Math�matiques,
bac St2S M�tropole 2019.
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Exercice 1 ( 5 points).
Un m�dicament est prescrit sous forme d’injections qui doivent �tre administr�es une fois par semaine.
Le volume de la premi�re dose est d�termin� en fonction de la masse
corporelle du patient � raison de 2 mL de m�dicament par kg. Chaque
semaine, le volume de la dose administr�e est augment� de 5 %. D�s que
le volume de la dose administr�e est sup�rieur ou �gal au double du
volume initial, on interrompt le traitement apr�s cette derni�re
injection.
On applique le traitement � une personne dont la masse corporelle est de 60 kg.
Pour d�terminer les doses administr�es, on s’aide de la feuille de
calcul automatis� ci-dessous (les cellules de la plage [B2 : G2] sont
param�tr�es pour afficher les valeurs arrondies au dixi�me).
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A
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B
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C
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D
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E
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F
|
G
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1
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Num�ro de l'injection
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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2
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Dose administr�e ( mL) � chaque injection
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120
|
126
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132.3
|
138,9
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145,9
|
153,2
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Tous les r�sultats seront arrondis au dixi�me.
1) Justifier les r�sultats obtenus dans les cellules B2 et C2.
2 mL de m�dicament par kg : 2 x 60 = 120 mL
Chaque semaine, le volume de la dose administr�e est augment� de 5 %.
120 x1,05 =126 mL.
2)
Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C2 qui, recopi�e vers la
droite, permet de calculer les valeurs des doses � administrer chaque
semaine ?
=B2*1,05
3) On appelle Vn la valeur, en mL, du volume de la dose administr�e lors de la n-i�me injection.
Ainsi, V1= 120.
a) Justifier que la suite (Vn) est g�om�trique et pr�ciser sa raison.
On passe d'un terme au suivant en le multipliant par 1,05. La raison est �gale � 1,05.
Le premier terme est �gal � V1 = 120.
b) Pour tout entier naturel n, exprimer Vn en fonction de n.
Vn = 120 x 1,05n-1.
c) Calculer le volume administr� lors de la 10e injection.
V10 = 120 x1,059=186,2 mL.
4) a) Expliquer
pourquoi le nombre total d’injections administr�es lors du traitement
peut s’obtenir en r�solvant l’in�quation d’inconnue ?, entier naturel :
120 x1,05n-1 > 240.
D�s
que le volume de la dose administr�e est sup�rieur ou �gal au double du
volume initial, on interrompt le traitement apr�s cette derni�re
injection.
b) Justifier que le traitement comporte au total 16 injections.
120 x 1,0515 = 249,5, valeur sup�rieure � 240.
5) D�terminer le volume total de m�dicament administr� au patient lors de l’ensemble du traitement. Arrondir au dixi�me de mL.
V1 ( 1-qn) / (1-q) =120 ( 1-1,0516) / (1-1,05) = 120 x1,079 / 0,05 = 2838,9 mL.
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Exercice 2 ( 8 points ).
Les parties A et B sont ind�pendantes
Partie A : Lien entre le prix du tabac et la consommation de cigarettes en France
Le tableau ci-dessous pr�sente l’�volution du prix en euros du paquet
de 20 cigarettes de la marque la plus vendue en France ainsi que celle
du nombre total de paquets de 20 cigarettes vendus en France, exprim�
en milliards et arrondi au centi�me.
Ann�e
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2004
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2007
|
2010
|
2013
|
2016
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Prix du paquet ( xi)
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5
|
5,13
|
5,65
|
6,7
|
7
|
Nombre total de paquets ( yi) en milliards
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2,75
|
2,75
|
2,74
|
2,38
|
2,25
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1)
D�terminer la baisse en pourcentage, arrondie � 0,1 %, du nombre total
de paquets de 20 cigarettes vendus en France entre l’ann�e 2004 et
l’ann�e 2016.
(2,25 -2,75) / 2,75 x100 = -18,2 %.
2) En annexe, �
rendre avec la copie, figurent quatre des cinq points du nuage
repr�sentant les donn�es du tableau. Compl�ter le nuage de points.
3) On choisit comme droite d’ajustement du nuage de points la droite (d) d’�quation :
y = -0,255 x +4,08
repr�sent�e en annexe. On suppose qu’elle mod�lise le nombre total de
paquets de 20 cigarettes vendus en France en fonction du prix d’un
paquet de 20 cigarettes de la marque la plus vendue en France.
a) Le minist�re de
la sant� souhaite que le prix de vente d’un paquet de 20 cigarettes de
la marque la plus vendue soit de 10 € en 2020. Estimer, selon le mod�le
propos�, le nombre total de paquets de 20 cigarettes qui seront vendus
en 2020.
y = -0,255 x10 +4,08 = 1,53 €.
b) D�terminer le
prix minimum d’un paquet de 20 cigarettes de la marque la plus vendue
qui, selon le mod�le propos�, permettrait de passer sous la barre d’un
milliard le nombre total de paquets de 20 cigarettes vendus. Pr�ciser
la m�thode employ�e.
-0,255 x +4,08 < 1 ;
0,255 x -4,08 > -1 ;
0,255 x > 4,08-1 ;
x > 3,08 / 0,255 ; x >12,08.
Partie B : Consommation de tabac et revenus en France
Dans cette partie, tous les r�sultats seront arrondis au milli�me.
1) En 2000, une
enqu�te r�alis�e aupr�s de 10 508 personnes �g�es de 18 � 75 ans a
�tudi� la relation entre le tabagisme et les revenus. Les revenus sont
r�partis en trois tranches. Les r�sultats de l’enqu�te figurent dans le
tableau suivant :
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Revenus inf�rieurs
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Revenus moyens
|
Revenus sup�rieurs
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Total
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Fumeurs
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1126
|
1155
|
914
|
3195
|
Non fumeurs
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2403
|
2596
|
2314
|
7313
|
Total
|
3529
|
3751
|
3228
|
10508
|
On choisit au hasard la fiche r�ponse d’un individu ayant particip� � l’enqu�te.
On d�finit les �v�nements suivants :
F : � la fiche est celle d’un fumeur � ;
I : � la fiche est celle d’un individu dont les revenus sont dans la tranche des revenus inf�rieurs � ;
M : � la fiche est celle d’un individu dont les revenus sont dans la tranche des revenus moyens � ;
S : � la fiche est celle d’un individu dont les revenus sont dans la tranche des revenus sup�rieurs �.
a) Calculer la probabilit� que la fiche choisie soit celle d’un individu aux revenus moyens.
P(M) = 3751 / 10508 = 0,357.
b) Calculer F ∩ M et interpr�ter ce r�sultat dans le contexte de l’exercice.
P(F ∩ M) =1155 / 10508 =0,110.
La probabilit� qu'un individu soit fumeur en ayant des revenus moyens est �gale � 0,110.
c) Sachant que la fiche choisie est celle d’un individu aux revenus moyens, d�terminer la probabilit� qu’il s’agisse d’un fumeur.
PM(F) = P(F ∩ M) /P(M) =0,110 / 0,357 = 0,308.
d) On admet que PI(M) ~ 0,319 et PS(F) ~ 0,283.
Interpr�ter ces r�sultats dans le contexte de l’exercice.
La probabilit� qu'un individu ayant des revenus inf�rieurs soit fumeur est �gale � 0,319.
La probabilit� qu'un individu ayant des revenus sup�rieurs soit fumeur est �gale � 0,283.
En 2000 on rencontre le moins de fumeurs parmi les individus ayant des revenus sup�rieurs.
2) Une enqu�te
semblable a �t� effectu�e en 2016. Elle a permis d’obtenir l’arbre de
probabilit�s suivant qui utilise les m�mes notations d’�v�nements qu’�
la question 1) de la Partie B.
a) Dans quelle tranche de revenus le tabagisme est-il le plus �lev� en 2016 ?
0,388 > 0,285 > 0,210.
Le tabagisme est le plus �lev� dans la tranche des revenus inf�rieurs.
b) Pour les tranches de revenus sup�rieurs et inf�rieurs, comment le tabagisme a-t-il �volu� entre 2000 et 2016 ?
En 2016, pour les revenus inf�rieurs : 0,388, contre 0,319 en 2000 : le tabagisme cro�t.
En 2016, pour les revenus sup�rieurs : 0,210, contre 0,283 en 2000 : le tabagisme d�cro�t.
c) V�rifier que p(F) = 0,294.
Formule des probabilit�s totales.
p(F) = 0,33 x0,388 +0,34 x0,285 +0,33 x0,210 = 0,12804 +0,0969 +0,0693 ~0,294.
d) En d�duire PF(S) et interpr�ter le r�sultat dans le contexte de l’exercice.
PF(S) = 0,33 x0,210 / 0,294 ~0,236.
23,6 % des fumeurs appartiennent � la classe sup�rieure.
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Exercice 3. ( 7 points )
On
mod�lise l’�volution d’une �pid�mie dans une r�gion donn�e par une
fonction f qui donne le nombre de personnes malades, en milliers, en
fonction du temps compt� en jours depuis le d�but de l’�tude.
La fonction f est repr�sent�e par la courbe Cf pour les 16 premiers jours de la mod�lisation.
Partie A : Lecture graphique.
Les r�ponses aux questions de cette partie ne n�cessitent pas de justification.
1) D�terminer une valeur approch�e du nombre de personnes malades au d�but de l’�tude.
270 000.
2) D�terminer le nombre de jours au bout desquels le nombre de personnes malades est sup�rieur � 1 000 000.
3) On sait que :
au-del� du 16e jour, le nombre de personnes malades diminue de plus en plus vite jusqu’au 18e jour ;
� partir du 19e jour, le nombre de personnes malades diminue de moins en moins vite pour passer sous la barre des 200 000 au cours du 26e jour.
Compl�ter la courbe repr�sentative en proposant une courbe qui soit compatible avec ces informations.
Partie B : �tude de la fonction f.
On admet que, sur l’intervalle [0 ; 16], f est d�finie par : f(x) = -x3 +12x2 +144 x +270.
1) En utilisant l’expression de la fonction ?, calculer le nombre d’individus malades au 12e jour de l’�tude.
f(12) = -123 +12*122 +144*12 +270 = 144 *12 +270 = 1998 ( 1 998 000 personnes ).
2) On admet que f '(x) = 3(12-x)(x+4).
a) �tudier le signe def '(x) sur l’intervalle [0 ; 16].
b) Construire le tableau des variations de f sur [0 ; 16].
On pr�cisera dans le tableau f(0), f(16) ainsi que la valeur de l’extremum.
3) D’apr�s ce mod�le, le nombre de personnes contamin�es atteindra-t-il les deux millions ?
Le maximum �tant inf�rieur � 2000, le nombre de malades n'atteindra pas les 2 millions.
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