage pour estimer la
proportion de clients satisfaits des prestations offertes dans la
station de ski. Pour cela, il utilise un intervalle de confiance de
longueur 0,04 avec un niveau de confiance de 0,95.
Le nombre de clients � interroger est :
a) 50 ; b) 2 500 ; c) 25 ; d) 625.
Longueur de l'intervalle de confiance : 2 / n� = 0,04 ; n = (2 /0,04)2 = 2500.
Exercice 2 ( 6 points ).
Le but de cet exercice est d’�tudier la suite (un) d�finie par la donn�e de son premier terme u1 et, pour tout entier naturel n sup�rieur ou �gal � 1, par la relation :
un+1 = (n+1) un-1.
Partie A.
1. V�rifier, en d�taillant le calcul, que si u1 = 0 alors u4 = −17
u2 = (1+1) u1-1=-1 ;
u3 = (2+1) u2-1=-4 ;
u4 = (3+1) u3-1=-17.
2. Recopier et compl�ter l’algorithme ci-dessous pour qu’en saisissant pr�alablement dans U une valeur de u1 , il calcule les termes de la suite (un ) de u2 � u13
U = "valeur de u1".
Pour N allant de 1 � 12
U = (N+1) *U-1
Fin Pour
3. On a ex�cut� cet algorithme pour u1 = 0,7 puis pour u1 = 0,8 . Voici les valeurs obtenues.
Pour u1 = 0,7
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0,4
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0,2
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-0,2
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-2
|
-13
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-92
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-737
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-6634
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-729752
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-8757025
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Pour u1 = 0,8
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0,6
|
0,8
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2,2
|
10
|
59
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412
|
3295
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29654
|
296539
|
3261928
|
Quelle semble �tre la limite de cette suite si u1 = 0,7 et si u1 = 0,8 ?
Si u1 = 0,7 la suite tend vers moins l'infini et si u1 = 0,8 la suite tend vers plus l'infini.
Partie B.
On consid�re la suite ( In) d�finie pour tout entier naturel n, sup�rieur ou �gal � 1, par :
On rappelle que le nombre e est la valeur de la fonction exponentielle en 1, c’est-�-dire que e = e1 .
1. Prouver que la fonction F d�finie sur l’intervalle [0;1] par F(x) =(-1-x)e1-x est une primitive sur l’intervalle [0;1] de la fonction f d�finie sur l’intervalle [0;1] par f(x) = xe1-x.
D�river F(x) en posant u = -1-x et v = e1-x ; u' = -1 ; v' = -e1-x ;
u'v + v'u = -e1-x +(1+x)e1-x = xe1-x = f(x).
2. En d�duire que I1 = e − 2 .
I1 = F(1) -F(0) = (-1-1)e1-1 - (-1-0)e1-0 = -2+e.
3. On admet que, pour tout entier naturel n sup�rieur ou �gal � 1, on a :
In+1 = (n+1)In-1.
Utiliser cette formule pour calculer I2 .
I2 = (1+1)I1-1 = 2(e-2)-1=2e-5.
4. a)
Justifier que, pour tout nombre r�el x de l’intervalle [0;1] et pour
tout entier naturel n sup�rieur ou �gal � 1, on a : 0 < xne1-x < xne.
0 < x <1 ; 0 > -x > -1 ; 0+1 > -x+1 > -1 +1 ; 1 > -x+1 > 0 ou encore 0 < -x+1 < 1.
La fonction exponentielle �tant strictement croissante sur R :
e0 =1 < e1-x < e1.
Multiplier par xn strictement positif :
xn < xne1-x < xne1.
cette in�galit� est aussi v�rifi�e pour x = 0.
b) Justifier que :
Une primitive de xn est xn+1 / (n+1) ;
pour n > 1, une primitive de e xn est e xn+1 / (n+1) ;
par suite sur l'intervalle [0 ; 1 ] : e 1n+1 / (n+1)- e 0n+1 / (n+1) = e / n+1).
.
c) En d�duire que, pour tout entier naturel n sup�rieur ou �gal � 1, on a : 0 < In < e /(n+1).
D'apr�s la question B.4.a : 0 < xne1-x < xne.
Int�grer sur [0 ; 1] cette in�galit� : 0 < In < e /(n+1)..
d) D�terminer la limite de In en plus l'infini.
D'apr�s le th�or�me d'encadrement In tend vers z�ro si n tend vers plus l'infini.
Partie C.
Dans cette partie, on note n! le nombre d�fini, pour tout entier naturel n sup�rieur ou �gal � 1, par :
1!=1
2!= 2�1
et si n > 3 :
n!= n x (n −1)�....�1
On a ainsi par exemple
3!= 3�2�1= 3�(2�1) = 3�2!
4!= 4�3�2�1= 4�(3�2�1) = 4�3!
8!= 8�7�6�5�4�3�2�1= 8�(7�6�5�4�3�2�1) = 8�7!
Et, plus g�n�ralement :
(n +1)! = (n +1)� n!
1. D�montrer par r�currence que, pour tout entier naturel n sup�rieur ou �gal � 1, on a : un =n!(u1-e+2)+In.
On rappelle que, pour tout entier naturel n sup�rieur ou �gal � 1, on a :
un+1 = (n+1) un -1 et In+1 =(n+1)In-1.
Inittialisation : I2 = 2e-5 ; u2 = 2u1-1 ; u2-I2 =2u1-1-2e+5 =2u1+4-2e = 2(u1+2-e) =2!(u1+2-e).
u2 =2!(u1+2-e)+I2. La relation est vraie au rang 2.
H�r�dit� : la relation est suppos�e vraie au rang p : up =p!(u1-e+2)+Ip.
(p+1)up =(p+1)p!(u1-e+2)+(p+1)Ip.
(p+1)up -1=(p+1)p!(u1-e+2)+(p+1)Ip-1.
Or (p+1)p! = (p+1)!.
up+1=(p+1)! (u1-e+2)+Ip+1-1.
La relation est vraie au rang p+1.
Conclusion : la relation est vraie au rang 2 et h�r�ditaire, elle est vraie pour tout entier n sup�rieur ou �gal � 1.
2. On admet que la limite en plus l'infini de n! est �gale � plus l'infini.
a) D�terminer la limite de la suite (un ) lorsque u1 = 0,7 .
un =n!(0,7-e+2)+In = n!(2,7-e)+In.
In tend vers z�ro si n tend vers plus l'infini ; la limite en plus l'infini de n! est �gale � plus l'infini.
De plus 2,7-e est n�gatif.
Si u1 = 0,7 la suite tend vers moins l'infini
b) D�terminer la limite de la suite ( un) lorsque u1 = 0,8 .
un =n!(0,8-e+2)+In = n!(2,8-e)+In.
In tend vers z�ro si n tend vers plus l'infini ; la limite en plus l'infini de n! est �gale � plus l'infini.
De plus 2,8-e est positif.
Si u1 = 0,8 la suite tend vers plus l'infini
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Exercice 3 : Commun à tous les candidats (5 points)
Le plan est muni d’un rep�re orthonorm� direct.
Le but de cet exercice est de d�terminer les nombres complexes non nuls tels que les points d’affixes 1, z2 et 1/z soient align�s.
Sur le graphique fourni, le point A a pour affixe 1.
Partie A : �tude d’exemples.
1. Un premier exemple
Dans cette question, on pose : z = i .
a) Donner la forme alg�brique des nombre complexes z2 et 1 /z.
z2 = i2 = -1.
1/z = 1 /i = i / i2 = -i..
b) Placer les points N1 d’affixe z2 et P1 d’affixe 1/z sur le graphique.
On remarque que dans ce cas les points A, N1 et P1 ne sont pas align�s.
2. Une �quation
R�soudre dans l’ensemble des nombres complexes l’�quation d’inconnue z : z2 + z +1 = 0 .
D = 12-4 = -3 = 3 i2.
z1 = (-1 +3�i) /2 ; z1 = (-1 -3�i) /2 ;
3. Un deuxi�me exemple
Dans cette question, on pose : z = (-1 +3�i) /2
a) D�terminer la forme exponentielle de z, puis celles des nombres complexes z2 et 1 / z.
|z |=(1 +3)� /2 = 1.
z / |z|= -0,5 +i 3�/2 = cos (2p/3) + i sin(2p/3) =exp(i 2p/3 ).
z2 = exp(i 4p/3 ).
1 /z = exp( -i 2p/3 ).
.
b) Placer les points N2 d’affixe z2 et P2 d’affixe 1 /z sur le graphique.
On remarque que dans ce cas les points A, N2 et P2 sont align�s.
Partie B : �tude du cas g�n�ral
Soit z un nombre complexe non nul.
On note N le point d’affixe z2 et P le point d’affixe 1 /z.
1. �tablir que, pour tout nombre complexe z diff�rent de 0, on a :
z2 -1 /z = (z2+z+1)(1-1/z).
On d�vellope :(z2+z+1)(1-1/z) = z2-z+z-1+1-1/z =
z2 -1 /z.
2. On rappelle que :
En d�duire que, pour z diff�rent de z�ro, les points A, N et P d�finis ci-dessus sont align�s si et seulement si z2 + z +1 est un r�el.
Si z diff�re de 1 : (z2+z+1)(1-1/z) = k(1-1 / z) ;
z2+z+1 = k ; k �tant r�el, alors z2+z+1 est r�el.
De plus si z = 1 ; z2+z+1 =3, nombre r�el.
Donc, les points A, N et P d�finis ci-dessus sont align�s si et seulement si z2 + z +1 est un r�el.
3. On pose z = x + i y , o� x et y d�signent des nombres r�els.
Justifier que : z2 + z +1= x2 − y2 + x +1+ i (2xy + y) .
(x+iy)2 +x+iy +1 = x2 +i2y2+2ixy +x+iy+1=x2 − y2 + x +1+ i (2xy + y).
4. a) D�terminer l’ensemble des points M d’affixe z diff�rent de z�ro tels que les points A, N et P soient align�s.
b) Tracer cet ensemble de points sur le graphique donn�.
z2 + z +1 doit �tre un r�el ;
donc x2 − y2 + x +1+ i (2xy + y) doit �tre un nombre r�el : 2xy + y = 0.
y(2x+1)=0 ; y = 0 ou x = -�.
L'ensemble des points M est constitu� des droites d'�quation y = 0 et x = -0,5, priv� de z�ro.
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Exercice 4 : Commun � tous les
candidats (5 points)
Dans l’espace, on consid�re un cube ABCDEFGH de centre Ω et d’ar�te de longueur 6.
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Dans ce rep�re, on a par exemple : B(6;0;0) , F(6;0;6) et R(0;4;6) .
1. a) Donner, sans justifier, les coordonn�es des points P, Q et Ω.
P(2 ; 0 ; 0) ; Q(0 ; 0 ; 2) ; W(3 ; 3 ; 3 ).
b) D�terminer les nombres r�els b et c tels que  soit un vecteur normal au plan (PQR).
c) En d�duire qu’une �quation du plan (PQR) est : x − y + z − 2 = 0 .
Equation de ce plan : x -y +z +d = 0.
P(2 ; 0 ; 0) appartient � ce plan : 2-0+0+d = 0 ; d = -2.
x-y+z-2=0.
2. a) On note Δ la droite perpendiculaire au plan (PQR) passant par le point Ω, centre du cube.
Donner une repr�sentation param�trique de la droite Δ.
Le vecteur est un vecteur directeur de la droite.
x = t +xW ; y =- t +yW ; z = t +zW ;
x = t+3 ; y = -t+3 ; z = t+3.
b) En d�duire que la droite Δ coupe le plan (PQR) au point I de coordonn�es ( 8 /3 ; 10 /3 ; 8 / 3 ).
xM -yM +zM-2=0.
t+3 -(-t+3) +t+3 -2 = 0 ; 3t+1 = 0 ; t = -1 /3.
xM = -1 / 3+3 =8 /3 ; yM =1 /3 +3 = 10 / 3 ; zM=-1 /3 +3 = 8 /3.
c) Calculer la distance WI .
[(8 /3 -3)2 +(10 /3 -3)2 +(8 /3 -3)2 ]� =(1 /9 +1/9 +1/9)� =1 /3�.
3. On consid�re les points J(6;4;0) et K(6;6;2) .
a) Justifier que le point J appartient au plan (PQR) .
Les coordonn�es du point J doivent v�rifier l'�quation du plan ( PQR) :
xJ -yJ +zJ-2= 6 -4+0-2 =0.
b) V�rifier que les droites (JK) et (QR) sont parall�les.
Ces deux vecteurs �tant colin�aires, les droites (JK) et (QR) sont parall�les.
c) Sur la figure donn�e, tracer la section du cube par le plan (PQR) .
On laissera apparents les traits de construction, ou bien on expliquera la d�marche.
Placer le point J (6 ; 4 ; 0).
Tracer la parall�le � la droite (QR) passant par J. Elle coupe la droite (GC) en K.
Tracer la parall�le � la droite (PJ) passant par R. Elle coupe la droite (HG) en S.
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