Math�matiques,
bac S M�tropole 2019.
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Exercice 1 : Commun à tous les
candidats (6 points).
Partie A.
On consid�re la fonction 𝑓 d�finie sur l’ensemble 𝐑 des nombres r�els par :
𝑓(𝑥) = 3,5-0,5(ex+e-x).
a. D�terminer la limite de la fonction 𝑓 en +∞.
Quand x tend vers plus l'infini : e-x tend vers z�ro ; ex tend vers plus l'infini ;
-0,5 ex tend vers moins l'infini ; f(x) tend vers moins l'infini.
b. Montrer que la fonction 𝑓 est strictement d�croissante sur l’intervalle [0;+∞[.
D�riv�e f '(x) = -0,5(ex-e-x) = 0,5[(1-e2x) / ex]
ex > 0 ; (1-e2x) < 0 ; f '(x) est n�gative ou nulle.
f(x) est strictement d�croissante sur [0;+∞[.
c. Montrer que l’�quation 𝑓(𝑥) = 0 admet, sur l’intervalle [0;+∞[, une unique solution, qu’on note 𝛼.
f(0) =2,5 ; f(x) tend vers moins l'infini quand x tend vers plus l'infini.
De plus f(x) est continue et strictement d�croissante sur [0;+∞[.
D'apr�s le corollaire du th�or�me des valeurs interm�diaires, l'�quation f(x) = 0 admet une seule solution sur cet intervalle.
2.
En remarquant que, pour tout r�el 𝑥, 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), justifier que
l’�quation 𝑓(𝑥) = 0 admet exactement deux solutions dans R et
qu’elles sont oppos�es.
f(a) = f(-a) =0.
Dans l'hypoth�se d'une autre solution,not�e �, sur R-, alors f(-�) = f(
=0 ; cela implique une deuxi�me solution sur [0 ; +oo[, ce qui est
impossible.
f(x) = 0 admet deux solutions oppos�es sur R.
Partie B.
Les serres en forme de tunnel sont fr�quemment utilis�es pour la
culture des plantes fragiles ; elles limitent les effets des
intemp�ries ou des variations de temp�rature.
Elles sont construites � partir de plusieurs arceaux m�talliques
identiques qui sont ancr�s au sol et supportent une b�che en plastique.
Le plan est rapport� � un rep�re orthonorm� d’unit� 1 m�tre. La
fonction 𝑓 et le r�el 𝛼 sont d�finis dans la partie A. Dans la suite
de l’exercice, on mod�lise un arceau de serre par la courbe de la
fonction 𝑓 sur l’intervalle [– 𝛼; 𝛼].
On a repr�sent� ci-dessous la courbe sur l’intervalle [– 𝛼; 𝛼].
On admettra que la courbe admet l’axe des ordonn�es pour axe de sym�trie.
1. Calculer la hauteur d’un arceau.
f(0) = 3,5-0,5(e0+e-0) = 3,5-1 = 2,5 m.
2. a. Dans cette
question, on se propose de calculer la valeur exacte de la longueur de
la courbe sur l’intervalle [0; 𝛼]. On admet que cette longueur est
donn�e, en m�tre, par l’int�grale :
Montrer que pour tout r�el x, on a : 1 + (𝑓 '(𝑥))2 = 0,25(ex+e-x)2.
1+0,52[(1-e2x) / ex]2 =[ e2x +0,25(1-e2x)2] / e2x =[ e2x +0,25(1-2e2x+e4x)] / e2x ;
0,25[ 4e2x +1-2e2x+e4x] / e2x =0,25[ 1+2e2x+e4x] / e2x =0,25(1+e2x)2 / e2x =0,25(e-x+ex)2.
b. En d�duire la valeur de l’int�grale 𝐼 en fonction de 𝛼.
Justifier que la longueur d’un arceau, en m�tre, est �gale � : 𝑒a − 𝑒-a.
Primitive de 0,5(e-x+ex) : F = 0,5 (-e-x+ex).
I = F(a) -F(0) =0,5 [ea -e-a].
Longueur de l'arc 2I =𝑒a − 𝑒-a.
Partie C.
On souhaite construire une serre de jardin en forme de tunnel.
On fixe au sol quatre arceaux m�talliques, dont la forme est celle
d�crite dans la partie pr�c�dente, espac�s de 1,5 m�tre, comme indiqu�
sur le sch�ma ci-dessous.
Sur la fa�ade sud, on pr�voit une ouverture mod�lis�e sur le sch�ma par
le rectangle ABCD de largeur 1 m�tre et de longueur 2 m�tres.
On souhaite conna�tre la quantit�, exprim�e en m�, de b�che plastique n�cessaire pour r�aliser cette serre.
Cette b�che est constitu�e de trois parties, l’une recouvrant la fa�ade nord, l’autre la fa�ade sud (sauf
l’ouverture), la troisi�me partie de forme rectangulaire recouvrant le dessus de la serre.
1. Montrer que la quantit� de b�che n�cessaire pour recouvrir les fa�ades sud et nord est donn�e, en m2, par :
2. On prend 1,92 pour valeur approch�e de 𝛼. D�terminer, au m2 pr�s, l’aire totale de la b�che plastique n�cessaire pour r�aliser cette serre.
Aire de la couverture : (e1,92-e-1,92) x4,5 =(6,82 -0,147) x4,5 ~30 m2.
Primitive de f(x) : F(x) =3,5x -0,5(ex-e-x).
Aire des deux faces : 4 (3,5 x1,92 -0,5(e1,92 -e-1,92) -2=4(6,72 -0,5(6,82 -0,147) -2 = 11,5 m2.
Total : 11,5 +30 ~ 42 m2.
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Exercice
2 : Commun à tous les candidats (5 points)
Une plateforme informatique propose deux types de jeux vid�o : un jeu de type A et un jeu de type B.
Partie A.
Les dur�es des parties de type A et de type B, exprim�es en minutes,
peuvent �tre mod�lis�es respectivement par deux variables al�atoires
not�es 𝑋G et 𝑋H.
La variable al�atoire 𝑋G suit la loi uniforme sur l’intervalle [9; 25] .
La variable al�atoire 𝑋H suit la loi normale de moyenne 𝜇
et d’�cart type 3. La repr�sentation graphique de la fonction de
densit� de cette loi normale et son axe de sym�trie sont donn�s
ci-dessous.
1.a. Calculer la dur�e moyenne d’une partie de type A.
E(XA) = (9 +25) / 2 = 17 minutes.
b. Pr�ciser � l’aide du graphique la dur�e moyenne d’une partie de type B.
L'axe de sym�trie se situe � � = 17 minutes.
2. On choisit au
hasard, de mani�re �quiprobable, un type de jeu. Quelle est la
probabilit� que la dur�e d’une partie soit inf�rieure � 20 minutes ? On
donnera le r�sultat arrondi au centi�me.
P(XA < 20) =(20-9) /(25-9) =11 / 16 =0,6875~0,69
P(XB < 20) =0,8413~0,84.
Le choix du jeu �tant �quiprobable, la probabilit� demand�e est : (0,6875 +0,8413 ) / 2 ~0,76.
Partie B.
On admet que, d�s que le joueur ach�ve une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le mod�le suivant :
• si le joueur ach�ve une partie de type A, la plateforme lui propose
de jouer � nouveau une partie de type A avec une probabilit� de 0,8 ;
• si le joueur ach�ve une partie de type B, la plateforme lui propose
de jouer � nouveau une partie de type B avec une probabilit� de 0,7.
Pour tout entier naturel n sup�rieur ou �gal � 1, on note An et Bn les �v�nements :
An : � la 𝑛-i�me partie est une partie de type A. �
Bn : � la 𝑛-i�me partie est une partie de type B. �
Pour tout entier naturel n sup�rieur ou �gal � 1, on note an la probabilit� de l’�v�nement An.
a. Recopier et compl�ter l’arbre pond�r� ci-dessous..
b. Montrer que pour tout entier naturel n≥ 1, on a : an+1 = 0,5 an +0,3.
D'apr�s laformule des probabilit�s totales :
an+1 = 0,8 an +0,3(1- an) =0,5 an +0,3.
Dans
la suite de l’exercice, on note a la probabilit� que le joueur joue au
jeu A lors de sa premi�re partie, o� a est un nombre r�el appartenant �
l’intervalle [0; 1]. La suite (an) est donc d�finie par :
a1 = a et pour tout entier naturel n ≥ 1, an+1 = 0,5 an +0,3.
2. �tude d’un cas particulier : Dans cette question, on suppose que a = 0,5.
a. Montrer par r�currence que pour tout entier naturel n ≥ 1, on a : 0 ≤ an ≤ 0,6.
Initialisation : la propri�t� est vraie au rang 1
H�r�dit� : la relation est suppos�e vraie au rang p. 0 ≤ ap ≤ 0,6.
0 ≤0,5 ap ≤ 0,3 ; 0,3 ≤0,5 ap +0,3 ≤ 0,6 ; 0,3 ≤ ap+1 ≤ 0,6.
Par suite 0 ≤ ap+1 ≤ 0,6. La propri�t� est vraie au rang p+1.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire, elle est donc vraie pour tout n > 1.
b. Montrer que la suite (an) est croissante.
an+1 -an = - 0,5 an +0,3.
Or 0 ≤ an ≤ 0,6 ; 0 ≤ 0,5an ≤ 0,3 ; 0 > -0,5an > -0,3 ; 0,3 > -0,5an +0,3> 0
an+1 -an > 0 ; la suite (an) est croissante.
c. Montrer que la suite (an) est convergente et pr�ciser sa limite.
La suite est croissante et major�e par 0,6.
L = 0,3 +0,5 L ; 0,5 L = 0,3 ; L = 0,6.
3. �tude du cas g�n�ral : Dans cette question, le r�el a appartient � l’intervalle [0; 1].
On consid�re la suite (un) d�finie pour tout entier naturel n ≥ 1 par : un =an − 0,6.
a. Montrer que la suite (un) est une suite g�om�trique.
un+1 =an+1 − 0,6 = 0,5 an +0,3-0,6 =0,5 an -0,3 =0,5(an-0,6) = 0,5 un.
Par suite, (un) est g�om�trique de raison 0,5 et de premier terme u1=a-0,6.
b. En d�duire que pour tout entier naturel n ≥ 1 on a : an = (a − 0,6) � 0,5n-1 + 0,6.
un =(a-0,6) 0,5n-1 =an − 0,6 ; an = (a − 0,6) � 0,5n-1 + 0,6.
c. D�terminer la limite de la suite (an). Cette limite d�pend-elle de la valeur de a ?
0,5n-1 tend vers z�ro si n tend vers plus l'infini ; an tend vers o,6 quelle que soit la valeur de a.
d.
La plateforme diffuse une publicit� ins�r�e en d�but des parties de
type A et une autre publicit� ins�r�e en d�but des parties de type B.
Quelle devrait �tre la publicit� la plus vue par un joueur s’adonnant
intensivement aux jeux vid�o ?
Au bout d'un temps assez grand, la probabilit� de jouer la partie A est
�gale � 0,6 et la probabilit� de jouer la partie B vaut 0,4.
Le joueur des parties A verra le plus souvent la publicit�.
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Exercice 3 : Commun � tous les
candidats (4 points)
Les quatre questions de cet exercice sont ind�pendantes.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la r�ponse choisie.
Une r�ponse non justifi�e n’est pas prise en compte. Une absence de r�ponse n’est pas p�nalis�e.
1. Dans l’ensemble C des nombres complexes, on consid�re l’�quation (E) ∶ z2-2 *3�z +4 =0.
On note A et B les points du plan dont les affixes sont les solutions de (E).
Affirmation 1 : Le triangle OAB est �quilat�ral. Vrai.
Discriminant : D = 12-16 = -4 = 4 i2.
Solutions : z = 3�� i.
Le module de zA = 3�+ i. vaut 2 ; le module de zB = 3�- i. vaut 2 ; donc OA = OB.
zB-zA = -2i ; le module de zB-zA vaut 2 ; donc OA = OB=AB.
2. On note u le nombre complexe : u=3�+i et on note 3�-i son conjugu�.
Affirmation 2 :  Faux.
u = 2 (3� / 2 +0,5 i) =2 cos (p/6) + i sin (p/6)= 2 exp (ip/6) ;
u2019 = 22019 exp (i 2019 p/6) = 22019 exp (i 2019 p/6) =22019 exp (i (336p +3 p/6)) =22019 exp (i p/2).=22019 i.
Conjugu� de u : 2 exp (- i p/6) ;
conjugu� de u exposant 2019 = 22019 exp ( - i 2019 p/6) =22019 exp(- i (336p +3 p/6)) =22019 exp ( -i p/2).=22019 (-i)
.
3. Soit n un entier naturel non nul. On consid�re la fonction fn d�finie sur l’intervalle [0;+∞[ par :
fn(x) =x e-nx+1.
Affirmation 3 : Pour tout entier naturel n ≥ 1, la fonction fn admet un maximum. Vrai.
D�riv�e : fn ' (x) = e-nx+1-nx e-nx+1 = e-nx+1(1-nx).
La d�riv�e s'annule pour x = 1 / n.
La d�riv�e est positive pour x < 1 / n ; la d�riv�e est n�gative pour x > 1 / n.
La fonction est croissante sur [0 ; 1 /n [ et d�croissante sur [1 / n ; +oo[.
4. On note 𝒞 la courbe repr�sentative de la fonction 𝑓 d�finie sur R par : f(x)= cos((x) e-x.
Affirmation 4 : La courbe 𝒞 admet une asymptote en +oo. Vrai.
-1 < cos (x) < 1 ; e-x est positif.
e-x tend vers z�ro si x tend vers plus l'infini.
-e-x < cos (x)e-x < e-x ;
Appliquer le th�or�me d'encadrement : cos (x)e-x tend vers z�ro si x tend vers plus l'infini.
5. Soit A un nombre r�el strictement positif.
On consid�re l’algorithme ci-dessous :
I = 0
Tant que 2I < A
I = I+1
Fin Tant que
On suppose que la variable I contient la valeur 15 en fin d’ex�cution de cet algorithme.
Affirmation 5 : 15 ln(2) ≤ ln(A) ≤ 16 ln(2). Faux.
214 < A et 2 15 > A ; 214 < A < 215 ;
La fonction logarithme est strictement croissante sur R*+
ln 214 < ln A < ln215 ; 14 ln 2< ln A <15 ln 2
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Exercice 4
5 points
On consid�re un cube ABCDEFGH d’ar�te de longueur 1, dont la figure est donn�e.
On note I le milieu du segment [EF], J le milieu du segment [EH] et K le point du segment [AD].
On note P le plan passant par I et parall�le au plan (FHK).
Partie A.
Dans cette partie, les constructions demand�es seront effectu�es sans justification..
1. Le plan (FHK) coupe la droite (AE) en un point qu’on note M. Construire le point M.
2. Construire la section du cube par le plan P.
Les droites (HK) et (AE) sont incluses dans le plan (AEH). Ces droites se coupent en M.
Dans le triangle HEF, la droite passant par I et J, milieux des cot�s
EF et EH, est parall�le � la droite (HF). C'est la droite des
milieux.
L'intersection des plans (AEF) et (FHK) est la droite (FM).
Le plan P et le plan (ABF) est une droite parall�le � la droite (FM), passant par I.
Partie B.
Dans cette partie, on munit l’espace du rep�re orthonorm�.
On rappelle que P est le plan passant par I et parall�le au plan (FHK).
1. a. Montrer que le vecteur  est un vecteur normal au plan (FHK).
b. En d�duire qu'une �quation cart�sienne du plan (FHK) est : 4𝑥 + 4𝑦 − 3𝑧 − 1 = 0.
Equation de ce plan : ax +by +cz +d = 0.
F(1 ; 0 ; 1) appartient � ce plan : a +c +d = 0.
H(0, 1 , 1) appartient � ce plan : b +c+d = 0 ; par suite a=b.
K(0 ; 0,25 ; 0) appartient � ce plan : 0,25 b +d = 0 ; soit d = -0,25 b= -0,25 a..
a +c-0,25a = 0 soit c = -0,75 a.
ax +ay -0,75az -0,25a = 0 ; x +y-0,75z -0,25 =0.
4x +4y -3z -1=0.
c. D�terminer une �quation cart�sienne du plan P.
P est le plan passant par I (0,5 ; 0 ; 1) et parall�le au plan (FHK).
Equation du plan P : 4x +4y -3z +d=0.
I appartient � ce plan : 2 -3+d=0 ; d = 1.
4x +4y -3z +1=0.
d. Calculer les coordonn�es du point M′, point d’intersection du plan P et de la droite (AE).
A(0 ; 0 ; 0) ; E(0 ; 0 ; 1) ; 
Equation param�trique de la droite (AE) : z = t avec t r�el.
M' appartient au plan P et � la droite (AE) : -3t+1 = 0 ; t = 1 /3.
M' (0 ; 0 ; 1/3).
2. On note Δ la droite passant par le point E et orthogonale au plan P.
a. D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite Δ.
Coordonn�es du vecteur directeur de cette droite : (4 ; 4 ; -3).
La droite passe par E(0 ; 0 ; 1) :
x = 4t ; y = 4t ; z = -3t+1 avec t r�el.
b. Calculer les coordonn�es du point L, intersection de la droite Δ et du plan (ABC).
Equation cart�sienne du plan (ABC) : z = 0.
Par suite t = 1 /3.
xL =4 /3 ; yL = 4 /3 ; zL =0 ; L(4 /3 ; 4 /3 ; 0).
c. Tracer la droite Δ sur la figure donn�e.
d. Les droites Δ et (BF) sont-elles s�cantes ? Qu’en est-il des droites Δ et (CG) ? Justifier.
Les points B, E et F appartiennent au plan (ABE) ; L n'appartient pas � ce plan.
Les droites Δ et (BF) ne sont pas s�cantes.
Hypoth�se : les droites Δ et (CG) sont s�cantes.
On cherche les coordonn�es du point N, intersection des droites D et CG :
D : x = 4t ; y = 4t ; z = -3t+1 ; (CG) : x = 1 ; y = 1 ; z = k avec k et t r�els.
Par suite t = 0,25 ; k = 0,25 et N (1 ; 1 ; 0,25).
L'hypoth�se est vraie.
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