Mission Roseta, bac S Polyn�sie 2019

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 En 2004, la sonde europ�enne ROSETTA a quitt� la Terre pour un voyage long de 10 ans. Sa destination �tait la com�te 67P Churyumov-Gerasimenko, dont elle s’est approch�e au cours de l’ann�e 2014. Une fois � proximit� de cette derni�re, ROSETTA a �t� mise en orbite autour de la com�te et a entam� ses observations en juillet 2014. En novembre 2014, la sonde a largu� PHILAE, un atterrisseur qui est venu se poser � la surface de la com�te. La mission de PHILAE consiste � analyser la com�te sous tous ses aspects : composition du sol, propri�t�s physiques, niveau d’activit�…
Objectif : mieux comprendre comment notre syst�me solaire s'est form�.
Source : CNES (Centre National d’�tudes Spatiales).
Donn�es :
- Constante de gravitation universelle G = 6,67 � 10-11 N.m2.kg-2 ;
- Masse de la com�te 67P : MC = 1,0�1013 kg ;
- Masse du syst�me (ROSETTA + PHILAE) : M = 3,0 �103 kg ;
- Masse de l’atterrisseur PHILAE : MP = 1,0 �102 kg ;
- Distance moyenne Terre-Soleil : 1 unit� astronomique = 1 ua = 1,50 �108 km ;
- Dans cet exercice, la com�te 67P est mod�lis�e par une sph�re de rayon R �gal � 2,0 km.
1. Com�te 67P Churyumov-Gerasimenko :
La com�te 67P Churyumov-Gerasimenko a �t� d�couverte en septembre 1969. Elle tourne sur une orbite elliptique dont le Soleil occupe l’un des foyers. La valeur de la vitesse de la com�te est variable sur son orbite elliptique ; elle varie entre 5 et 35 km.s-1 environ dans le r�f�rentiel h�liocentrique.
Trajectoire autour du Soleil : � Ellipse
� Distance au plus pr�s du Soleil (p�rih�lie) : 1,24 ua
� Distance au plus loin du Soleil (aph�lie) : 5,68 ua
Grand axe de l’ellipse : distance entre le p�rih�lie et l’aph�lie.
1.1. Repr�senter la trajectoire de la com�te autour du Soleil en pr�cisant les positions du Soleil, de l’aph�lie et du p�rih�lie.
 D'apr�s la premi�re loi de Kepler, le Soleil est l'un des foyers de l'ellipse.

1.2. Expliquer, en utilisant une des lois de Kepler, pourquoi la vitesse de la com�te n’est pas constante sur sa trajectoire. On compl�tera le sch�ma pr�c�dent pour expliciter la loi utilis�e.
Pr�ciser, sur ce m�me sch�ma, la position de la com�te pour laquelle la valeur de sa vitesse est la plus grande. Justifier.
 L'aire balay�e par le segment [SM] entre deux positions C et D est �gale � l'aire balay�e par ce segment entre deux positions E et F si la dur�e s�parant les positions C et D est �gale � la dur�e  s�parant les positions E et F.

CD et EF sont parcourus pendant la m�me dur�e. CD est sup�rieur � EF ;  La vitesse est donc plus grande en B qu'en A.
1.3. Pour tous les objets en orbite autour du Soleil, le rapport entre le carr� de la p�riode de r�volution T et le cube du demi-grand axe a de l’orbite est constant :
T2 / a3 = k, grandeur constante (troisi�me loi de Kepler).
En d�duire la valeur de la p�riode de r�volution de la com�te autour du Soleil en ann�es.
Grand axe de l'ellipse = (5,68 +1,24) x1,50 1011 = 1,038 1012 m.
Demi grand axe : a = 5,19 1011 m.
T = [4p2 / (GM) a3]� = [4*3,142 /(6,67 10-11 *2,00 1030) *(5,19 1011)3]� =2,03 108 s.
soit environ 6,45 ans.

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2. Satellisation de ROSETTA.
Dans cette deuxi�me partie, l’atterrisseur PHILAE est encore dans la sonde ROSETTA.
Au cours des mois d’ao�t et septembre 2014, la sonde ROSETTA arrive � proximit� de la com�te et est mise en orbite autour de celle-ci sur une trajectoire que l’on consid�re circulaire � une altitude h de 20 km. La manoeuvre est difficile du fait de la faible gravit� qui r�gne autour de la com�te et pour r�ussir cette satellisation, la vitesse doit �tre parfaitement ajust�e. Une vitesse trop importante donnerait � ROSETTA une trajectoire elliptique, une vitesse trop faible conduirait � une collision
de la sonde avec la com�te.
Le r�f�rentiel d’�tude dans cette partie est le r�f�rentiel dont l'origine est le centre de la com�te et dont les trois axes pointent vers des �toiles lointaines. Ce r�f�rentiel est suppos� galil�en.
2.1. Faire un sch�ma de ROSETTA en orbite autour de la com�te en pr�cisant :
- le vecteur unitaire u orient� de ROSETTA vers le centre de la com�te ;
- le vecteur mod�lisant la force d’interaction gravitationnelle exerc�e par la com�te sur ROSETTA.
Donner l’expression vectorielle de cette force gravitationnelle en fonction de G, M,MC, h, R et u.

2.2. Acc�l�ration de ROSETTA.
2.2.1. En supposant que le poids de ROSETTA est �gal � la force d’interaction gravitationnelle qu’elle subit, donner l’expression vectorielle de l’intensit� de la pesanteur g au voisinage de la com�te en fonction de G, MC, h, R et u.

2.2.2. En supposant que ROSETTA n’est soumise qu’� l’interaction gravitationnelle avec la com�te 67P, �tablir l’expression vectorielle del’acc�l�ration aR de ROSETTA en fonction deG, MC, h, R et u.

2.3. Vitesse et p�riode de rotation :
2.3.1. Montrer que dans l’approximation d’un mouvement circulaire la valeur v de la vitesse de ROSETTA a pour expression : v = [GMC /(R+h)]�.
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2.3.2. Calculer la valeur v de la vitesse.
v = [ 6,67 � 10-11  x1,0 1013 / (2,0 103 +2,0 104)]� =0,174 ~0,17 m /s.
2.3.3. Combien de temps ROSETTA met-elle pour faire un tour complet de la com�te ?
Rosetta d�crit la circonf�rence 2p(R+h) en T seconde � la vitesse v.
T = 2p(R+h) / v = 2 x3,14(2,0 103 +2,0 104) / 0,174 =7,9 105 s = 2,2 102 heures.









3. Chute de PHILAE.
L’atterrisseur PHILAE s’est d�tach� de la sonde ROSETTA le 12 novembre 2014 pour effectuer une chute libre de 20 km sans vitesse initiale et se poser sur la com�te. Cette descente a dur� plusieurs heures.
3.1. Chute libre de PHILAE
On mod�lise la chute de PHILAE par une chute libre, c’est-�-dire que PHILAE n’est soumis qu’� son poids.
Le r�f�rentiel d’�tude est suppos� galil�en.
On utilise un axe (Oy) vertical dirig� vers le haut, l’origine O �tant au niveau du sol de la com�te.
Le champ de pesanteur de la com�te est consid�r� uniforme, d’intensit� moyenne g = 1,5 �10- 5 m.s-2.
3.1.1. D�terminer, dans l’ordre de votre choix, la dur�e de la descente et la vitesse � l’atterrissage.
v= gt ; h = �gt2 ; t = (2h / g)� =(2 x 2 104 /(1,5 10-5))� =5,16 104 s ~ 14 heures.
v = 1,5 10-5 x5,16 104 ~0,77 m /s.
3.1.2. Quelle serait, sur Terre, la hauteur de chute conduisant � cette m�me vitesse d’impact en prenant comme intensit� de la pesanteur sur Terre
9,8 m.s-2 ? Comment expliquer cette diff�rence ?
v2 = 2gh ; h = v2 /(2g) = 0,772 /(2 x9,8)=0,030 m.
La gravitation au voisinage de la com�te est �gale � 1,5 10-5 / 9,8 gterre ~1,5 10-6 gterre .
3.1.3. En r�alit�, la dur�e de la chute est de 7 h.
Dans le mod�le utilis�, quelles sont les hypoth�ses que l’on peut discuter ? Justifier.
La sonde ROSETTA poss�de une vitesse sur son orbite circulaire ; la vitesse initiale de PHILAE n'est pas nulle.
Le champ de gravitation de la com�te n'est pas uniforme sur une distance de 20  km.
gsurface = G MC / R2 =6,67 10-11 x 1,0 1013 / (2,0 103)2 =1,67 10-4 m s-2.
g20 km = G MC / (R+h)2 =6,67 10-11 x 1,0 1013 / (2,2 104)2 ~1,4 10-6 m s-2.
3.2. Largage de PHILAE.
Le syst�me {ROSETTA + PHILAE} a une vitesse de 0,17 m.s-1 dans le r�f�rentiel de la com�te. L’atterrisseur PHILAE est largu� de telle sorte que
sa vitesse initiale soit nulle par rapport � la com�te. Le largage de PHILAE provoque une modification de la vitesse de ROSETTA.
On consid�re que le syst�me {ROSETTA + PHILAE} est isol� pendant la dur�e du largage.
D�terminer la valeur de la vitesse vR de la sonde ROSETTA par rapport � la com�te apr�s le largage.
Quantit� de mouvement du syst�me juste avant le largage : M v = 3,0 103 x 0,17 = 5,1 102 kg m s-1.
Quantit� de mouvement du syst�me juste apr�s le largage : (M-MP) vR +MP x 0 = 2,9,0 103 vR.
Le syst�me �tant isol�, la quantit� de mouvement est constante:
 vR = 5,1 102 / ( 2,9,0 103 ) =0,176 m / s.



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