Exploration de
l'ast�ro�de Ryugu,
bac S Polyn�sie septembre 2019
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On se propose, dans cet exercice,
d’�tudier le mode de propulsion de la sonde Hayabusa 2, la transmission
de donn�es photographiques, le largage du module Mascot (Mobile
asteroid surface scout) et la composition de la mati�re de l'ast�ro�de.
1. Propulsion de la sonde
Hayabusa 2.
La sonde Hayabusa 2 dispose de quatre moteurs � propulsion ionique au
x�non qui sont utilis�s pour ajuster sa trajectoire. Chaque moteur
�jecte � grande vitesse des ions x�non par sa tuy�re, ce qui a pour
effet de pousser la sonde � l'oppos� de celle-ci. Ce moteur convient
pour de longs voyages spatiaux, puisqu'il consomme peu.
D'apr�s CNESmag Educ n�63 - octobre 2014
Un sch�ma simplifi� du moteur � propulsion ionique de la sonde Hayabusa 2 est donn� ci-dessous:
Des ions x�non Xe+ sont lentement inject�s dans une premi�re chambre.
On
consid�re que leur vitesse initiale est nulle au point A. Ils sont
ensuite fortement acc�l�r�s par le champ �lectrostatique horizontal
suppos� uniforme qui r�gne entre deux grilles planes verticales aux
bornes desquelles on applique une tension �lectrique U = 1500 V.
Finalement, les ions x�non sont �ject�s du moteur par le point B. On
n�gligera le poids des ions x�non Xe+ par rapport � la force �lectrique qui s’exerce sur eux.
Donn�es :
� Masse d'un ion x�non Xe+ : m(Xe+) = 2,18 x 10-25 kg
� Masse de la sonde Hayabusa 2 : msonde = 608,6 kg
� Charge �l�mentaire : e = 1,60 x 10-19 C
1.1. Repr�senter
sur la copie les grilles 1 et 2 puis, sans souci d'�chelle, le champ
�lectrostatique E en un point quelconque situ� entre les grilles
pour qu'un ion Xe+ soit acc�l�r� de la grille 1 � la grille 2. Justifier.
Le travail de la force �lectrostatique doit �tre moteur ; cette force
est horizontale, dirig�e de A vers B. La charge de l'ion est positive ;
la force et donc le champ �lectrostatique ont le m�me sens, de A vers B.
1.2. On �tudie le mouvement d’un ion x�non Xe+ dans le r�f�rentiel du moteur suppos� galil�en.
Cet ion quitte le point A avec une vitesse initiale nulle. Son �nergie
cin�tique au point B est alors �gale au travail de la force �lectrique
qui s’exerce sur lui entre A et B.
Les deux grilles sont s�par�es par une distance d.
La valeur E du champ �lectrique est reli�e � la tension �lectrique U par la relation : E = U / d.
1.2.1. �tablir l'expression litt�rale du travail de la force �lectrique que subit l'ion x�non entre A et B en fonction de e, E et d.
1.2.2. Montrer que la vitesse de l'ion x�non au point B s'�crit : v = (2eU / m(Xe+))�.
La vitesse initiale de l'ion est nulle. L'�nergie cin�tique finale de l'ion est �gale au travail de la force �lectrostatique.
�m(Xe+) v2 = eU ; v = (2eU / m(Xe+))�..
1.2.3. Calculer la valeur de la vitesse de l'ion x�non au point B.
v = ( 2 x 1,60 10-19 x1500 / (2,18 10-25))�= 4,69 104 m /s.
1.3. La sonde
dispose de 66,5 kg de x�non dans ses r�servoirs. Chaque moteur �jecte
0,34 mg d'ions x�non par seconde et la sonde fait fonctionner en
permanence trois de ses moteurs pendant la phase de propulsion.
On �tudie le syst�me {sonde + ions x�non}, consid�r� comme isol�, dans
le r�f�rentiel h�liocentrique suppos� galil�en. � la date t = 0 s, le
syst�me est immobile.
� la date t = 1 s, la sonde a �ject� une masse d'ions x�non not�e mions � la
vitesse Vions. On note Vsonde la vitesse de la sonde. On consid�re que lamasse de la sonde reste constante durant cette phase.
1.3.1. En comparant la quantit� de mouvement du syst�me aux dates t = 0 s
et t = 1 s, �tablir la relation suivante.
La conservation du vecteur quantit� de mouvement du syst�me conduit � :
1.3.2. En d�duire
pourquoi, comme indiqu� dans le texte introductif, l’�jection � grande
vitesse des ions x�non par la tuy�re a pour effet de pousser la sonde �
l'oppos� de celle-ci.
Les deux vitesses ont la m�me direction ; la vitesse de la sonde a le
sens contraire de la vitesse des ions ( principe de l'action et de la
r�action).
1.3.3. Calculer la
dur�e de fonctionnement maximal des moteurs. Proposer une hypoth�se sur
l'�cart entre la dur�e de la mission Hayabusa 2 donn�e dans
l'introduction ( ~3,5 ans ) et la valeur obtenue.
masse initiale de x�non : 66,5 kg.
Consommation des trois moteurs en une seconde : 0,34 x3 = 1,02 mg.
Dur�e de fonctionnement : 66,5 /(1,02 10-6) =6,52 107 s ( ~2,1 ans).
Les moteurs ne sont pas utilis�s en permanence, mais pour effectuer des corrections de la trajectoire de la sonde et sa vitesse.
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2. Photographie de l'ast�ro�de Ryugu et transmission des donn�es.
La sonde Hayabusa 2 communique les donn�es scientifiques avec la Terre
en transmettant des signaux avec un d�bit de transmission de 32
kilobits par seconde.
La photographie ci-apr�s de l'ast�ro�de Ryugu a �t� acquise le 26 juin
2018 par la cam�ra ONC de la sonde, alors que celle-ci se trouvait �
une distance de 20 km de l'ast�ro�de. Cette image repr�sente un carr�
de 1,1 km de c�t� et poss�de une d�finition de 512 � 512 pixels, chaque
pixel �tant cod� par 1 octet.
2.1. Est-il possible de distinguer un d�tail de dimension �gale � 3 m sur la photographie ? Justifier.
1,1 103 / 3 ~367 d�tails de 3 m et 512 pixels.
Chaque d�tail peut se trouver sur un pixel. R�ponse : oui.
2.2. �valuer le diam�tre moyen de l'ast�ro�de Ryugu � partir de sa photographie.
V�rifier la coh�rence du r�sultat avec les informations donn�es ( environ 900 m) au d�but de l'exercice.
1,1 km correspond � 9 cm ; le diam�tre correspond � 7 cm.
Diam�tre : 7 x1,1 / 9 ~0,86 km = 860 m, en accord avec les donn�es.
2.3. D�terminer la dur�e n�cessaire pour transmettre toutes les donn�es de cette photographie.
512 x512 = 2,62 105 pixels = 2,62 105 octets.
2,62 105 x8 ~2,1 106 bits = 2,1 103 kbits.
D�bit de transmission de 32 kilobits par seconde.
Dur�e de la transmission : 2,1 103 / 32 ~66 s.
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3. Largage du module Mascot.
La sonde Hayabusa 2 embarque l'atterrisseur Mascot qui doit permettre
d’aider � la s�lection des sites de pr�l�vement des �chantillons.
Mascot sera s�par� d'Hayabusa 2 � seulement 60 m d'altitude de Ryugu le
3 octobre 2018. Apr�s une descente balistique et sans dispositif de
stabilisation, on s'attend � ce qu'il touche la surface de l'ast�ro�de
� la vitesse de 10 cm.s-1 avec � la cl� quelques rebonds.
D'apr�s un article de Futura-Sciences, 27 juin 2018.
Le mouvement de l'atterrisseur Mascot est �tudi� dans le r�f�rentiel de
l'ast�ro�de suppos� galil�en et muni d’un rep�re (Ox, Oy) comme indiqu�
sur le sch�ma ciapr�s. L'atterrisseur Mascot, assimil� � un point
mat�riel G, est largu� d'une hauteur h au-dessus de la surface de
l'ast�ro�de Ryugu avec une vitesse initiale v0 horizontale
alors que la sonde Hayabusa 2 est maintenue en vol stationnaire au
dessus de l'ast�ro�de gr�ce � ses propulseurs. L'instant du largage est
choisi comme origine des temps.
On consid�re que l'atterrisseur Mascot n'est soumis qu'� son poids.
On admet que le mouvement a lieu dans le plan (Oxy).
Donn�es :
� Intensit� du champ de pesanteur de l'ast�ro�de Ryugu : gR = 1,1 � 10-4 m.s-2
� Vitesse initiale de l'atterrisseur Mascot : v0 = 5,5 � 10-2 m.s-1
� Masse de l'atterrisseur Mascot : m = 10 kg.
� On assimilera l'atterrisseur Mascot � un cube de 30 cm de c�t�.
3.1 Montrer que les
coordonn�es du vecteur vitesse et du vecteur position du point mat�riel
G mod�lisant l'atterrisseur Mascot sont respectivement :
vx (t) = v0 ; vy (t) = -gRt
x(t) = v0t ; y(t) = -�gRt 2+h.
Coordonn�es du vecteur acc�l�ration ( 0 ; -gR).
Le vecteur vitesse est une primitive du vecteur acc�l�ration et les coordonn�es de la vitesse initiale son (v0 ; 0).
Coordonn�es du vecteur vitesse : v0 ; -gRt.
Le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse et les coordonn�es de la position initiale sont : 0 ; h.
x(t) = v0t ; y(t) = -�gRt 2+h.
3.2 D�terminer la valeur de la vitesse de l'atterrisseur Mascot au moment o� il touche la surface de l'ast�ro�de Ryugu.
Est-ce coh�rent avec l'article de Futura-Sciences ?
h = 60 -0,15 =59,85
Au sol : 0 =-�gRt 2+h ; t=(2 h / gR)� =(2 x59,85 / (1,1 10-4))� =1,043 103 s.
Vitesse au sol : vx= 5,5 10-2 ; vy= -1,1 10-4 x1,043 103~ -0,1147 m/s.
v = ((5,5 10-2)2 +0,11472)�~0,13 m /s = 13 cm /s.
Cette valeur est coh�rente avec 10 cm /s.
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