Math�matiques
bac S Polyn�sie septembre 2019.
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Exercice 1.
6 points.
Deux groupes de scientifiques, des sp�cialistes en environnement et des
biologistes, �tudient l’�volution d’une population de grenouilles
autour d’un �tang.
Partie A — �tude d’un mod�le discret d’�volution.
Le groupe de sp�cialistes en environnement �tudie le taux de
disponibilit� des ressources n�cessaires pour le d�veloppement de la
population de grenouilles autour de l’�tang. Ce taux d�pend notamment
du nombre de grenouilles pr�sentes sur les lieux, de la quantit� de
nourriture � disposition, de l’espace disponible et de la qualit� de
l’environnement.
Une �tude, men�e en 2018 par ce premier groupe de scientifiques, a
permis d’estimer le taux de disponibilit� des ressources � 0,9 ; cela
signifie que 90 % des ressources sont disponibles.
On mod�lise le taux de disponibilit� des ressources par la suite (Tn) qui, � tout entier naturel n, associe le taux de disponibilit� des ressources n ann�es apr�s 2018. On a ainsi T0=0,9.
Le mod�le choisi est tel que, pour tout entier naturel n, on a : Tn+1=Tn−0,1Tn2.
1. Certains
sp�cialistes en environnement estiment qu’en 2022, le taux de
disponibilit� des ressources sera proche de 0,4. Cette affirmation
est-elle conforme au mod�le ? Pourquoi ?
T1 = 0,9 -0,1 x0,92 =0,819.
T2 = 0,819 -0,1 x0,8192 ~0,752.
T3 = 0,752 -0,1 x0,7522 ~0,695.
T4 = 0,695 -0,1 x0,6952 ~0,647, valeur tr�s diff�rente de 0,4.
L'affirmation n'est pas conforme au mod�le.
2. On d�finit la fonction
𝑓 sur l’intervalle [0 ;1] par f(x) = x-0,1 x2. Ainsi, la suite (Tn)
v�rifie pour tout entier naturel n, Tn+1 = f(Tn)
a. �tudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ;1].
f '(x) = 1 -0,2x.
f '(x) = 0 si x = 5 ; sur l’intervalle [0 ;1] f '(x) est positive et f(x) est strictement croissante.
b. Montrer que pour tout n entier naturel, on a : 0 ≤ Tn+1 ≤ Tn ≤ 1.
Initialisation : T0 = 0,9 et T1 = 0,819.
0 ≤ T1 ≤ T0 ≤ 1.La propri�t� est vraie au rang 1.
H�r�dit� : la propri�t� est suppos�e vraie au rang p : 0 ≤ Tp+1 ≤ Tp ≤ 1.
La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 1 ].
f(0) ≤ f(Tp+1 ) ≤ f(Tp )≤ 1.
0 ≤ Tp+2 ≤ Tp+1 ) ≤ 1. La propri�t� est vraie au rang p+1.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire ; elle est donc vraie pour tout entier n.
c. La suite (Tn) est-elle convergente ? Justifier la r�ponse.
La suite est d�croissante et minor�e par 0 : donc elle converge.
3. Le groupe de sp�cialistes en environnement affirme que, selon ce
mod�le, le taux de disponibilit� des ressources peut �tre inf�rieur �
0,4 au cours des vingt premi�res ann�es qui suivent le d�but de l’�tude
et qu’il est capable de d�terminer en quelle ann�e, ce seuil serait
atteint pour la premi�re fois.
Cette affirmation est-elle conforme au mod�le ? Pourquoi ?
T13 =0,40084 ; T14 =0,384.
En 2032 le seuil de 0,4 sera atteint. L'affirmation est conforme.
Partie B — �tude d’un mod�le continu d’�volution.
Le groupe de biologistes a choisi une autre option et travaille sur le
nombre de grenouilles peuplant l’�tang. Au 1er janvier 2018, il avait
�t� d�nombr� 250 grenouilles.
Les biologistes estiment que le nombre de grenouilles pr�sentes autour
de l’�tang peut �tre mod�lis� par la fonction P d�finie sur
l’intervalle [0 ; +∞[ par :
P(t)=1000 / (0,4+3,6 e−0,5𝑡 ) o� t est le temps, mesur� en
ann�es, �coul� depuis le 1er janvier 2018 (cette fonction d�coule d’un
mod�le continu, usuel en biologie, le mod�le de Verhulst).
1. Calculer P'(t) o� P' est la fonction d�riv�e de P puis �tudier le signe de P'(t) pour t appartenant � l’intervalle [0 ; +∞[.
On pose u =0,4+3,6 e−0,5t ; u' = -3,6 x0,5 e−0,5t = -1,8 e−0,5t .
P'(t) = -u' / u2 = -1000 x(-1,8 e−0,5t ) / (0,4+3,6 e−0,5t )2 = 1800 e−0,5t / (0,4+3,6 e−0,5t )2 .
La fonction exponentielle �tant strictement positive sur R, P'(t) est positive et P(t) est strictement croissante.
2. D�terminer la limite de la fonction P en +∞ puis dresser le tableau de variation de la fonction P sur l’intervalle [0 ; +∞[.
Quand t tend vers plus l'infini, e−0,5t tend vers z�ro.
P(t) tend vers 1000 / 0,4 = 2500.
3. Montrer qu’il existe une unique valeur t0 ∈[0 ; +∞[ telle que P(t0)=2000. D�terminer cette valeur � 10−1 pr�s.
La fonction P(t) est continue ( car d�rivable ) et strictement croissante de 250 � 2500 sur cet intervalle.
D'apr�s le th�or�me de la bijection, l'�quation P(t) = 2000 admet une unique solution sur cet intervalle.
4. Selon ce mod�le,
d�terminer au cours de quelle ann�e la population de l’�tang aura
d�pass� pour la premi�re fois les 2000 grenouilles.
1000 / (0,4+3,6 e−0,5𝑡 ) = 2000 ; 0,5 = 0,4+3,6 e−0,5𝑡 ; 0,1 / 3,6 = e−0,5𝑡 ;
ln 36 = 0,5 t ; t =2 ln 36 ~ 7,16 ; t = 8 (ann�e 2026).
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Exercice
2. 5 points.
Dans cet exercice, les probabilit�s demand�es seront pr�cis�es � 10−4 pr�s.
Lors d’une communication �lectronique, tout �change d’information se
fait par l’envoi d’une suite de 0 ou de 1, appel�s bits, et cela par le
biais d’un canal qui est g�n�ralement un c�ble �lectrique, des ondes
radio …
Une suite de 8 bits est appel� un octet. Par exemple, 10010110 est un octet.
Partie A.
On se place dans le cas o� l’on envoie, sur le canal, successivement 8 bits qui forment un octet.
On envoie un octet au hasard. On suppose la transmission de chaque bit
ind�pendante de la transmission des bits pr�c�dents. On admet que la
probabilit� qu’un bit soit mal transmis est �gale � 0,01.
On note X la variable al�atoire �gale au nombre de bits mal transmis dans l’octet lors de cette communication.
1. Quelle est la loi de probabilit� suivie par la variable al�atoire X ? Justifier.
Les tirages sont identiques et ind�pendants les uns des autres. Il y a
deux issus possibles:le bit est bien transmis 1-p = 0,99 ; le bit est
mal transmis p = 0,01.
X suit une loi binomiale de param�tres n = 8 et p = 0,01.
2. D�terminer la probabilit� qu’exactement deux bits de l’octet soient mal transmis.
P(X = 2) = 8 x7 / 2 x 0,012 x0,996=0,0026.
3. Que peut-on
penser de l’affirmation suivante : � La probabilit� que le nombre de
bits mal transmis de l’octet soit au moins �gal � trois est n�gligeable
� ? Argumenter.
P(X > 3)=1-P(X=2)-P(X=1)-P(X=0).
P(X = 1) = 8 x 0,01 x0,997=0,07456.
P(X = 0) = 1 x 1 x0,998=0,9227.
P(X > 3)=1-0,0026-0,07456-0,9227 ~
9,5 10-5. L'affirmation est vraie.
Partie B.
Les erreurs de transmission des bits sont li�es � la pr�sence de bruits parasites sur le canal de communication.
On admet que l’information d’un bit re�u, incluant le bruit, peut �tre
mod�lis�e � l’aide d’une variable al�atoire continue qui suit une loi
normale dont l’esp�rance est li�e � la valeur du bit envoy�.
On envoie un bit de valeur 1. On admet que l’information re�ue d’un bit
de valeur 1 peut �tre mod�lis�e par une variable al�atoire R qui suit
la loi normale d’esp�rance 1 et d’�cart-type 0,3.
On consid�re que le bit re�u n’est pas correctement interpr�t� lorsque la valeur de R est inf�rieure ou �gale � 0,4.
Calculer la probabilit� que le bit re�u ne soit pas correctement interpr�t�.
P(R < 0,4) ~0,0228.
Partie C.
Afin de d�tecter si un ou plusieurs bits de l’octet sont mal transmis,
on utilise un protocole de d�tection d’erreur. Il consiste � ajouter, �
la fin de l’octet � transmettre, un bit, appel� bit de parit� et qui
est transmis apr�s les huit bits de l’octet.
On s’int�resse d�sormais � la transmission de l’octet suivi de son bit de parit�.
Une �tude statistique a permis d’obtenir que :
la probabilit� que les huit bits (octet) soient transmis sans erreur vaut 0,922 ;
la probabilit� que les huit bits (octet) soient transmis avec exactement une erreur vaut 0,075 ;
si les huit bits (octet) ont �t� transmis sans erreur, la probabilit� que le bit de parit� soit envoy� sans erreur vaut 0,99 ;
si les huit bits (octet) ont �t� transmis avec exactement une erreur,
la probabilit� que le bit de parit� ait �t� envoy� sans erreur vaut 0,9
;
si les huit bits (octet) ont �t� transmis avec au moins deux erreurs,
la probabilit� que le bit de parit� soit envoy� sans erreur vaut 0,99 ;
On choisit au hasard un octet suivi de son bit de parit�. On consid�re les �v�nements suivants :
- Z : � les huit bits de l’octet sont transmis avec aucune erreur � ;
- E : � les huit bits de l’octet sont transmis avec exactement une erreur � ;
- D : � les huit bits de l’octet sont transmis avec au moins deux erreurs � ;
- B : � le bit de parit� est transmis sans erreur �.
1. Compl�ter l’arbre pond�r� suivant.
2. Quelle est la
probabilit� que l’octet soit transmis avec une erreur exactement et que
le bit de parit� soit transmis sans erreur ?
0,075 x 0,9 =0,0675.
3. Calculer la probabilit� de l’�v�nement B.
Formule des probabilit�s totales : p(B) = 0,922 x0,99 + 0,075 x0,9 +0,003 x 0,99 =0,91278 +0,0675 +0,00297 ~0,9833.
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Exercice 3. 4 points
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la r�ponse.
Une r�ponse non justifi�e n’est pas prise en compte.
1. On consid�re le nombre complexe 𝑍=1+i 3�.
Affirmation 1 : Le nombre complexe z2 est un r�el positif. Faux.
Module de z : |z| = (12 +3)� = 2.
z / |z| =0,5 + 0,5 i 3� =cos (p/3 ) + i sin (p /3) ; z = 2 exp(ip/3).
z2 = 4 exp(i2p/3).
L'argument de z2 �tant diff�rent de 0 ou 2p, z2 n'est pas un r�el positif.
Affirmation 2 : L’argument du nombre complexe 𝑍2019 vaut 0 modulo 2p. Faux.
p /3 x 2019 =673 p = p +336 x 2p.
Dans ce qui suit, le plan complexe est muni d’un rep�re orthonorm� direct.
2. On consid�re dans C l'�quation 2𝑧2−3𝑧+5=0.
Affirmation 3 : Cette �quation admet deux solutions dont les images sont sym�triques par rapport � l’origine du rep�re. Faux.
Discriminant D = (-3)2 -4 x2 x5= -31= 31 i2.
Solutions : z1 = (3+i 31�) / 4 ; z2 = (3-i 31�) / 4.
Les images de ces points sont sym�triques par rapport � l'axe des abscisses.
3. � tout point M d’affixe 𝑧 du plan complexe, on associe le point M′ d’affixe 𝑧’ par d�finie par :
 .
Affirmation 4 : Il existe une infinit� de points M confondus avec leur point image M′. Faux.
z = x +iy ; conjugu� de z = x-iy ; la relation s'�crit :
z=z' ; x+iy =(x-iy)(1-x-iy)=x(1-x)-y2-i(y(1-x)+xy).
x+iy =x(1-x)-y2-iy.
soit pour les parties r�eeles : x = x -x2-y2 ; x2+y2=0.
et pour les parties imaginaires : y = -y ; y =0. Par suite x = 0.
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Exercice 4.
Sur la figure suivante, on consid�re le cube ABCDEFGH de c�t� 6 cm dans le rep�re orthonorm�, l’unit� �tant le cm.
On admet que le point I a pour coordonn�es (6 ;0 ;3) dans ce rep�re.
On appelle L le milieu du segment [FG].
On appelle P le plan d�fini par les trois points E, I et L.
On rappelle que le volume du t�tra�dre est donn� par la formule V =aire de la base � hauteur / 3.
1. a. Montrer que le vecteur  est un vecteur normal au plan P.
E(0 ; 0 ; 6) ; I(6 ; 0 ; 3) ; L(6 ; 3 ; 6).
b. D�terminer une �quation cart�sienne du plan P.
x-2y+2z+d=0.
E appartient au plan P : 2x6+d=0 ; d=-12.
Equation cart�sienne du plan P : x-2y+2z-12=0.
2. Justifier que le volume du t�tra�dre FELI est 9 cm�.
Aire de la base = aire du triangle rectangle FEI = FE x FI / 2 = 6 x 3 / 2 = 9 cm2.
Hauteur du t�tra�dre FL = 3 cm.
Volume du t�tra�dre : V = 9 x3 / 3 = 9 cm3.
3. a. Soit Δ la perpendiculaire au plan P passant par le point F.
Justifier que la droite Δ admet pour repr�sentation param�trique :
{ x = t +6 ; y = -2t ; z =2t+6 } avec t r�el.
Le vecteur est un vecteur directeur de cette droite.
Le point F (6 ; 0 ; 6) appartient � cette droite.
{ x = t +xF ; y = -2t +yF; z =2t+zF } avec t r�el.
b. Montrer que l’intersection de la droite Δ et du plan P est le point K (16 /3 ; 4/ 3 ;14 / 3).
Les coordonn�es du point K v�rifient l'�quation du plan P :
t +6-2(-2t)+2(2t+6)-12=0 ; 9t +6=0 ; t = -2 / 3.
xK = -2 / 3 +6 = 16 / 3 ; yK = -2 (-2 /3) = 4 /3 ; zK = 2 (-2 / 3) +6 = 14 / 3.
4. Calculer l’aire en cm� du triangle ELI.
FK = [ (6- 16 /3)2 +(0-4 /3)2 +(6-14 /3)2]� =[ 4 /9 + 16 / 9 +16 / 9]2 =2 cm.
Aire du triangle ELI = 3 volume du t�tra�dre / FK =27 /2 =13,5 cm2.
EL = (FE2 + FL2)� =(62+32)� =45�= 3 x5�.
IL = (FI2 + FL2)� =(32+32)� =18�=3 x2�.
Aire de ce triangle rectangle en L : 9 x 10� / 2 =4,5 x10� cm2.
5. Tracer
la section du cube ABCDEFGH par le plan parall�le au plan P passant par
le point G et en donner la nature pr�cise sans justification.
On trace la parall�le � la droite (EL) passant par G ; elle coupe le segment [EH] en M.
La parall�le � la droite (IL) passant par G est la droite (BG).
La parall�le � la droite (BG) passant par M coupe le segment [AE] en N.
La section du cube par le plan P est le trap�ze BGMN.
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