Math�matiques,
bac St2S Antilles 2019.
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d’int�r�ts.
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Exercice 1 ( 5 points).
Dans le cadre d’une campagne de r�duction de la quantit� de d�chets, une enqu�te sur les habitudes
de compostage est men�e aupr�s des habitants d’une ville.
Les informations recueillies ont permis d’�tablir que :
• 20% des personnes interrog�es ont moins de 30 ans et parmi elles 30% pratiquent le compostage ;
• la moiti� des personnes entre 30 et 50 ans pratiquent le compostage ;
• 35% des personnes interrog�es ont plus de 50 ans et parmi elles 70% pratiquent le compostage.
On choisit au hasard une personne parmi celles interrog�es. On consid�re les �v�nements suivants :
J : � la personne a moins de 30 ans � ;
M : � la personne a entre 30 ans et 50 ans � ;
S : � la personne a plus de 50 ans � ;
C : � la personne pratique le compostage �.
1. En utilisant les donn�es de l’�nonc�, recopier et compl�ter l’arbre de probabili� ci-dessous :
2. D�finir par une phrase l’�v�nement J n C, puis calculer sa probabilit�.
La personne a moins de 30 ans et elle pratique le compostage.
P (J n C) = 0,2 x 0,3 = 0,06.
3. Calculer la probabilit� de l’�v�nement : � la personne a plus de 50 ans et pratique le compostage �.
P(S n C) = 0,35 x 0,7 =0,245.
4. Est-il vrai qu’il y a plus d’une chance sur deux que la personne choisie pratique le compostage ? Justifier.
Formule des probabilit� totale :
P(C) = P (J n C) +P(S n C) +P(M n C) = 0,06 +0,245 +0,45 x 0,5 =0,53.
L'affirmation est vraie.
5. Sachant
que la personne choisie pratique le compostage, quelle est la
probabilit� qu’elle ait plus de 50 ans ? Arrondir au centi�me.
PC(S) = P(C n S) / P(C) = 0,245 / 0,53 ~0,46
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Exercice 2 ( 8 points ).
La
DREES a �tudi� l’�volution du nombre de b�n�ficiaires, en milliers, de
l’ACTP (Allocation Compensatrice pour Tierce Personne) et de la PCH
(Prestation de Compensation du Handicap), enFrance, de 2007 `a 2016.
Les deux parties de cet exercice peuvent �tre trait�es de mani�re ind�pendante.
Partie A :
Le tableau ci-dessous donne l’�volution du nombre de b�n�ficiaires (en milliers) de l’ACTP de 2007 � 2016.
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A
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B
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C
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D
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E
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F
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G
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H
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I
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J
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K
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1
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Ann�e
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2007
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2008
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2009
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2010
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2011
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2012
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2013
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2014
|
2015
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2016
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2
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Rang de l'ann�e ( xi)
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0
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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3
|
Nombre de b�n�ficiaires de l'ACTP ( yi) en milliers
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120
|
110
|
100
|
92
|
87
|
82
|
76
|
72
|
69
|
65
|
4
|
Taux d'�volution entre deux ann�es ( %)
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-9,1
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-8,0
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-5,4
|
-5,7
|
-7,3
|
-5,3
|
-4,2
|
-5,8
|
Source : DREES, direction de la recherche, des �etudes, de l’�evaluation et des statistiques
1. Calculer le taux d’�volution du nombre de b�n�ficiaires de l’ACTP entre 2007 et 2008.
On donnera le r�sultat en pourcentage arrondi � 0, 1%.
(110-120) / 120 x100 = -8,3 %.
2. La ligne 4 est
au format pourcentage arrondi � 0,1%. Quelle formule, � recopier vers
la droite, peut-on saisir en C4 pour obtenir les taux d’�volution entre
deux ann�es cons�cutives du nombre de b�n�ficiaires de l’ACTP ?
=(C3-B3)/B3
3. Sur le graphique donn� en annexe 1, � rendre avec la copie, repr�senter le nuage de points de coordonn�es (xi ; yi) associ� aux donn�es du tableau pr�c�dent.
4. D�terminer les coordonn�es du point moyen G de ce nuage de points et placer ce point G sur le graphique.
xmoyen = (0+1+2+3+4+5+6+7+8+9) / 10 =4,5.
ymoyen =(120+110+100+92+87+82+76+72+69+65) / 10 = 87,3.
5. On d�cide d’ajuster ce nuage de points par la droite (D) d’�quation : y = −5,9x + 113,85.
(a) V�rifier que le point G appartient � la droite (D).
y = -5,9 x4,5 +113,85 =87,3 = yG.
(b) Tracer la droite (D) sur le graphique de l’annexe 1 en pr�cisant les coordonn�es des points utilis�s.
Le point G et le point de coordonn�es ( 0 ; 113,85 ).
6. En prenant cet
ajustement comme mod�le d’�volution jusqu’en 2019, estimer le nombre de
b�n�ficiaires de l’ACTP en France en 2019. Pr�ciser la d�marche
employ�e.
x = 12 ; y = -5,9 x12 +113,85 = 43,05 ~43 milliers.
Partie B :
En ce qui concerne la PCH (Prestation de Compensation du Handicap), le
nombre de b�n�ficiaires en 2015 �tait de 266 000. On estime que le
nombre de b�n�ficiaires augmente de 6% par an � partir de 2015.
Pour tout entier naturel n, on note un le nombre de b�n�ficiaires (en milliers) de la PCH, estim� selon ce mod�le, pour l’ann�e (2015+n). On a ainsi u0 = 266.
1. Calculer les valeurs de u1 et u2.
u1 = 1,06 u0 = 1,06 x 266 =281,96.
u2 = 1,06 u1 = 1,06 x 281,96 =298,88.
2. Indiquer, sans justification, la nature de la suite (un) et pr�ciser sa raison.
Suite g�om�trique de premier terme u0 = 266 et de raison 1,06.
3. (a) Exprimer un en fonction de n, pour tout entier naturel n.
un = 266 x1,06n.
(b) En d�duire une estimation, arrondie au millier, du nombre de b�n�ficiaires de la PCH en 2022.
n = 7 ; u7 = 266 x1,067 = 399,97.
4. D�terminer l’ann�e � partir de laquelle le nombre de b�n�ficiaires de la PCH d�passera 500 000.
Pr�ciser la d�marche employ�e.
266 x1,06n > 500 ; 1,06n > 500 / 266 ; 1,06n >1,8797 ; n log(1,06) > log(1,8797) ; n > 10,83 : n = 11. ( ann�e 2025 )
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Exercice 3. ( 7
points )
Partie A :
On consid�re la fonction f d�finie sur l’intervalle [0 ; 16] par :
f(x) = −0,16x3 + 2,22x2 − 3,7848x + 30 .
1. On note f ′ la fonction d�eriv�e de la fonction f.
D�terminer f ′(x) pour tout r�el x de l’intervalle [0 ; 16].
f '(x) = -0,16 *3 x2 +2,22*2 x-3,7848.
f '(x) = -0,48 x2 +4,44 x -3,7848.
2. V�erifier que : f′(x) = (x − 8,3)(−0,48x + 0,456).
On d�veloppe : -0,48 x2 +0,456 x+8,3 *0,48 x -8,3 *0,456 = -0,48 x2 +4,44 x -3,7848.
3. Compl�ter le tableau de l’annexe 2, � rendre avec la copie, qui donne le signe de la d�riv�e f ′ et les variations de f.
4. Donner le maximum de la fonction f sur [0 ; 16] (arrondi � l’unit�) et la valeur pour laquelle il est atteint.
Partie B :
On s’int�resse � l’�volution de la quantit� d’antig�nes, d’une part, et
de la quantit� d’anticorps, d’autre part, pr�sents dans le sang d’une
personne contamin�e par des bact�ries pathog�nes, dans les jours qui
suivent la contamination.
On donne en annexe 2, � rendre avec la copie, les courbes repr�sentatives de deux fonctions dans un rep�re du plan :
• Cf est la courbe repr�sentative de la fonction f �tudi�e
dans la partie A : elle repr�sente la quantit� d’antig�nes pr�sents
dans le sang en UA (Unit� Arbitraire) en fonction du temps (en jours)
�coul� depuis la contamination.
• Cg repr�sente la quantit� d’anticorps dans le sang en UA
(Unit� Arbitraire) en fonction du temps (en jours) �coul� depuis la
contamination.
En s’aidant du graphique de l’annexe 2, et en faisant appara�tre les
traits utiles � la lecture, r�pondre aux questions suivantes :
1. (a) Quelle est la quantit� d’antig�nes pr�sents dans le sang 6,5 jours apr�s la contamination ?
55 UA.
(b) Au bout de combien de temps commence la production d’anticorps ?
Au bout de 3 jours.
2. Pendant combien de temps la quantit� d’antig�nes d�passe-t-elle 50 UA?
5 jours.
3. Au bout de combien de temps la quantit� d’antig�nes est-elle maximale ? Quelle est alors cette quantit� en UA?
Au bout de 8,3 jours, la quantit� d'antig�nes est maximale et vaut 60 UA.
4. La personne est
consid�r�e comme gu�rie lorsque la quantit� d’anticorps pr�sents dans
le sang est sup�rieure � la quantit� d’antig�nes pr�sents dans le sang.
Au bout de combien de temps cette personne peut-elle �tre consid�r�e
comme gu�rie ?
12,3 jours.
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