Math�matiques, bac S Liban 2019.

Math�matiques, bac S Liban 2019.

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Exercice 1 : Commun à tous les candidats (5 points)
Le plan est muni d’un rep�re orthogonal .
1. On consid�re la fonction f d�finie sur l’intervalle ]0; 1] par f (x) = x(1−lnx) ² .
a. D�terminer une expression de la fonction d�riv�e de f et v�rifier que pour tout x ∈]0 ; 1], f ′ (x) = (lnx +1)(lnx −1).
On pose u = x et v = (1-ln x)² ; u' = 1 ; v' = - 2(1-ln x) / x .
u'v +v'u = (1-ln x)² -2(1-ln x) =(1-ln x) ( 1-ln x -2) = -(1-ln x)(1+ln x) =(lnx +1)(lnx −1).
b. �tudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations sur l’intervalle ]0; 1] (on admettra que la limite de la fonction f en 0 est nulle).
lnx-1 est n�gatif ;
ln x +1 = 0 ; ln x = -1 ; x = e^-1.

On note Γ la courbe repr�sentative de la fonction g d�finie sur l’intervalle ]0; 1] par g (x) = lnx. Soit a un r�el de l’intervalle ]0; 1]. On note M_a le point de la courbe Γ d’abscisse a et d_a la tangente � la courbe Γ au point M_a . Cette droite da coupe l’axe des abscisses au point N_a et l’axe des ordonn�es au point P_a . On s’int�resse � l’aire du triangle ON_aP_a quand le r�el a varie dans l’intervalle ]0; 1]. 2. Dans cette question, on �tudie le cas particulier o� a = 0,2 et on donne la figure ci-dessous.

a. D�terminer graphiquement une estimation de l’aire du triangle ON_0,2P_0,2 en unit�s d’aire.
0,52 x2,6 / 2 = 0,676 unit� d'aire.
b. D�terminer une �quation de la tangente 𝑑_0,2 .
Coefficient directeur : g'(0,2) = 1 / 0,2 = 5.
La tangente passe par le point M₀₂(0,2 ; ln(0,2) : y = 5 x0,2 +b = ln(0,2) = -ln(5) ; b = -1-ln(5).
y = 5x -1-ln 5.
c. Calculer la valeur exacte de l’aire du triangle O_N0,2P_0,2 .
OP₀₂ =(1+ln 5) ; ON₀₂ =(1+ln 5) / 5 ; Aire = (1+ln 5)² / 10.
Dans ce qui suit, on admet que, pour tout r�el 𝑎 de l’intervalle ]0 ;1], l’aire du triangle ON𝑎P𝑎 en unit�s d’aire est donn�e par :
𝐴(𝑎)=0,5𝑎 (1 –ln𝑎)².
3. � l’aide des questions pr�c�dentes, d�terminer pour quelle valeur de 𝑎 l’aire 𝐴(𝑎) est maximale. D�terminer cette aire maximale.
f(x) passe par un maximum pour x = e^-1.
L'aire est maximale pour x = e^-1 et vaut : 0,5 e^-1 (1+ln e)² = 2 e^-1.

Exercice 2 : Commun à tous les candidats (4 points)
Le plan complexe est muni d’un rep�re orthonorm� direct d’unit� 2 cm. On appelle 𝑓 la fonction qui, � tout point M, distinct du point O et d’affixe un nombre complexe 𝑧, associe le point M′ d’affixe 𝑧′ tel que 𝑧′=−1 /𝑧.
1. On consid�re les points A et B d’affixes respectives 𝑧_A=−1+i et 𝑧_B=0,5exp(ip/3).
a. D�terminer la forme alg�brique de l’affixe du point A′ image du point A par la fonction 𝑓.
z'_A = -1 / (-1+i) = (1+i) / 2.
b. D�terminer la forme exponentielle de l’affixe du point B′ image du point B par la fonction 𝑓.
z'_B = -1/ (0,5 exp(ip/3))= -2 exp(-ip/3) = 2 exp( ip) exp(-ip/3) = 2 exp((2ip/3).
c. Sur la copie, placer les points A, B, A′ et B′ dans le rep�re orthonorm� direct . Pour les points B et B′, on laissera les traits de construction apparents.

2. Soit 𝑟 un r�el strictement positif et 𝜃 un r�el. On consid�re le complexe 𝑧 d�fini par 𝑧=𝑟e^iθ.
a. Montrer que 𝑧′=1/𝑟exp(i(π−θ)).
z' = -1 / (r exp(iq)) = -1 /r e^-iq =1 / r e^ip e^-iq =1/𝑟exp(i(π−θ))
b. Est il vrai que si un point M, distinct de O, appartient au disque de centre O et de rayon 1 sans appartenir au cercle de centre O et de rayon 1, alors son image M′ par la fonction 𝑓 est � l’ext�rieur de ce disque ? Justifier.
r <1 ; 1 / r > 1 : M' est donc en dehors du disque de centre O et de rayon 1. L'affirmation est vraie.
3. Soit le cercle G de centre K d’affixe 𝑧_K= -0,5 et de rayon 0,5.
a. Montrer qu’une �quation cart�sienne du cercle est 𝑥²+𝑥+𝑦²=0.
Equation cart�sienne du cercle : (x+0,5)² + y² = 0,5² ; x² +x +0,25 + y² =0,25 ; 𝑥²+𝑥+𝑦²=0.
b. Soit 𝑧=𝑥+i𝑦 avec 𝑥 et 𝑦 non tous les deux nuls. D�terminer la forme alg�brique de 𝑧′ en fonction de x et y.
z' = -1 / (x+iy) = -(x-iy) / (x²+y²) = (-x+iy) / (x²+y²).
c. Soit M un point, distinct de O, du cercle G . Montrer que l’image M′ du point 𝑀 par la fonction 𝑓 appartient � la droite d’�quation 𝑥=1.
M appartient au cercle G : x = -(y²+x²).
z' = 1 -iy / x.
M' appartient � la droite d'�quation x = 1.

Exercice 3 : Commun � tous les candidats (6 points)
Les parties A et B peuvent �tre trait�es de fa�on ind�pendante.
Partie A
Dans un plan 𝑃, on consid�re un triangle ABC rectangle en A.
Soit 𝑑 la droite orthogonale au plan 𝑃 et passant par le point B. On consid�re un point D de cette droite distinct du point B.

1. Montrer que la droite (AC) est orthogonale au plan (BAD).
La droite (d) est orthogonale au plan (BAC), elle est donc orthogonale � toute droite de ce plan, et en particulier � la droite ( AC).
Le triangle ABC est rectengle en A. La droite ( AC) est perpendiculaire � la droite (AB).
La droite (AC) est perpendiculaire aux deux droites (AB) et (d), droites s�cantes.
La droite (AC) est donc orthogonale au plan (BAD).
On appelle bicoin un t�tra�dre dont les quatre faces sont des triangles rectangles.
2. Montrer que le t�tra�dre ABCD est un bicoin.
La droite (d) �tant orthogonale au plan (ABC), les triangles DBA et DBC sont rectangles en B.
De plus le triangle ABC est rectangle en A.

3. a. Justifier que l’ar�te [CD] est la plus longue ar�te du bicoin ABCD.
Le triangle ABD �tant rectangle en B : AD > AB ; AD > BD.
Le triangle BCD �tant rectangle en B : CD > BC ; CD > BD.
Le triangle ABC �tant rectangle en A : BC > AB ; BC > AC.
Le triangle ACD �tant rectangle en A : CD > AD ; CD > AC.
Donc CD > AD ; CD > BD ; CD > BC ; CD > AB.
b. On note I le milieu de l’ar�te [CD]. Montrer que le point I est �quidistant des 4 sommets du bicoin ABCD.
Le triangle ACD, restangle en A est inscrit dans le demi-cercle de diam�tre CD et de centre I. I est donc �quidistant des points C, A et D.
Le triangle BCD, restangle en B est inscrit dans le demi-cercle de diam�tre CD et de centre I. I est donc �quidistant des points C, B et D.
I est donc �quidistant des 4 sommets.

Partie B.
Dans un rep�re orthonorm� de l'espace, on consid�re le point A (3 ;1 ;−5) et la droite 𝑑 de repr�sentation param�trique
{𝑥=2𝑡+1 ; 𝑦=−2𝑡+9 ; 𝑧=𝑡−3 o� 𝑡 appartient � R.
1. D�terminer une �quation cart�sienne du plan 𝑃 orthogonal � la droite 𝑑 et passant par le point A.
Coordonn�es du vecteur directeur de la droite d : ( 2 ; -2 ; 1).
Equation cart�sienne du plan P : 2x -2y +z +d = 0.
Le point A appartient � ce plan : 2 *3 -2*1 -5 +d = 0 ; d = 1.
2x -2y +z +1 = 0.
2. Montrer que le point d’intersection du plan 𝑃 et de la droite 𝑑 est le point B(5 ;5 ;−1).
2(2t+1) -2(-2t+9)+t-3 +1 = 0 ;
4t +2 +4t-18 +t-3+1=0 ; 9t = 18 ; t = 2.
x_B =5 ; y_B = 5 ; z_B=-1.
3. Justifier que le point C (7 ;3 ;−9) appartient au plan 𝑃 puis montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle isoc�le en A.
2x_C -2y_C +z_C+1 = 14-6-9+1=0; C appartient au plan P.

4. Soit t un r�el diff�rent de 2 et M le point de param�tre 𝑡 appartenant � la droite 𝑑.
a. Justifier que le triangle ABM est rectangle.
Les points B et M appartiennent � la droite d orthogonale au plan B ; la droite (BM) est donc orthoginale � la droite (AB) du plan P.
b. Montrer que le triangle ABM est isoc�le en B si et seulement si le r�el 𝑡 v�rifie l’�quation 𝑡² 4𝑡=0.

c. En d�duire les coordonn�es des points M₁ et M₂ de la droite 𝑑 tels que les triangles rectangles ABM₁ et ABM₂ soient isoc�les en B.
(t-4) t = 0 soit : t =0 : M₁(1 ; 9 ; -3).
t = 4 : M₂(9 ; 1 ; 1).

Partie C.
On donne le point D(9 ; 1 ; 1) qui est un des deux points solutions de la question 4.c. de la partie B.
Les quatre sommets du t�tra�dre ABCD sont situ�s sur une sph�re. En utilisant les r�sultats des questions des parties A et B pr�c�dentes, d�terminer les coordonn�es du centre de cette sph�re et calculer son rayon.
Soit I le milieu de l'ar�te CD, c'est � dire le centre de la sph�re de rayon DI.
CD² = 2²+(-2)²+10²=108 ; CD =6 *3^� : Rayon de la sph�re : 3 *3^�.
x_I = 0,5(x_C +x_D) =8 ; y_I = 0,5(y_C +y_D) =2 ; z_I = 0,5(z_C +z_D) = -4.

Exercice 4. 4 points.

Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe � chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de d�veloppement durable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande � ce que chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide.
On suppose que le nombre de clients de l’agriculteur reste constant.
Une �tude statistique r�alis�e donne les r�sultats suivants :
– � l'issue de la premi�re semaine, la probabilit� qu'un client rapporte la bouteille de son panier est 0,9 ;
– si le client a rapport� la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilit� qu’il ram�ne la bouteille du panier la semaine suivante est 0,95 ;
– si le client n'a pas rapport� la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilit� qu’il ram�ne la bouteille du panier la semaine suivante est 0,2.
On choisit au hasard un client parmi la client�le de l’agriculteur. Pour tout entier naturel n non nul, on note 𝑅𝑛 l’�v�nement � le client rapporte la bouteille de son panier de la 𝑛 i�me semaine �.
1. a. Mod�liser la situation �tudi�e pour les deux premi�res semaines � l’aide d’un arbre pond�r� qui fera intervenir les �v�nements 𝑅1 et 𝑅2.
b. D�terminer la probabilit� que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la premi�re et de la deuxi�me semaine.
c. Montrer que la probabilit� que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxi�me semaine est �gale � 0,875.
d. Sachant que le client a rapport� la bouteille de son panier de la deuxi�me semaine, quelle est la probabilit� qu'il n’ait pas rapport� la bouteille de son panier de la premi�re semaine ? On arrondira le r�sultat � 10⁻³.

2. Pour tout entier naturel 𝑛 non nul, on note 𝑟_𝑛 la probabilit� que le client rapporte la bouteille du panier de la 𝑛 i�me semaine. On a alors 𝑟_𝑛=𝑃(𝑅_𝑛).
a. Recopier et compl�ter l'arbre pond�r� (aucune justification n’est attendue) :

b. Justifier que pour tout entier naturel 𝑛 non nul, 𝑟_𝑛+1=0,75�𝑟_𝑛+0,2.
Formule des probabilit�s totales : r_n+1 = 0,95 r_n +(1-r_n) x0,2 = 0,75�𝑟_𝑛+0,2.
c. D�montrer que pour tout entier naturel 𝑛 non nul, 𝑟_𝑛=0,1�0,75^𝑛−1+0,8.
Initialisation : r₁ = 0,95 = 0,1 x0,75⁰ +0,8 = 0,1 +0,8 = 0,9, la propri�t� est vraie au rang 1.
H�r�dit� : la propri�t� est suppos�e vraie au rang p ; 𝑟_p=0,1�0,75^p−1+0,8.
r_p+1= 0,95 r_p +(1-r_p) x0,2 =0,75 r_p +0,2 =0,1 x 0,75^p+0,75 x 0,8 +0,2 = 0,1 x 0,75^p+0,8.
La propri�t� est vraie au rang p+1.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire, elle vraie pour tout n.
d. Calculer la limite de la suite (𝑟_𝑛). Interpr�ter le r�sultat dans le contexte de l’exercice.
-1 < 0,75 < 1, donc 0,75^p tende vers z�ro si p tend vers plus l'infini.
La limite de la suite (r_n) est 0,8.
La probabilit� que le client rapporte sa bouteille au bout de plusieurs semaine est �gale � 0,8.

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