Fonctions logarithme et exponentielle, Concours puissance alpha. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. ...... .....   2015. 8. Fonction exponentielle Soit F1 et g les fonctions d�finies sur R respectivement par F1(x) = e−x −2x et g (x)= e−x (x +1) / (e−x +2). On d�signe par (C) la courbe repr�sentative de la fonction F1 et par (xn) la suite d�finie, pour tout n entier, par x0 = 1 et xn+1 = g (xn). a) L’�quation F1(x) = 0 admet une unique solution α avec 0 < α < 1. Vrai. Dans les questions b., c. et d., on admet la convergence de la suite (xn). b) La limite de xn  est �gale � a quand x tend vers l'infini. Faux. g (x)=  (x +1) / (1+2ex). g() est �quivalent � x / (2ex) quand x tend vers l'infini. Par croissance compar�e, g(x) tend vers z�ro quand x tend vers l'infini. c) Si a est r�el, alors la tangente � (C) en x = a coupe l’axe des abscisses en un point d’abscisse g (a). Vrai. F '1(x) = -e-x-2 ; coefficient directeur de la tangente � C au point d'abscisse x=a : -e-a-2. La tangente passe par le point A( a ; e-a-2a) ; Equation de cette tangente : e-a-2a = (-e-a-2)a+b  ; b = (1+a)e-a  ; y =(-e-a-2)x+ (1+a)e-a  ; La tangente coupe l'axe des abscisses au point de coordonn�es  (   (1+a)e-a / (e-a+2) ; 0). 9. Fonction exponentielle et logarithme. Soit f la fonction d�finie sur ]0 ; +oo[ par f (x) =ln(e2x −1) / ex , g la fonction d�finie sur ]1 ; +oo[ par g (x) = 2x−(x−1)�ln(x−1) et F la fonction d�finie sur ]1 ; +∞[ par f(x)=ln(x2 −1) / x. . a. g'(x) = 1+ln(1 / (x-1)). Faux. On pose u = (x-1); v = ln(x-1) ; u'=1 ; v' = 1/(x-1) ; u'v+v'u = ln(x-1) +1 ; g'(x) = 2-(ln(x-1)+1). b. f '(x) = g(x2) / x2. Faux. On pose u = ln(x2 −1) ; v = x ; u' = 2x/(x2 −1) ; v' = 1 ; (u'v-v'u) / v2 =[2x2 /(x2 −1) - ln(x2 −1) ] / x2 . c. g admet un minimum en x = e+1. Faux. g'(x) = 0 pour x = e+1. g'(x) est n�gative pour x > e+1 ; g(x) est d�croissante  pour x > e+1. 2017. Exercice 6. Etude de 2 fonctions. Soient f et g deux fonctions d�finies par f(x) = ln(2x) et g(x) = ln(x2-1) de courbes repr�sentative respectives Cf et Cg. a. g(0,5) <0. Faux. g (x) n'est pas d�finie sur ]-1 ; +1 [ b. g'(x) =1/(x2-1)  Faux. On pose u = x2-1 ; u' = 2x ; g'(x) = u' / u = 2x /(x2-1). c. La tangente � Cg en x = 2� a pour �quation y = 2 x2�x-4. Vrai. g'(2�)=2 x2�; la tangente passe au point de coordonn�es ( 2� ; 0) ; �quation de la tangente : y = 2 x2�x +b ; 0 = 4+b ; b = -4. d. Si x appartient � ]1 ; 1+2�], la courbe Cg est au dessus de Cf. Faux. Exercice 7. Etude d'une fonction exponentielle. Soit fla fonction d�finie sur R par f(x) = exp(x2-2x). a. f(1) =-1/e. Faux. f(1) = exp(12-2) = e-1 = 1 /e. b. La limite de f(x) en moins l'infini est �gale � la limite de f(x) en plus l'infini. Vrai. c.f '(x) = f(x). Faux. f '(x) = (2x-2) exp(x2-2x). d. L'�quation f(x) = 1 /3 admet deux solutions dans R. Faux. ln(1/3) = -ln3  = x2-2x ; x2-2x +ln 3 = 0 ; D  = 4-4 ln3 <0. ... 2018. Exercice 12. Etude d’une fonction logarithme. On consid�re la fonction f d�finie par : ⨍(x) = ln(1 − x2). On note D l’ensemble de d�finition de f. a) 1 – x2> ” 0 si et seulement si –1 <• x <• 1. Vrai b) D = [−1;1].  Faux. D = ]-1 ; 1 [. c) La fonction f a pour fonction d�riv�e la fonction f ’ d�finie sur D par f ’(x) =1 / (1-x2). Faux. On pose u = 1-x2 ; u' = -2x ; f '(x) = -2x /(1-x2). d) L’�quation f(x) = 1 a pour solutions x = (e−1)� et x = −(e−1)�.  Faux. (e−1)� et  −(e−1)� n'appartiennent pas � D. Exercice 13. Etude d’une fonction exponentielle. Soit f la fonction d�finie par ⨍(x)= e2x /(x2+1). On d�signe par C la courbe repr�sentative de f dans un rep�re orthonormal du plan. a) Quand x tend vers moins l'infini, f(x) tend vers moins l'infini. Faux. Le terme e2x tend vers s�ro et (x2+1) tend vers plus l'infini. t(x) tend donc vers z�ro. b) Quand x tend vers plus l'infini, f(x) tend vers plus l'infini. Vrai. Le terme e2x cro�t plus vite que le polyn�me x2+1, au voisinage de plus l'infini.. c) La fonction f a pour fonction d�riv�e la fonction f ’ d�finie sur R par f ’(x) =2(x2-x+1) / (e-x(x2+1)) . Faux. On pose u = e2x et v = x2+1 ; u' = 2e2x ; v' = 2x. (u'v -v'u) / v2 =( 2e2x(x2+1)-2xe2x) / (x2+1)2=2e2x(x2+1-x) /(x2+1)2. d) f est croissante sur ]−oo €; 0] et d�croissante sur [0;€+oo[. Faux. La d�riv�e est du signe de x2-x+1, polynome positif quel que soit la valeur de x. 2014. Exercice 12. Etude  d'une fonction logarithme. On consid�re la fonction f d�finie sur R par f (x) = ln(x2 +x +1) de courbe repr�sentative (C ). a. f est croissante sur R. Faux. f '(x) = (2x+1) / (x2 +x +1). Si x < - 0,5, f '(x) est n�gative et f(x) est strictement d�croissante. Si x > - 0,5, f '(x) est positive et f(x) est strictement croissante. Si x = -0,5, f '(x) est nulle et f(x) admet un minimum �gal � : f(-0,5) = ln(0,25 -0,5 +1) = ln (0,75). b. (C ) admet une unique asymptote verticale. Faux. c. Pour tout x r�el, f (x)>ln(3/4). Vrai. d. Il existe deux points de (C ) ayant une tangente � (C ) parall�le � la droite (Δ) d’�quation y = x −ln7. Vrai. Le coefficient directeur des tangentes doit �tre �gal � 1. f '(x) = (2x+1) / (x2 +x +1) = 1 ; 2x+1 = x2 +x +1 ; x2 -x  = 0 soit x = 0 et x = 1. 13. Etude d'une fonction exponentielle. Soit f la fonction d�finie sur R par f (x) =0,5 e2x+ex-2x On d�signe par C sa repr�sentation graphique dans un rep�re orthonorm� du plan. a. Pour tout r�el x, on a : f ′(x) = (ex −1) (ex +2). Faux. f '(x) =ex+ex-2 = 2(ex-1). f '(x) est n�gative si  x <0 et f(x) est strictement d�croissante. f '(x) >0 si x >0 et f(x) est strictement croissante. f '(x) = 0 si x=0 et f(x) pr�sente un minimum �gal  � f(0) = 1,5. b. Pour tout r�el x, on a : f (x) >1,5. Faux, il faudrait �crire f(x) >1,5. c. C admet l’axe des abscisses comme asymptote horizontale en +oo. Faux. d. Quand x tend vers -oo, f(x) tend vers + oo. Vrai. Au voisnage de -oo, les termes en exponentielle sont nuls et f(x) est �quivalente  � -2x. .... 2012. Exercice 1. Soit la fonction f d�finie sur R* par f(x) =(1-x)(1-ex) / x. a. Quand x tend vers z�ro, f(x) tend vers z�ro. Faux. Au voisinage de z�ro, f(x) est �quivalente � (1-ex) / x. 1-ex �quivalent � 1 -(1+x+x2/2) =-x-x2/2. (1-ex) / x est �quivalent � -1.  b. Quand x tend vers moins l'infini, la limite de f(x) est 1. Faux. Au voisinage de -oo, le terme ex est nul ; f(x) est �quivalente � -x / x =-1. c. On appelle g la fonction d�finie sur R par: g(x) = f (x) si x diff�re de z�ro  et g(0) = –1. La fonction g est continue sur R. Vrai. d. Quand x tend vers plus l'infini, la limite de (n-1)(1-exp(1/n)) est �gale � -1. Vrai. On pose x = 1/n ; au voisinage de z�ro, 1-ex �quivalent � 1 -(1+x+x2/2) =-x-x2/2. 1/x-1 est �quivalent � 1/x ; (n-1)(1-exp(1/n)) est �quivalent � -1. Exercice 2 .   Soit f la fonction d�finie par f (x) = ln(e2x – 2ex + 1). a. L'ensemble de d�finition de f est R. Faux. e2x – 2ex + 1 = (ex-1)2, toujours positif ou nul ( si x = 0). f(x) n'est pas d�finie en 0. b. On a: f (x) < 0 si et seulement si x < 0. Faux. f(0,1) =2 ln(e0,1-1)= -4,5 . c. Pour tout x de R*, on peut �crire f (x) = 2ln(ex – 1). Faux. f (x) = 2ln |ex – 1| d. La courbe repr�sentant f dans un rep�re orthonormal du plan poss�de pour asymptotes les axes du rep�re et la droite d'�quation y = 2x. Vrai. .   .

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