Saut
� ski,
bac S Liban 2019.
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L'exercice consiste � faire l'�tude du skieur sur la piste d'�lan et lors du saut dans le cadre d'un mod�le simplifi�.
On donne g = 9,8 m s-2 ; masse du skieir + �quipement : m = 70 kg ; altitude de d�part yD = 98 m ; altitude du point d'envol yT = 65 m ; inclinaison de la table d'envol : a = 11� ; vitesse de dcollage vT = 83,3 km / h.
Dans le r�f�rentiel terrestre, le syst�me [skieur + �quipement } sera
consid�r� comme un point mat�riel. On n�glige tout frottement. La
vitesse de d�part vD est nulle. l'�nergie potentielle de pesanteur est nulle en y = 0.
1. Etude du mouvement sur la piste d'�lan du tremplin.
1.1. Calculer la valeur de l'�nergie m�canique du syst�me en D.
La vitesse �tant nulle, l'�nergie m�canique est sous forme potentielle de pesanteur.
EmD = mg yD = 70 x 9,8 x98=6,7228 104 ~6,7 104 J.
1.2. Exprimer l'�nergie m�canique en T.
EmT = m g yT +�mv2T.
1.3. Montrer que vT = (2g(yD-yT))� et calculer sa valeur.
Conservation de l'�nergie m�canique du syst�me :
m g yT +�mv2T = mg yD ; g yT +�v2T = g yD ; �v2T =g(yD-yT) ;
vT = (2g(yD-yT)� = (2 x9,8 (98-65))� =25,43 ~25 m /s. ( 25,43 x3,6 ~92 km /h)
1.4. Ce r�sultat est-il en accord avec la vitesse mesur�e ? Commenter.
La valeur calculer est sup�rieur d'environ 10 km / h � la valeur mesur�e. Dans cette �tude on a n�glig� les frottements.
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2. Etude du mouvement lors du saut.
On mod�lise la piste d'atterrissage par une droite d'�quation ypiste = -0,59 x. On note xL l'abscisse de L.
2.1. D�terminer les coordonn�es du vecteur acc�l�ration.
Le skieur n'est soumis qu'� son poids. La seconde loi de Newton conduit � : ax = 0 et ay = -g.
2.2. Montrer que les �quations horaires du point mat�riel M s'�crivent :
x = vT cos a t ; y = -�gt2 -vT sin a t.
Le vecteur vitesse est une primitive du vecteur acc�l�ration.
Vitesse initiale en T : vT cos a ; -vT sin a ;
Vitesse � la date t : vT cos a ; -vT sin a -gt.
Le vacteur position est une primitive du vecteur vitesse et la position initiale est l'origine du rep�re.
x = vT cos a t ; y = -�gt2 -vT sin a t.
2.3. En d�duire l'�quation de la trajectoire.
t = x / (vT cos a) ; repport dans y :
y = -�g x2 / (vT cos a)2 - x tan a.
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2.4.
Le jour de l'�preuve, la longueur r�elle du saut a �t� de 113 m. Cette
longueur correspond � TL ( abscisse r�elle du point L = 97 m)
Le mod�le pr�c�dent permet-il de rendre compte de la valeur r�elle de l'abscisse du point L ? Commenter.
TL = (xL2 +yL2)�.
yL = -0,59 xL.
yL = -�g xL2 / (vT cos a)2 - xL tan a.
vT = 83,3 / 3,6 = 23,14 m / s.
yL =-4,9 xL2 / (23,14 cos 11)2 - xL tan 11.
yL = -9,5 10-3 xL2 - 0,194xL.
-0,59 xL = -9,5 10-3 xL2 - 0,194 xL.
-9,5 10-3 xL2 + 0,396xL = 0.
xL = 0,396 / (9,5 10-3) ~41,7 m.
Par suite yL = -0,59 x 41,7 = -24,6 m.
TL = (41,72 +(-24,6)2)�~48 m.
Le mod�le pr�c�dent ne permet pas de rendre compte de la longueur
r�elle. La pr�sence de vent le jour de l'�preuve a permis au skieur de
planer beaucoup plus loin.
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