Math�matiques,
bac S Nlle Cal�donie 03 / 2019.
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Exercice 1. ( 5 points)
Partie A.
Une soci�t� de location de voitures s’int�resse � l’�tat m�canique de
son parc automobile afin d’anticiper les frais d’entretien.
On dispose des donn�es suivantes :
• 20% des voitures sont sous garantie;
• pour 1% des voitures sous garantie, une r�paration est n�cessaire;
• pour 10% de celles qui ne sont plus sous garantie, une r�paration est n�cessaire.
On choisit une voiture au hasard dans le parc et on consid�re les �v�nements suivants :
• G : � la voiture est sous garantie � ;
• R : � une r�paration est n�cessaire �.
1. a. Traduire la situation par un arbre pond�r�.
b. Calculer la probabilit� que la voiture choisie soit sous garantie et n�cessite une r�paration.
c. Justifier que P(R) = 0,082.
d. Il s’av�re que la voiture choisie n�cessite une r�paration.
Quelle est la probabilit� qu’elle soit sous garantie ? On arrondira le r�sultat � 10−3.
2. La soci�t� de location fait appel � un garage pour l’entretien de son parc automobile.
L’entretien consiste en une r�vision � laquelle s’ajoutent
d’�ventuelles r�parations. Les conditions commerciales du garage sont
les suivantes :
• si la voiture est encore sous garantie, l’entretien est gratuit ;
• si la voiture n’est plus sous garantie, l’entretien est factur� de la
mani�re suivante : la r�vision co�te 100 € et, si une r�paration est
n�cessaire, il faut rajouter 400 €.
Sachant que son parc automobile compte 2 500 voitures, est-il
raisonnable pour la soci�t� de location de pr�voir un budget annuel de
250 000 euros pour l’entretien de l’ensemble des voitures ?
On pourra introduire la variable al�atoire X qui repr�sente le co�t d’entretien d’une voiture.
Nombre de voitures qui ne sont plus sous garantie : 0,8 x2500 =2000.
Co�t de l'entretien : 2000 x 100 = 200 000 €.
Nombre de voitures � r�parer : 500 x0,01 + 2000 x0,10 =205.
Co�t des r�parations : 205 x400 =82 000 €.
Total : 282 000 €, le budget est insuffisant.
Partie B.
La soci�t� de location propose � ses clients deux contrats de location
: un contrat de courte dur�e (inf�rieure � 2 jours) et un contrat de
longue dur�e (de 3 � 7 jours). La directrice de cette soci�t� affirme
que 80% des clients demandent un contrat de courte dur�e.
Sur les 600 derniers contrats sign�s l’ann�e pr�c�dente, 550 �taient des contrats de courte dur�e.
1. En supposant que
l’affirmation de la directrice est correcte, d�terminer un intervalle
de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fr�quence des
contrats de courte dur�e.
2. Que peut-on penser de l’affirmation de la directrice ?
1,96 [p(1-p) / n ]� =1,96 (0,8 x0,2 / 600)� =0,032.
Intervalle de fluctuation asymptotique [ 0,8-0,032 ; 0,8 +0,032 ] soit [0,768 ; 0,832 ].
550 / 600 = 0,917.
0,917 est en dehors de cet intervalle. Au risque de 5 %, l'affirmation
de la directrice est fausse. 91 % des clients demandent un contrat de
courte dur�e.
Partie C.
On mod�lise le nombre de kilom�tres parcourus par les clients louant
une voiture pour une semaine par une variable al�atoire Y suivant la
loi normale d’esp�rance μ = 450 et d’�cart-type σ = 100.
1. Quelle est la probabilit� que le client louant la voiture pour une semaine roule entre 500 km et 600 km?
On arrondira le r�sultat � 10−3.
P( Y < 500) =0,69146 ; P( Y < 600) =0,93319 ;
P ( 500 < Y < 600) =0,93319-0,69146 ~0,242.
2.
La soci�t� de location souhaite faire une offre promotionnelle aux 15%
de ses clients parcourant le moins de kilom�tres en une semaine.
En-dessous de quel kilom�trage hebdomadaire, arrondi � l’unit�, un
client sera-t-il concern� par cette offre ?
P(Y < 347) ~0,149.
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Exercice 2. 6 points.
Partie A : �tude d’une fonction auxiliaire
Soit g la fonction d�finie sur R par
g (x) = (x +2)ex−4 −2.
1. D�terminer la limite de g en +∞.
Quand x tend vers plus l'infini :
x+2 tend vers plus l'infini ; ex-4 tend vers plus l'infini.
Par produit des limites, g(x) tend vers plus l'infini.
2. D�montrer que la limite de g en −∞vaut −2.
Quand x tend vers moins l'infini :
x+2 tend vers moins l'infini ; ex-4 tend vers z�ro.
Par produit des limites, (x +2)ex−4 tend vers z�ro et g(x) tend vers -2.
3. On admet que la fonction g est d�rivable sur R et on note g ′ sa d�riv�e.
Calculer g ′(x) pour tout r�el x puis dresser le tableau de variations de g .
On pose u = x+2 ; v = ex-4 ; u' = 1 ; v' = ex-4.
u'v + v'u = ex-4 +(x+2)ex-4 = ex-4(x+3).
4. D�montrer que l’�quation g (x) = 0 admet une unique solution α sur R.
Sur ]-oo ; -3[, g(x) est strictement d�croissante de -2 � -e-7-2 ; pas de solution sur cet intervalle.
sur ]-3 ; +oo[, g(x) est continue ( car d�rivable) et strictement croissante de e-7-2 � +oo.
g(x) = 0 admet une solution unique sur R.
5. En d�duire le signe de la fonction g sur R.
Sur ]-oo ; 3,070[ g(x) est strictement n�gative ; g(3,070) = 0 ; sur ]3,070 ; +oo(, g(x) est strictement positive.
6. � l’aide de la calculatrice, donner un encadrement d’amplitude 10−3 de α.
Partie B : �tude de la fonction f
Soit f la fonction d�finie sur R par f (x) = x2 −x2ex−4.
1. R�soudre l’�quation f (x) = 0 sur R.
x2(1-ex-4) = 0 ; x= 0 et ex-4 = 1 ; x-4 = 0 soit x = 4.
2. On admet que la fonction f est d�rivable sur R et on note f ′ sa fonction d�riv�e.
On admet par ailleurs que, pour tout r�el x, f ′(x) = −xg (x) o� la fonction g est celle d�finie � la partie A.
�tudier les variations de la fonction f sur R.
3. D�montrer que le maximum de la fonction f sur [0 ; +∞[ est �gal � α3/(α+2).
g(a) = 0 = (a+2)ea-4-2 = 0 ; ea-4= 2 /(a+2).
f(a) =a2(1-ea-4)=a2(1-2 /(a+2))=α3/(α+2).
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Partie C : Aire d’un domaine
Dans un rep�re orthonorm�, on noteD le domaine compris entre la courbe repr�sentative Cf de la fonction f , la parabole P d’�quation y = x2 et les droites d’�quations x = 0 et x = 4.
1. D�terminer la position relative des courbes Cf et P .
f(x)-y = -x2ex-4 < 0.
La parabole est au dessus de la courbe Cf.
2. On admet qu’une primitive de la fonction f sur R est d�finie par :
F(x) =x3 /3 −(x2 −2x +2)ex−4.
Calculer l’aire du domaine D en unit� d’aire. On donnera la valeur exacte.
Aire comprise entre P, l'axe des x et les droites d'�quation x=0 et x = 4.
A1= [x3 / 3]04 =43 /3 -0=43 /3.
Aire comprise entre Cf, l'axe des x et les droites d'�quation x=0 et x = 4.
A2=F(4) - F(0)=43 /3 -(42-8+2) -(-2e-4)=43 /3 -10 +2e-4.
A = A1-A2 = 10 -2e-4.
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Exercice 3. 4 points
Commun � tous les candidats
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la r�ponse choisie.
Pour les questions 1 � 3, on se place dans un plan muni du rep�re orthonorm� direct.
1. Soit (E) l’�quation d’inconnue le nombre complexe z
z (z2 −8z +32) = 0.
Affirmation 1
: Les points dont les affixes sont les solutions de l’�quation (E) sont
les sommets d’un triangle d’aire �gale � 16 unit�s d’aire. Vrai.
Solutions de (E) : z =0 ( origine) ;
et z2 −8z +32 = 0 ; discriminant D = (-8)2 -4 x32 = -64 = 64 i2 ;
Solutions : (8 +8 i) / 2 = 4 +4i ( affixe du point A) et 4-4i( affixe
du point B, sym�trique de A par rapport � l'axe des r�els).
2. Soit E l’ensemble des points dont les affixes z v�rifient |z −3| = |z +3|.
Affirmation 2 : L’ensemble E est le cercle de centre O et de rayon 3. Faux.
Point M d'affixe M ; point A d'affixe 3 ; point B d'affixe -3
|z −3| = |z +3| est �quivalent � |zM-zA| = |zM-zB | soit AM = BM.
M appartient � la m�diatrice du segment (AB].
3. On consid�re la suite de nombres complexes (zn) d�finie pour tout entier naturel n par : zn = (1-i 3�)n.
Pour tout entier naturel n, on note Mn le point d’affixe zn.
Affirmation 3 : Pour tout entier naturel n, les points Mn O et Mn+3 sont align�s. Vrai.
|z1|=(1 +3)� = 2 ; z1/ |z1| =0,5 -0,5 i 3� = exp(-ip/3).
z1 = 2 exp(-ip/3) ; zn = 2nexp(-i n p/3). zn+3 = 2n+3exp(-i (n p/3 + p)).
4. On consid�re l’�quation d’inconnue le nombre r�el x : sin(x) (2cos2(x)−1) = 0.
Affirmation 4 : Cette �quation admet exactement quatre solutions sur l’intervalle ]−π ; π] qui sont : −π/4 ; 0; π/4 et π. Faux.
sin (x) = 0 ; x =0 ; x = p.
cos2(x)= 0,5 ; cos (x) = 2 / 2� ; x = � p / 4 ; cos (x) = -2 / 2� ; x = �3 p / 4.
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Exercice 4. 5 points.
On consid�re la suite (un) � valeurs r�elles d�finie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n,
un+1 =un/ (un +8)
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Partie A : Conjectures
Les premi�res valeurs de la suite (un) ont �t� calcul�es � l’aide d’un tableur dont voici une capture d’�cran :
1. Quelle formule
peut-on entrer dans la cellule B3 et copier vers le bas pour obtenir
les valeurs des premiers termes de la suite (un) ?
=B2/(B2+8)
2. Quelle conjecture peut-on faire sur les variations de la suite (un) ?
La suite est d�croissante.
3. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite (un) ?
La suite tend vers z�ro.
4. �crire un algorithme calculant u30.
Variable n entier, x r�el.
x = 1
Pour n =1 � 30 faire :
x = x/(x+8).
Fin Pour
Afficher x.
Partie B. Etude g�n�rale.
1. D�montrer par r�currence que, pour tout entier naturel n, un > 0.
Initialisation : u0 = 1, la proposition est vraie au rang z�ro.
H�r�dit� : on supose un >0.
un+1 = un / (un+8 ) est donc positif.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang z�ro et h�r�ditaire. Elle est vrai pour tout n.
2. �tudier les variations de la suite (un).
un+1-un = un / (un+8 ) -un =( - u2n -7 un)/ (un+8 ) est n�gatif.
un+1< un , la suite est d�croissante.
Quand n tend vers l'infini, un tend vers z�ro.
3. La suite (un) est-elle convergente ? Justifier.
La suite est d�croissante et minor�e, donc elle converge.
Partie C : Recherche d’une expression du terme g�n�ral
On d�finit la suite (vn) en posant, pour tout entier naturel n,
vn = 1+7 / un.
1. D�montrer que la suite (vn) est une suite g�om�trique de raison 8 dont on d�terminera le premier terme.
vn+1 =1 + 7 / un+1 = 1 + 7 (8+un) / un = 8+56/un =8(1+7/un)=8 vn.
(vn) est une suite g�om�trique de raison 8 et de premier terme v0 = 8.
2. Justifier que, pour tout entier naturel n, un =7 /(8n+1 −1).
vn = 8n+1 ; un =7 /(vn-1) = 7 /(8n+1 −1).
3. D�terminer la limite de la suite (un).
Quand n tend vers plus l'infini : 8 n+1 tend vers plus l'infini ; 8n+1 −1 tend vers plus l'infini et 7 / (8n+1 −1) tend vers z�ro.
4. On cherche dans cette question le plus petit entier naturel n0 tel que, pour tout entier naturel n sup�rieur ou �gal � n0, un < 10−18.
Justifier l’existence d’un tel entier n0 et d�terminer sa valeur.
7 /(8n+1 −1) < 10−18 ; 7 1018 < 8n+1-1 ; 7 1018 +1< 8n+1.
log( 7 1018 +1) < (n+1) log (8) ; n+1 > log( 7 1018 +1) / log(8) ;
n0 > log( 7 1018 +1) / log(8) -1 ; n0 > 20.
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