Math�matiques,
bac St2S Antilles septembre 2019.
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d’int�r�ts.
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Exercice 1.
6 points
L’animatrice
d’une maison de retraite propose deux sorties aux 80 r�sidents : la
visite d’une fromagerie et la visite d’un mus�e.
Sur les 80 r�sidents,
• 30 r�sidents se sont inscrits � la visite de la fromagerie,
• 25 r�sidents se sont inscrits � la visite du mus�e,
• 20 r�sidents se sont inscrits aux deux visites.
1. Compl�ter le tableau d’effectifs. Aucune justification n’est exig�e.
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Inscrits � la fromagerie
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Non inscrits � la fromagerie
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Total
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Inscrits � la visite du mus�e
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20
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25-20=5
|
25
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Non inscrits � la visite du mus�e
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30-20=10
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50-5=45
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80-25=55
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Total
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30
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80-30 = 50
|
80
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2. On choisit un r�sident au hasard.
On note F l’�v�nement : � le r�sident est inscrit � la visite de la fromagerie �.
On note M l’�v�nement : � le r�sident est inscrit � la visite du mus�e �.
a. D�terminer les probabilit�s P(F) et P(M).
P(F) = 30 / 80 =0,375.
P(M) =25 / 80 =0,3125.
b. D�finir par une phrase l’�v�nement F ∩M et calculer la probabilit� de cet �v�nement.
Probabilit� q'un r�sident se soit inscrit aux deux visites : 20 /80 = 0,25.
c. Calculer la probabilit� que le r�sident choisi au hasard soit inscrit � la visite de la fromagerie ou � la visite du mus�e.
P(F u M) =P(F) + P(M) -P(F n M) =0,375 +0,3125 -0,25 =0,4375.
3. D�terminer PF (M). Interpr�ter le r�sultat dans le contexte de l’exercice.
PF (M) =P(F n M) / P(M) =0,25 / 0,3125 =0,80.
Probabilit� qu'un r�sident visite le mus�e sachant qu'il a visit� la fromagerie.
4. a.
Montrer que si un r�sident n’est pas inscrit � la visite du mus�e,
alors il y a plus de 8 chances sur 10 pour qu’il ne soit pas inscrit �
la visite de la fromagerie.
Pnon M( non F) =45 / 50 =0,90.
b.
L’animatrice affirme que si un r�sident n’est pas inscrit � une des
visites, il y a une forte probabilit� qu’il ne soit pas inscrit �
l’autre.
Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier la r�ponse.
Pnon F( non M) =10 / 45 ~0,222.
L'affirmation est vraie.
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Exercice 2. 8 points.
En France, nous sommes tous des donneurs potentiels d’organes et de tissus, sauf en cas de refus explicite.
Dans un rapport sur l’application de la loi de bio�thique, en date de
janvier 2018, l’agence de biom�decine fait �tat de l’�volution du
nombre de donneurs d�c�d�s en �tat de mort enc�phalique, et des
pr�l�vements effectifs sur ces donneurs.
Les parties A et B de cet exercice peuvent �tre trait�es de mani�re ind�pendante.
Partie A : donneurs d�c�d�s
Le nombre de donneurs d�c�d�s, en �tat de mort enc�phalique, de 2012 � 2016, est donn� par le tableau suivant :
Ann�e
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2012
|
2013
|
2014
|
2015
|
2016
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Rang
de l'ann�e xi
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0
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1
|
2
|
3
|
4
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Nombre
de donneurs yi
|
3301
|
3336
|
3547
|
3579
|
3676
|
1. Repr�senter le nuage de points de coordonn�es (xi ; yi ) associ� aux donn�es du tableau pr�c�dent.
2. a. Montrer que les coordonn�es du point moyen G de ce nuage sont G(2; 3487,8).
(0 +1 +2 +3 +4 ) 5 =2.
(3301 +3336 +3547 +3579 +3676) / 5 = 3487,8.
b. Placer G sur le graphique.
3. Soit (D) la droite d’�quation = 99,1x +3289,6.
a. Montrer que G appartient � cette droite (D).
99,1 x2 +3289,6 =3487,8 = yG.
b. Tracer la droite (D) en pr�cisant les coordonn�es des points utilis�s.
Point G et point de coordonn�es (0 ; 3289,6).
4. On d�cide de
faire un ajustement affine du nuage de points par la droite (D). On
consid�re que cet ajustement est valable jusqu’en 2025. � l’aide de cet
ajustement, estimer :
a. graphiquement, l’ann�e � partir de laquelle le nombre de donneurs d�passera 4 000 ;
b. par le calcul, le nombre de donneurs en 2023.
x = 11 ; y = 99,1 x11 +3289,6 ~4380.
PARTIE B :
Les donneurs d�c�d�s, en �tat demort enc�phalique, effectivement pr�lev�s sont donn�s par le tableau suivant :
Ann�e
|
2012
|
2013
|
2014
|
2015
|
2016
|
Nombre de donneurs pr�lev�s
|
1589
|
1627
|
1655
|
1769
|
1770
|
La tendance de croissance observ�e sur la p�riode 2012-2016 permet de
mod�liser l’�volution du nombre de donneurs pr�lev�s chaque ann�e, par
une augmentation annuelle de 2,7% � partir de l’ann�e 2016.
On note alors vn l’estimation, selon ce mod�le, du nombre de donneurs pr�lev�s au cours de l’ann�e (2016+n), pour n entier naturel.
Ainsi v0 = 1770.
1. Calculer v1 et v2 (arrondir les r�sultats � l’unit�). Interpr�ter le r�sultat trouv� pour v2 dans le contexte de l’exercice.
v1 = 1,027 v0 = 1,027 x1770 ~1818.
v2 = 1,027 v1 = 1,027 x1818 ~1867.
2. On utilise la feuille de calcul ci-dessous pour calculer l’estimation selon ce mod�le du nombre de donneurs pr�lev�s.
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A
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B
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C
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D
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E
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F
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G
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H
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I
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1
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Ann�e
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2016
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2017
|
2018
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2019
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2020
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2021
|
2022
|
2023
|
2
|
Nombre de donneurs pr�lev�s
|
1770
|
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Quelle formule, � recopier vers la droite, peut-on saisir dans la
cellule C2 pour obtenir l’estimation du nombre de donneurs pr�lev�s les
ann�es suivantes ?
=B2*1,027
3. Indiquer, sans justification, la nature de la suite (vn) et pr�ciser sa raison.
Suite g�om�trique de raison 1,027.
4. Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n.
vn = 1770 x1,027n.
5. Montrer que, selon ce mod�le, on peut estimer � 2 133 le nombre de donneurs pr�lev�s en 2023.
n =7 ; v7 = 1770 x1,0277 ~2133.
Partie C :
Un analyste affirme que, selon les estimations des parties A et B, la
proportion de donneurs d�c�d�s en �tat de mort enc�phalique en 2023 qui
seront effectivement pr�lev�s ne d�passera pas 50%. Cette affirmation
est-elle correcte ? Justifier la r�ponse.
2133 /4380 x100 =48,7 %. L'affirmation est correcte.
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Exercice 3. 6 points.
Le
r�seau Sentinelles a recens� en continu le nombre de personnes
atteintes de la grippe sur une p�riode de 15 semaines au cours de
l’hiver 2017.
Le seuil �pid�mique �tant fix� � 175 cas pour 100 000 habitants, le
suivi �pid�miologique est d�clench� apr�s 7 semaines de recensement et
s’ach�ve � la fin de la 15e semaine.
La courbe suivante repr�sente l’�volution du nombre de cas pour 100 000 habitants sur la p�riode de suivi �pid�miologique.
Partie A : Lectures graphiques
On fera appara�tre les traits utiles � la lecture.
1. a. Apr�s combien de semaines de recensement, le pic �pid�miologique a-il �t� atteint ?
10 semaines
b. Quel a �t� le nombre de cas recens�s pour 100 000 habitants au moment de ce pic ?
400
2. Durant combien de semaines, le nombre de cas de grippe pour 100 000 habitants a-t-il �t� sup�rieur � 300?
environ 5 semaines.
3. Apr�s combien de
semaines de recensement le nombre de cas de grippe pour 100 000
habitants est-il redevenu inf�rieur au seuil �pid�mique ?
14 semaines.
Partie B : �tude de fonction
Soit la fonction f d�finie sur l’intervalle [7; 15] par :
f (x) = 1,3x3 −58,5x2 +780x −2850.
Cette fonction f permet de mod�liser, en fonction du temps x exprim� en
semaines, l’�volution du nombre de cas de grippe pour 100 000 habitants
sur la p�riode de suivi �pid�miologique.
1. Calculer f (7), f (10) et f (15).
f(7) = 1,3 x73 -58,5 x72 +780 x7 -2850 =445,9- 2866,5 +5460 -2850 =189,4.
f(10) = 1,3 x103 -58,5 x102 +780 x10 -2850 =1300- 5850 +7800 -2850 =400.
f(15) = 1,3 x153 -58,5 x152 +780 x15 -2850 =4387,5- 13162,5 +11700 -2850 =75.
2. On note f ′ la fonction d�riv�e de la fonction f .
a. D�terminer f ′(x) pour tout r�el x de l’intervalle [7; 15].
f 'x) =1,3 x3 x2 -2 x58,5 x +780 =3,9 x2 -117 x +780
b. V�rifier que f ′(x) = 3,9(x −10)(x −20).
On d�veloppe : 3,9 x2 -39 x -78 x +780 = 3,9 x2 -117 x +780.
3. Compl�ter le tableau, qui donne le signe de la d�riv�e f ′ et les variations de f .
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