Math�matiques, bac S Polyn�sie 2019.

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Exercice 1 : Commun à tous les candidats (5 points).
Les probabilit�s seront arrondies � 0,01.
Un commer�ant vient de s'�quiper d'un distributeur de glace.1.
La dur�e, en mois, de fonctionnement sans panne de son distributeur de glaces � l’italienne est mod�lis�e par une variable al�atoire X qui suit une loi exponentielle de param�tre l� o� l � est un r�el strictement positif (on rappelle que la fonction f de densit� de la loi exponentielle est donn�e sur [0 ; +∞[ par f (x) = le−lx.
Le vendeur de l’appareil assure que la dur�e moyenne de fonctionnement sans panne de ce type de distributeur, c’est-�-dire l’esp�rance math�matique de X, est de 10 mois.
a. Justifier que l= 0,1.
l = 1 / E = 1 /10 = 0,1 mois-1.
b. Calculer la probabilit� que le distributeur de glaces � l’italienne n’ait connu aucune panne pendant les six premiers mois.
P(X > 6) = e-0,6=0,55.
c. Sachant que le distributeur n’a connu aucune panne pendant les six premiers mois, quelle est la probabilit� qu’il n’en connaisse aucune jusqu’� la fmde la premi�re ann�e ? Justifier.
La loi exponentielle est sans m�moire.
PX >6(X >12) =P(X >6) = 0,55.
d. Le commer�ant remplacera son distributeur de glaces � l’italienne au bout d’un temps t , exprim� en mois, qui v�rifie que la probabilit� de l’�v�nement (X > t ) est �gale � 0,05. D�terminer la valeur de t arrondie � l’entier.
P(X > t) = 0,05 =e-lt  ; -lt = ln (0,05) ; t = - ln(0,05 ) 0,1 =29,96.
t ~ 30 mois.
2. La notice du distributeur de glaces pr�cise que le distributeur fournit des glaces � l’italienne dont la masse est comprise entre 55 g et 65 g. On consid�re la variable al�atoire M repr�sentant la masse, en grammes, d’une glace distribu�e.
On admet que M suit la loi normale d’esp�rance 60 et d’�cart-type 2,5.
a. Calculer la probabilit� que la masse d’une glace � l’italienne choisie au hasard parmi celles distribu�es soit comprise entre 55 g et 65 g.
P(X < 55) =0,02275 ; P(X < 65) =0,9773 :
P( 55 < X < 65) = 0,9773 -0,02275 ~0,95.
b. D�terminer la plus grande valeur de m, arrondie au gramme pr�s, telle que la probabilit� P(M > m) soit sup�rieure ou �gale � 0,99.
P(M > 54) = 0,9918 ; P(M > 55) = 0,9772 ; m = 54.
3. Le distributeur de glaces � l’italienne permet de choisir un seul des deux parfums : vanille ou fraise. Pour mieux g�rer ses achats de mati�res premi�res, le commer�ant fait l’hypoth�se qu’il y aura en proportion deux acheteurs de glace � la vanille pour un acheteur de glace � la fraise.
Le premier jour d’utilisation de son distributeur, il constate que sur 120 consommateurs, 65 ont choisi de la glace � la vanille.
Pour quelle raison math�matique pourrait-il mettre en doute son hypoth�se ? Justifier.
n = 120 ; p = 2 / 3 ;
n > 30 ;  np = 120 x 2 /3 = 80 > 5 ; n(1-p) = 120 / 3 = 40 > 5.
Les conditions sont r�unies pour d�finir un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.
1,96 (p(1-p) / n)� =1,96 (2 / (9 x120))� =0,0843.
Intervalle de fluctuation :[0,667 -0,0843 ; 0,667 +0,0843] soit : [0,58 ; 0,76 ].
La fr�quence observ�e est �gale �  65 / 120 = 0,54. Elle n'appartient pas � cet intervalle.
Au risque d'erreur de 5 %, l'hypoth�se du commer�ant est fausse.



Exercice 2 : Commun à tous les candidats (5 points)
L’�coulement de l’eau d’un robinet a un d�bit constant et mod�r�.
On s’int�resse en particulier � une partie du profil d’�coulement repr�sent�e en annexe 1 par la courbe C dans un rep�re orthonorm�.
Partie A.
On consid�re que la courbe C donn�e en annexe 1 est la repr�sentation graphique d’une fonction f d�rivable sur l’intervalle ]0; 1] qui respecte les trois conditions suivantes :
(H) : f (1) = 0 ;  f ′(1) = 0,25 et la limite en O+ de f(x) est �gale � moins l'infini.
1. La fonction f peut-elle �tre une fonction polyn�me du second degr� ? Pourquoi ?
f(x) = ax2 +bx +c ; a, b, c r�els et a diff�rents de z�ro.
La limite de f en 0+ est �gale � c et non pas � moins l'infini.
2. Soit g la fonction d�finie sur l’intervalle ]0; 1] par g (x) = k lnx.
a. D�terminer le r�el k pour que la fonction g respecte les trois conditions (H).
g(1) = k ln(1) =0 ; la premi�re condition est v�rifi�e.
g'(x) = k /x ; g'(1) = k = 0,25.
g(x) = 0,25 ln(x).
La limite en O+ de ln(x) est �gale � moins l'infini : condition 3 respect�e.
b. La courbe repr�sentative de la fonction g co�ncide-t-elle avec la courbe C ? Pourquoi ?
g(0,5) = 0,25 ln (0,5) ~0,173 ;
f(0,5) ~ -0,7  ( lecture courbe).
Les courbes ne co�ncident pas.

3. Soit h la fonction d�finie sur l’intervalle ]0; 1] par h(x) = a /x4 +bx o� a et b sont des r�els.
D�terminer a et b pour que la fonction h respecte les trois conditions (H).
h(1) = a +b = 0 ; a = -b.
h'(x) = -4a / x5 +b ; h'(1) = 0,25 =-4a +b ; 5b = 0,25 ; b = 1 /20 =0,05 ; a  = -0,05.
h(x) = 0,05( -1 /x4 +x).

Partie B.
On admet dans cette partie que la courbe C est la repr�sentation graphique d’une fonction f continue, strictement croissante, d�finie et d�rivable sur l’intervalle ]0; 1] d’expression :
f (x) = 0,05 (x-1 /x4).
1. Justifier que l’�quation f (x) = −5 admet sur l’intervalle ]0; 1] une unique solution qui seranot�e a. D�terminer une valeur approch�e de a � 10−2 pr�s.
f '(x) = 0,05 (1+4 /x5) est positive sur ]0; 1]  ; f(x) estcontinue et strictement croissante sur cet intervalle.
De plus f(1) = 0 et la limite de f(x) en 0+ est moins l'infini.
D'apr�s le corollaire du th�or�me des valeurs interm�diaires, f(x) =-5 admet une solution unique sur ]0; 1].
f(-0,31) = -5,399 ; f(-0,32) = -4,752 ; a ~0,31.
 2. On admet que le volume d’eau en cm3, contenu dans les 5 premiers centim�tres de l’�coulement, est donn� par la formule :

a. Soit u la fonction d�rivable sur ]0; 1] d�finie par u(x) =1/(2x2). D�terminer sa fonction d�riv�e.
u'(x) = -1 / x3.
b. D�terminer la valeur exacte de V . En utilisant la valeur approch�e de a obtenue � la question 1, donner alors une valeur approch�e de V .



Exercice 3 : Commun � tous les candidats (5 points)
On consid�re la suite (In) d�finie par
1. Montrer que I0 = ln(2).
Une primitive de 1 / (1-x) est -ln(1-x) ; I0 =- [ln(1-0,5) -ln(1)] = -ln(0,5) = ln(2).
2. a. Calculer I0 −I1.

b. En d�duire I1.
I1 =ln(2)- 0,5.
3. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, In −In+1 =0,5n+1 / (n+1).
.
b. Proposer un algorithme permettant de d�terminer, pour un entier naturel n donn�, la valeur de In.
Variables
 I, r�el ; a, n entier
I = ln(2)
Pour a allant de 1 � n
I =I-  0,5a / a
Fin pour.
4. Soit n un entier naturel non nul.
On admet que si x appartient � l’intervalle [0 ; 0,5] alors 0 < xn / (1-x) < 1 / 2n-1.
a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, 0 < In < 1 / 2n.

b. En d�duire la limite de la suite (In) lorsque n tend vers +∞.
1 / 2n tend vers z�ro si n tend vers plus l'infini.
D'apr�s le th�or�me d'encadrement, In tend vers z�ro si n tend vers plus l'infini.
5. Pour tout entier naturel n non nul, on pose
Sn =0,5 +0,52 /2 +0,53 / 3 +.... +0,5n / n.
a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, Sn = I0 - In.
Sn = 0,5 +0,52 /2 +0,53 / 3 +.... +0,5n / n.
I0 −I1 =0,5 ; I1 −I2 =0,52 / 3 ;  I2 −I3 =0,53 / 4 ; In-1 −In =0,5n / n.
Sn =I0 −I1 + I1 −I2 +I2 −I3 +..... + In-1 −In =I0 - In.
b. D�terminer la limite de Sn lorsque n tend vers +oo.
In tend vers z�ro si n tend vers plus l'infini.
Sn tend vers I0 = ln(2) si n tend vers plus l'infini.


Exercice 4 5 points
Pour les candidats n’ayant pas suivi la sp�cialit�
Sur la figure donn�e en annexe 2 � rendre avec la copie :
• ABCDEFGH est un parall�l�pip�de rectangle tel que AB = 12, AD = 18 et AE = 6
• EBDG est un t�tra�dre..
L’espace est rapport� � un rep�re orthonormal d’origine A dans lequel les points B, D et E ont pour coordonn�es respectives B(12; 0; 0), D(0; 18; 0) et E(0; 0; 6).

1. D�montrer que le plan (EBD) a pour �quation cart�sienne 3x +2y +6z −36 = 0.
Equation cart�sienne d'un plan : ax +by +cz +d=0.
E (0 ; 0 ; 6) appartient � ce plan : 6c +d = 0 ; c = -d /6.
B (12 ; 0 ; 0) appartient � ce plan : 12a +d = 0 ; a = -d / 12
D (0 ; 18 ; 0) appartient � ce plan : 18b +d = 0 ; b = -d /18.
-d x /12 -d y /18 -d z /6 +d =0 ;
en multipliant par -36 et en simplifiant par d : 3x+2y+6z -36 =0.
 2. a. D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite (AG).

b. En d�duire que la droite (AG) coupe le plan (EBD) en un point K de coordonn�es (4; 6; 2) .
K appartient � la droite : 4 = 2t ; t = 2 ; y = 6 ; z = 2.
Si K appartient au plan, les coordonn�es de K v�rifient l'�quation cart�sienne du plan (EBD).
3 x4 +2 x6 +6 x2 -36 = 0 est v�rifi�. Donc K appartient � ce plan.
3. La droite (AG) est-elle orthogonale au plan (EBD) ? Justifier.
Coordonn�es d'un vecteur perpendiculaire au plan (EBD): ( 3 ; 2 ; 6)
Coordonn�es du vecteur directeur de la droite (AG) : (2 ; 3 ; 1 )
Ces deux vecteurs n'�tant pas colin�aires, la droite (AG) n'est pas parpendiculaire au plan( EBD).
4. a. Soit M le milieu du segment [ED]. D�montrer que les points B, K et M sont align�s.
M((xE +xD) / 2 ; (yE +yD) / 2 ; (zE +zD) / 2 ;) soit M(0 ; 9 ; 3).

 b. Construire alors le point K sur la figure donn�e en annexe 2 � rendre avec la copie.

  On note P le plan parall�le au plan (ADE) passant par le point K.
a. D�montrer que le plan P coupe le plan (EBD) selon une parall�le � la droite (ED).
b. Construire alors sur l’annexe 2 � rendre avec la copie l’intersection du plan P et de la face EBD du t�tra�dre EBDG.
Les plans (AED) et (EBD) se coupent suivant la droite (ED).
Le plan P est parall�le au plan (AED) et de plus il passe par le point K.
Par suite K appartient aux plans P et (EBD).Les plans P et (EBD) se coupent selon une droite parall�le � (ED).


  

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