Math�matiques,
bac St2S M�tropole septembre 2019.
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Exercice 1. 6 points
PARTIE A : �tude d’une fonction
On consid�re la fonction f d�finie sur l’intervalle [0; 12] par :
f (t )= 10 / (t+1).
1. On admet que la fonction d�riv�e f ′ de f est d�finie sur l’intervalle [0; 12] par :
f ′(t ) = −10 / (t +1)2 .
a. Expliquer pourquoi le signe de f ′(t ) est n�gatif sur l’intervalle [0; 12].
Le terme (t+1)2 est toujours positif.
b. �tablir le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0; 12].
On pr�cisera dans le tableau les images de 0 et de 12 par la fonction f .
2. Compl�ter le tableau de valeurs de la fonction f . On arrondira si besoin � 10−1.
t
|
0
|
0,5
|
1
|
1,5
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
8
|
10
|
12
|
f(t)
|
10
|
6,7
|
5
|
4
|
3,3
|
2,5
|
2
|
1,7
|
1,4
|
1,1
|
0,9
|
0,8
|
3. Tracer la courbe (C) repr�sentative de la fonction f .
4. a. V�rifier que f ′(0) = −10 et interpr�ter ce nombre g�om�triquement.
b. Tracer la tangente (T ) � la courbe (C) au point d’abscisse 0.
f'(0) = -10 /12 = -10.
Le coefficient directeur de la tangente � la courbe � l'origine est
�gal � -10. Ce nombre, en valeur absolue, correspond � la vitesse de
disparition des bact�ries.
PARTIE B : application
Dans le cadre d’une �tude, un laboratoire expose une culture de bact�ries � des rayons ultraviolets (UV).
Ces rayons ont un effet d�sinfectant et provoquent la diminution du nombre de bact�ries.
On suppose que le nombre (en millions) de bact�ries pr�sentes au bout
du temps t (exprim� en heures) �coul� depuis le d�but de l’exposition
aux UV est donn� par la fonction f d�finie sur [0; 12] par : f (t )= 10
/(t+1)..
On se servira de la partie A pour r�pondre aux questions suivantes :
1. Utilisation de la fonction f .
a. D�terminer le nombre de bact�ries pr�sentes au d�but de l’exp�rience.
10 millions.
b. Quel est le
temps n�cessaire pour que soient �limin�es 90% des bact�ries pr�sentes
au d�but de l’exp�rience? Pr�ciser la m�thode utilis�e.
10 x0,1 = 1 million.
1= 10 / (t+1) ; t+1 = 10 ; t = 9 heures.
2. Utilisation de la fonction f ′.
On admet que, pour tout r�el t de l’intervalle [0; 12], le nombre
d�riv� f ′(t ) correspond � la vitesse d’�volution du nombre de
bact�ries � l’instant t . Comparer les vitesses d’�volution du nombre
de bact�ries aux instants 0 et 4. Auquel de ces deux instants la
d�croissance est-elle la plus forte ?
f '(0) = -10 ; f '(4) =-10 / (1+4)2 =-0,4. La vitesse de disparition des bact�ries est la plus forte pour t = 0.
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...
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Exercice 2. 6 points.
Les deux parties de cet exercice peuvent �tre trait�es demani�re ind�pendante.
Le tableau ci-dessous donne le nombre des unions civiles, PACS* ou
mariages, enregistr�es en France entre 2005 et 2016. (PACS*. Pacte
Civil de Solidarit�).
Ann�e
|
2005
|
2006
|
2007
|
2008
|
2009
|
2010
|
2011
|
2012
|
2013
|
2014
|
2015
|
2016
|
Rang de l'ann�e
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
Nombre de mariages ( en milliers)
|
283
|
274
|
273
|
265
|
251
|
252
|
237
|
246
|
239
|
241
|
236
|
233
|
Nombre de PACS ( en milliers)
|
60
|
77
|
102
|
146
|
174
|
205
|
152
|
160
|
169
|
174
|
189
|
192
|
Source INSEE.
PARTIE A : �tude de l’�volution du nombre demariages
1. Repr�senter le nuage de points de coordonn�es (xi ; yi ) o� xi d�signe le rang de l’ann�e et yi le nombre demariages.
2. Calculer les coordonn�es du point moyen G. Placer G dans le rep�re.
3. On r�alise un ajustement affine de ce nuage � l’aide de la droite (d1) d’�quation : y = −4,4x + 281,1.
Tracer la droite (dl) sur le graphique. Indiquer sur la copie les coordonn�es des points utilis�s.
4. On suppose que
ce mod�le d’ajustement reste valable jusqu’en 2025. D�terminer le
nombre de mariages pr�visibles en 2020. Pr�ciser la d�marche utilis�e.
La droie (d) passe par le point G et le point de coordonn�es (0 ; 281,1).
En 2025, x = 19 ; -4,4 x19 +281,1 ~198.
PARTIE B : comparaison des PACS et mariages
1.
D’apr�s les indications du tableau, calculer la part exprim�e en
pourcentage, arrondie � 1%, des mariages enregistr�s en 2016 par
rapport � l’ensemble des unions civiles de cette m�me ann�e.
Nombre d'unions civiles : 233 +192 = 425.
part des mariages : 233 / 425 x100 ~55 %.
2. On
a repr�sent� le nuage de points correspondant aux nombres annuels de
PACS � partir de l’ann�e 2011. On a effectu� un ajustement affine de ce
nuage de points �
l’aide de la droite (d2) d’�quation : y = 8,5x +92.
On suppose que cet ajustement permet de mod�liser jusqu’en 2025
l’�volution du nombre annuel y de PACS en fonction du rang x de l’ann�e.
D’apr�s ce mod�le, � partir de quelle ann�e le nombre de PACS sera-t-il
sup�rieur au nombre de mariages ? Expliquer la d�marche employ�e.
8,5x +92 > −4,4x + 281,1 :
8,5x +4,4 x >281,1-92 ; 12,9 x > 189,1 ; x > 14,65 ( 15).
Ann�e : 2005 +15 = 2020.
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Exercice 3. 8 points.
Un cabinet d’orthophonie fait le bilan de son activit�.
PARTIE A : �volution du nombre trimestriel de s�ances
Dans cette partie, on s’int�resse au nombre de s�ances d’orthophonie r�alis�es chaque trimestre au sein du cabinet.
Une feuille de calcul automatis�e donne l’�volution du nombre de
s�ances r�alis�es du premier trimestre 2016 jusqu’au premier trimestre
2018 inclus.
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
G
|
H
|
I
|
J
|
1
|
Ann�e
|
2016
|
2017
|
2018
|
2
|
Trimestre
|
1
|
2
|
3
|
4
|
1
|
2
|
3
|
4
| 1
|
3
|
Nombre de s�ances
|
475
|
494
|
511
|
520
|
537
|
547
|
564
|
581
| 598
|
4
|
Taux d'�volution entre 2 trimestres cons�cutifs
|
|
4 %
|
|
|
|
|
|
|
|
Les cellules de la ligne 4, de C4 � J4, sont au format pourcentage.
1. Calculer le taux
d’�volution du nombre de s�ances entre le deuxi�me et le troisi�me
trimestre 2016. Le r�sultat sera arrondi � 0,1%.
(511-494) / 494 x100 = 3,4 %.
2. Proposer une
formule � saisir dans la cellule C4 qui, recopi�e vers la droite,
permet de calculer le taux d’�volution du nombre de s�ances r�alis�es
par le cabinet d’orthophonie entre deux trimestres cons�cutifs.
=(C3-B3)/B3.
PARTIE B : mod�lisation de l’�volution
Dans cette deuxi�me partie, on consid�re que, � partir du premier
trimestre 2018, le nombre trimestriel de s�ances d’orthophonie
augmentera au rythme de 3% par trimestre. On mod�lise, � l’aide d’une
suite g�om�trique (rn), le nombre trimestriel de s�ances
r�alis�es par le cabinet, l’entier n d�signant le nombre de trimestres
�coul�s depuis le d�but de l’ann�e 2018. Ainsi r1 = 598.
1. Justifier que la raison de la suite g�om�trique (rn) est �gale � 1,03.
Chaque trimestre, le nombre de s�ances augmente de 3 %.
2. Calculer dans le cadre de cette mod�lisation le nombre de s�ances r�alis�es au cours du premier trimestre 2019.
n = 4 ; r4 = 598 x1,034 =673.
3. R�soudre, dans l’ensemble des r�els, l’in�quation : 598�1,03x−1 >800.
1,03x-1 > 800 / 598.
(x-1) ln(1,03) > ln (800 / 598) ;
x-1 > ln(800 / 598)/ ln(1,03) ; x-1 >0,291 / 0,02956 ; x-1 > 9,84; x > 10,84 (~11).
4. Les
orthophonistes estiment qu’ils devront recruter un nouveau coll�gue
lorsque le nombre trimestriel de s�ances d�passera 800. Selon ce
mod�le, d�terminer le trimestre et l’ann�e � partir desquels il faudra
faire ce recrutement.
Ann�e 2020 ; fin du troisi�me trimestre.
PARTIE C : �tude de la nature des prescriptions d’orthophonie
Dans cette derni�re partie, on �tudie, pour l’ann�e 2016, les prescriptions de s�ances d’orthophonie.
On s’int�resse d’une part au type de prescripteur (m�decin g�n�raliste
ou sp�cialiste) et d’autre part � la nature de la pathologie trait�e
selon trois cat�gories :
• troubles de l’articulation, de la parole ou du langage;
• dyslexie, dysorthographie, dyspraxie;
• autres pathologies.
On r�alise cette �tude sur un �chantillon de 2 000 s�ances effectu�es en 2016.
Il en ressort que :
• 79,9% des prescriptions ont �t� effectu�es par un m�decin g�n�raliste ;
• parmi les s�ances prescrites par un m�decin g�n�raliste, la moiti� concerne la dyslexie, la dysorthographie ou la dyspraxie ;
• un tiers des s�ances prescrites par un m�decin sp�cialiste sont en
lien avec les troubles de l’articulation, de la parole ou du langage ;
• 55% des 380 s�ances associ�es aux autres pathologies sont prescrites par un m�decin sp�cialiste.
1. Compl�ter le tableau suivant.
|
G�n�ralistes
|
Sp�cialistes
|
Total
|
Troubles de l'articulation
de la parole ou du langage
|
1598-799-171=628
|
402 / 3 =134
|
762
|
Dyslexie, dyorthographie,
dyspraxie
|
1598 / 2 =799
|
402-134-209 = 59
|
858
|
Autres pathologies
|
380-209 =171
|
380 x 0,55 =209
|
380
|
Total
|
2000 x 0,799 =1598
|
2000-598 =402 |
2000
|
2. On choisit au hasard une s�ance dans l’�chantillon. On d�finit les �v�nements suivants :
T : � la s�ance concerne un trouble de l’articulation, de la parole ou du langage � ;
D : � la s�ance concerne une dyslexie, une dysorthographie ou une dyspraxie � ;
A : � la s�ance concerne une autre pathologie � ;
G : � la s�ance est prescrite par un m�decin g�n�raliste �.
a. On consid�re PA(G). Traduire cette probabilit� � l’aide d’une phrase.
Probabilit� qu'une s�ance soit prescrite par un g�n�raliste sachant qu'elle concerne une autre pathologie.
b. Calculer PA(G).
PA(G) =171 / 380 = 0,45.
c. Les �v�nements A et G sont-ils ind�pendants ? Justifier.
P(A) = 380 / 2000 =0,19 ; P(G) =1598 / 2000 =0,799 ; P(A n G) = 171 / 1598=0,107.
P(A n G) diff�re de P(A) x P(G). Les �v�nements A et G ne sont pas ind�pendants.
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