Math�matiques, bac S M�tropole septembre 2019.

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Exercice 1. 4 points
Lors d’un examen professionnel, chaque candidat doit pr�senter un dossier de type A ou un dossierde type B ; 60% des candidats pr�sentent un dossier de type A, les autres pr�sentant un dossier de type B.
Le jury attribue � chaque dossier une note comprise entre 0 et 20. Un candidat est re�u si la note attribu�e � son dossier est sup�rieure ou �gale � 10. On choisit au hasard un dossier.
On admet qu’on peut mod�liser la note attribu�e � un dossier de type A par une variable al�atoire X suivant la loi normale d’esp�rance 11,3 et d’�cart-type 3, et la note attribu�e � un dossier de type B par une variable al�atoire Y suivant la loi normale d’esp�rance 12,4 et d’�cart type 4,7.
On pourra noter A l’�v�nement : � le dossier est un dossier de type A �, B l’�v�nement : � le dossier est un dossier de type B �, et R l’�v�nement : � le dossier est celui d’un candidat re�u � l’examen �.
Les probabilit�s seront arrondies au centi�me.
1. Le dossier choisi est de type A. Quelle est la probabilit� que ce dossier soit celui d’un candidat re�u � l’examen ?
p(X > 10) =1-P(X < 10) =1-0,332 ~0,67.
On admet que la probabilit� que le dossier choisi, sachant qu’il est de type B, soit celui d’un candidat re�u est �gale � 0,70.
2. Montrer que la probabilit�, arrondie au centi�me, que le dossier choisi soit celui d’un candidat re�u � l’examen est �gale � 0,68.
Formule des probabilit�s totales : 0,67 x0,60 +0,40 x0,70 ~0,68.
3. Le jury examine 500 dossiers choisis al�atoirement parmi les dossiers de type B. Parmi ces dossiers, 368 sont ceux de candidats re�us � l’examen. Un membre du jury affirme que cet �chantillon n’est pas repr�sentatif. Il justifie son affirmation en expliquant que dans cet �chantillon, la proportion de candidats re�us est trop grande.
Quel argument peut-on avancer pour confirmer ou contester ses propos ?
n = 500 ; np = 500 x0,68 = 340 > 5 ; n(1-p) =500 x0,32 = 160 > 5.
On peut d�finir un intervalle de fluctuation asymptotique  :
1,96 (0,68 x0,32 / 500)� = 0,041.
Intervalle de fluctuation [0,68 -0,041 ; 0,68 +0,041] soit [0,63 ; 0,73].
Fr�quence observ�e : 368 /500 ~0,736.
Cette fr�quenc en' appartient pas � cet intervalle.
Au risque de 5 %, on confirme cette affirmation.
4. Le jury d�cerne un � prix du jury � aux dossiers ayant obtenu une note sup�rieure ou �gale � N, o� N est un nombre entier. La probabilit� qu’un dossier choisi au hasard obtienne le � prix du jury � est comprise entre 0,10 et 0,15.
D�terminer le nombre entier N.
0,10 < 0,6 P(X > N) +0,4 P (Y > N) < 0,15.
0,6 P(X > 15) +0,4 P (Y > 15)~0,181.
0,6 P(X > 16) +0,4 P (Y > 16)~0,124.
0,6 P(X > 17) +0,4 P (Y > 17)~0,083.
N = 16.

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Exercice 2. 6 points.
On donne ci-dessous la repr�sentation graphique Cg dans un rep�re orthogonal d’une fonction g d�finie et continue sur R. La courbe Cg est sym�trique par rapport � l’axe des ordonn�es et se situe dans le demi-plan y > 0.

Partie A.
Les justifications des r�ponses aux questions suivantes pourront s’appuyer sur des consid�rations
graphiques.
1. La fonction G est-elle croissante sur [0 ; +∞[ ? Justifier.
g(x) est positive ou nulle pour tout x r�el.
g(x) est la d�riv�e de la fonction G.
G est strictement croissante sur [0 ; +oo[.
2. Justifier graphiquement l’in�galit� G(1) < 0,9.
G(1) est repr�sent�e par la partie hachur�e soit environ 7 carreaux ou 7 x0,5 x0,2 =0,7.
3. La fonction G est-elle positive sur R ? Justifier.
G est strictement croissante sur [0 ; +oo[ et G(0) =0 ; donc G(t) > pour tout r�el positif.

G(-t) est n�gative ; G n'est pas positive sur R.

Dans la suite du probl�me, la fonction g est d�finie sur R par g (u) = exp(−u2) .
Partie B.
1. �tude de g
a. D�terminer les limites de la fonction g aux bornes de son ensemble de d�finition.
u2 est positif ; -u2 est n�gatif.
Lorsque u tend vers �-oo, -u2 tend vers moins l'infini et le terme en exponentielle tend vers z�ro.
b. Calculer la fonction d�riv�e de g et en d�duire le tableau de variations de g sur R.
g'(u)= -2u exp(−u2).
exp(−u2) �tant toujours positif, le signe de g'(u) est celui de -u.

c. Pr�ciser le maximum de g sur R. En d�duire que g (1) <1.
Le maximum de la fonction g est �gal � 1 en z�ro.
Donc g(u) < 1 pour tout r�el u.
2. On note E l’ensemble des points M situ�s entre la courbe Cg , l’axe des abscisses et les droites d’�quation x = 0 et x = 1. On appelle I l’aire de cet ensemble.
On souhaite estimer l’aire I par lam�thode dite � deMonte-Carlo � d�crite ci-dessous.
- On choisit un point M(x ; y) en tirant au hasard de fa�on ind�pendante ses coordonn�es x et y selon la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 1]. On admet que la probabilit� que le point
M appartienne � l’ensemble E est �gale � I .
- On r�p�te n fois l’exp�rience du choix d’un point M au hasard. On compte le nombre c de points appartenant � l’ensemble E parmi les n points obtenus.
-La fr�quence f = c / n est une estimation de la valeur de I .
a. La figure ci-dessous illustre la m�thode pr�sent�e pour n = 100. D�terminer la valeur de f correspondant � ce graphique.


24 points en dehors soit c =76 ; f = 76 / 100 =0,76.
b. L’ex�cution de l’algorithme ci-dessous utilise la m�thode de Monte-Carlo d�crite pr�c�demment pour d�terminer une valeur du nombre f .
Recopier et compl�ter cet algorithme.
f , x et y sont des nombres r�els, n, c et i sont des entiers naturels.
ALEA est une fonction qui g�n�re al�atoirement un nombre compris entre 0 et 1.
c ←0
Pour i variant de 1 � n faire :
x ←ALEA
y ←ALEA
Si y < exp(-x2) alors
c ←c+1
fin Si
fin Pour
f ← c / n
c. Une ex�cution de l’algorithme pour n = 1000 donne f = 0,757.
En d�duire un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, de la valeur exacte de I.
(1 /1000)� =0,0316.
[0,757-0,0316 ; 0,757+0,0316] soit [0,725 ; 0,789 ]

Partie C.
On se propose de d�terminer une majoration de G(t ) pour t >1.
1. Un r�sultat pr�liminaire.
On admet que, pour tout r�el u >1, on a g (u) < 1 / u2 .
En d�duire que, pour tout r�el t >1, on a :
2. Montrer que, pour tout r�el t >1, G(t ) < 2−1 / t..

Que peut-on dire de la limite �ventuelle de G(t ) lorsque t tend vers +∞?
1 / t tend vers z�ro et G(t) tend vers 2.


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 Exercice 3. 5 points.
Pr�ciser si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse en justifiant votre r�ponse.
1. Soit m un nombre r�el et soit l’�quation (E) : 2z2 +(m−5)z +m = 0.
a. Affirmation 1 :
� Pour m = 4, l’�quation (E) admet deux solutions r�elles. � Faux.
2z2 -z +4 = 0. Discriminant  : (-1)2-4 x4x2 = -31 < 0, donc deux solutions complexes.
b. Affirmation 2 : vrai.
� Il n’existe qu’une seule valeur de m telle que (E) admette deux solutions complexes qui soient des imaginaires purs. �
Discriminant : (m-5)2 -8m =m2 +25 -18m < 0 .
(m2 +25 -18m) i2 >0
Solutions : [ 5-m � i(m2 +25 -18m)�] / 4.
Solutions imaginaires purs : 5-m = 0 ; m = 5.
2. Dans le plan complexe, on consid�re l’ensemble S des points M d’affixe z v�rifiant :
|z −6| = |z +5i|.
Affirmation 3 :
� L’ensemble S est un cercle. � Faux.
On appelle A le point d'affixe 6 et B le point d'affixe -5i.
|z −6| = |z - (-5i)| est �quivalent � AM = BM.
M appartient � la m�diatrice su segment (AB].
 3. On munit l’espace d’un rep�re orthonorm�. On note d la droite dont une repr�sentation param�trique est :
d : x = −1+t ; y = 2−t ; z = 3+t avec t r�el.
On note d′ la droite passant par le point B(4 ; 4 ;−6) et de vecteur directeur ayant pour coordonn�es (5 ; 2 ; −9).
Affirmation 4 :
� Les droites d et d′ sont coplanaires. � vrai.
Les droites ne sont pas parall�les, car leurs vecteurs directeurs ne sont pas colin�aires.
Repr�sentation param�trique de la droite d' : x =5k+4 ; y = 2k +4 ; z = -9k -6 avec k r�el.
Dans l'hypoth�se o� les droites sont s�cantes, les coordonn�es du point d'intersection sont :
-1+t = 5 k+4 ; t = 5k+5.
2-t = 2k+4 ; 2-5k-5 = 2k+4 ; 7k = -7 ; k = -1 et t =0.
-9 k-6 = 3 et 3+t = 3.
L'hypoth�se de d�part est donc vraie.
4. On consid�re le cube ABCDEFGH repr�sent� ci-dessous.
Affirmation 5 : vrai.
� Le vecteur repr�sent� en rouge est un vecteur normal au plan (ABG). �

Equation du plan ABG : ax+by+cz+d=0.
B appartient � ce plan : d =0.
A appartient � ce plan : b = 0.
G appartient � ce plan : a +c = 0 ; c = -a.
ax -cz =0.
Coordonn�es d'un vecteur normal � ce plan ( 1 ; 0 ; -1). Ce vecteur est colin�aire au vecteur de coordonn�es (-1 ; 0 ; 1).
 

Exercice 4. 5 points
Soit f la fonction d�finie sur l’intervalle [0; 4] par f (x) =(2+3x) / (4+x).
Partie A
On consid�re la suite (un) d�finie par : u0 = 3 et pour tout entier naturel n, un+1 = f (un) .
On admet que cette suite est bien d�finie.
1. Calculer u1.
u1 = f(u0) = f(3) =11 / 7.
2. Montrer que la fonction f est croissante sur l’intervalle [0; 4].
On calcule la d�riv�e de f(x) en posant u = 2+3x et v = 4+x ; u' = 3 ; v' = 1.
f '(x) = [3(4+x) -(2+3x)] / (4+x)2 = 10 / (4+x)2 .
La d�riv�e �tant positive, f(x) est croissante.
 3. Montrer que pour tout entier naturel n,
1 < un+1 < un < 3.
Initialisation : 1 < u1 < u0 < 3 ; 1 < 11 / 7 < 3 < 3 est vraie.
H�r�dit� : la propri�t� est suppos�e vraie au rang n.
 1 < un+1 < un < 3.
f est croissante sur [0 ; 4 ] : f(1) < f (un+1) < f(un) < f(3).
Soit 1 < un+2 < un+1 < 11 / 7 < 3.
La propri�t� est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire ; elle est vraie pour tout n.

4. a. Montrer que la suite (un) est convergente.
un+1 < un  : la suite est d�croissante ; de plus elle est minor�e, donc elle converge.
b. On appelle ℓ la limite de la suite (un) ; montrer l’�galit� :
ℓ =(2+3ℓ ) /(4+ℓ).
� la limite un =un+1 ; un = l ; un+1 = f(un) = f( ℓ) =(2+3ℓ ) /(4+ℓ).
c. D�terminer la valeur de la limite ℓ.
4 l +l2 = 2+3l ; l2 + l- 2 =0 ; discriminant : 12 +4x2 = 9 ; solution retenue l =(-1+3) / 2 =1.
Partie B.
On consid�re la suite (vn) d�finie par :
v0 = 0,1 et pour tout entier naturel n, vn+1 = f (vn) .
1. On donne la courbe repr�sentative, Cf , de la fonction f et la droite D d’�quation y = x.
Placer sur l’axe des abscisses par construction g�om�trique les termes v1, v2 et v3.
Quelle conjecture peut-on formuler sur le sens de variation et le comportement de la suite (vn) quand n tend vers l’infini ?
v1 = f(v0) = f(0,1) =(2+0,3) / (4+0,1) =2,3 / 4,1 = 23 /41~0,561
v2 = f(v1) = f(23 / 41) =(2+69 /41) / (4+23 /41) =(82+69) / 187 = 151 / 187~0,807.
v3 = f(v2) ~ f(0,807) =2,42 / 4,807 =0,920.
La suite est croissante et  tend vers 1 quand n tend vers plus l'infini.


2. a. Montrer que pour tout entier naturel n,
1−vn+1 =  2(1−vn) /(4+vn).
1−vn+1 =1-f(vn) =1-(2+3vn) /(4+vn) =(4+vn-2-3vn) /(4+vn) =2(1−vn) /(4+vn).
b. Montrer par r�currence que pour tout entier naturel n,
0 < 1−vn < 0,5n.
Initialisation : la relation est vraie au rang z�ro. ( 0,9 < 0,50 ; 0,9 < 1 )
H�r�dit� : la relation est suppos�e vraie au rang n. 0 < 1−vn < 0,5n.
1- vn+1 = 1- f(vn) =1- (2+3vn) /(4+vn)=2(1−vn) /(4+vn).
0 < 1−vn <  0,5n ; vn > 1-0,5n > 0
4 +vn  > 4 ; 1 /(4 +vn ) < 0,25.
2(1−vn) / (4+vn) <  2 x 0,25 x0,5n ;
2(1−vn) / (4+vn) < 0,5n+1.
1- vn+1 < 0,5n+1. La propri�t� est vraie au rang n+1.
Conclusion : la proposition est vraie au rang z�ro et h�r�ditaire, donc elle est vraie pour tout n..
3. La suite (vn) converge-t-elle ? Si oui, pr�ciser sa limite.
0 < 1−vn < 0,5n ; 0 > vn -1 > 0,5n ; 1 > vn > 1+0,5n ;
Quand n tend vers plus l'infini, 0,5n tend vers z�ro. vn tend vers 1.


  

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