Math�matiques, bac Sti2D et STL ( SPCL) m�tropole 2019.

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Exercice 1 ( 4 points).
Cet exercice est un questionnaire � choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre r�ponses propos�es est exacte. Aucune justification n’est demand�e. Une bonne r�ponse rapporte un point. Une mauvaise r�ponse, plusieurs r�ponses ou l’absence de r�ponse � une question ne rapportent ni n’enl�vent de point.
Indiquer sur la copie le num�ro de la question et la lettre correspondant � la r�ponse.
1. Le plan complexe est muni d’un rep�re orthonorm� direct.
On note zA l’affixe d’un point A appartenant au cercle de centre O et de rayon 4. La partie r�elle de zA est positive et sa partie imaginaire est �gale � 2.
Le nombre complexe zA a pour forme exponentielle :
a. 4 exp(-ip/6) ; b. -4 exp(ip/6) ; c. 4 exp(ip/6) ; d. -4 exp(-ip/6).
zA =a+2i avec a positif.
4 = (a2 +22)� ; 16 = a2 +4 ; a = 2*3�.
zA = 4(3�/ 2 +0,5 i) = 4(cos (p/6) + i sin(p/6) ) = 4 exp(ip/6).

2. Le nombre -3 est solution de l’�quation :
a. ln(x) = - ln(3) ; b. ln(ex ) = -3 (vrai)  c. eln(x) = 3 ; d. ex = 3.
ln(ex ) = x = -3.

 3. On consid�re la fonction g d�finie sur l’intervalle ] -0,5 ; + oo[ par g (x) =ex /(2x+1)..
La fonction g est d�rivable sur cet intervalle.
a. g'(x) = ex/2 ; b. g'(x) = ex /(2x+1)2 ; c. g'(x) = (2x+3)ex / (2x+1)2.
d. aucune des r�ponses pr�c�dentes.( vrai).
On pose u = ex et v = 2x+1 ; u' = ex ; v' = 2.
(u'v -v'u) / v2 =ex(2x+1 -2) / (2x+1)2 = ex(2x-1) / (2x+1)2 .

4. On consid�re l’�quation diff�rentielle y" +4y =0 dans laquelle y est une fonction de la variable r�elle x, d�finie et deux fois d�rivable sur R.
Une fonction f , solution de cette �quation diff�rentielle, qui v�rifie f (0)= 1 est d�finie sur R par :
a. f (x) = e2x ; b. f (x) = cos(2x) (vrai)  c. f (x) = sin(2x) ; d. f (x) = cos(4x).
Equation caract�ristique : r2+4 =0 ;r2 = -4 = 4 i2 ;  r = �2i ;
Solution g�n�rale : f(x) = A cox (2x+B) avec A et B des constantes.
f(0) = A cos B = 1 ; B = 0 et A = 1. f(x) = cos(2x).



Exercice 2 ( 7 points ).
Les parties A et B de cet exercice sont ind�pendantes.
Le conservatoire des espaces naturels d’une r�gion s’occupe d’une zone prot�g�e de 1800 hectares.
Depuis plusieurs ann�es, il surveille le domaine d’extension d’une plante invasive.
Cette plante inhabituelle, d’origine exotique, devient envahissante et cause une r�gression de la biodiversit�. Si le conservatoire constate qu’� la fin d’une ann�e l’aire de la surface occup�e par la plante d�passe 80 hectares, cette plante fera alors l’objet d’un plan d’�limination progressive � partir de l’ann�e suivante.
Partie A.
1. Des relev�s de la surface occup�e par cette plante ont �t� effectu�s sur le terrain, en fin d’ann�e, de 2015 � 2018 :
Ann�e
 2013
 2016
 2017
 2018
Surface en ha
 63
 66,2
 69,5
 73

Le conservatoire estime que l’aire de la surface occup�e par cette plante a augment� de 5% environ chaque ann�e.
V�rifier que cette estimation est coh�rente avec les relev�s pris sur le terrain.
63 x1,05 =66,15 ; 66,2 x1,05 =69,51 ; 69,5 x1,05 =72,975.
2. On consid�re qu’� partir de l’ann�e 2018 la surface occup�e par la plante augmente chaque ann�e de 5%.
Expliquer alors pourquoi la d�cision de commencer l’�limination de la plante devrait �tre prise � la fin de l’ann�e 2020 par le conservatoire.
Surface occup�e fin 2019 : 73 x1,05 =76,65 ; fin 2020 : 76,65 x1,05 =80,48, valeur su�prieure � 80 ha.
3. Le conservatoire d�cide de mettre enoeuvre un plan d’�limination progressive. Ce plan pr�voit d’�liminer la plante, par arrachage ou par br�lage thermique, sur une surface de 10 hectares � chaque fin d’ann�e, � partir de l’ann�e 2021.
Pour tout entier naturel n, on d�signe par Pn l’aire de la surface occup�e par la plante, exprim�e en hectares, en fin d’ann�e � 2020+n , en prenant P0 = 80,5.
a. Montrer que P1 = 74,525.
P1 = 80,5 x1,05 -10 =74,525.
b. Justifier que pour tout entier naturel n, on a : Pn+1= 1,05Pn-10.
Chaque ann�e la surface cro�t de 5 % et en fin d'ann�e 10 ha sont d�truits.
c. Donner une valeur arrondie de P2 � 10-3 pr�s.
P2 = 74,525 x1,05 -10 =68,251.
d. Pourquoi la suite (Pn) n’est-elle pas g�om�trique?
On ne passe pas d'un terme au suivant en le multipliant par un nombre constant.
4. Le conservatoire d�cidera de mettre fin au plan d’�limination d�s que l’aire de la surface occup�e par la plante sera inf�rieure
� 6 hectares. Recopier et compl�ter l’algorithme suivant pour qu’� la fin de son ex�cution, la variable n contienne
le nombre d’ann�es de mise en oeuvre du plan.
n=0
P =80,5
Tant que P> 6
P = P x1,05-10
n= n+1 .
Fin Tant que
5. � la fin de quelle ann�e le plan d’�limination prendra-t-il fin ?
P3 = 68,251 x1,05 -10 =61,664 ;
P4 = 61,664 x1,05 -10 =54,747 ;
P5 = 54,747 x1,05 -10 =47,484 ; 
P6 = 47,484 x1,05 -10 =39,859 ; 
P7 = 39,859 x1,05 -10 =31,851 ;
P8 = 31,851 x1,05 -10 =23,444 ;
P9 = 23,444 x1,05 -10 =14,616 ;
P10 =14,616 x1,05 -10 =61,6645,347. ( fin 2030).



Partie B.
Le logo utilis� par le conservatoire pour la communication est constitu� de deux feuilles sym�triques l’une de l’autre.
Soient les fonctions f et g d�finies sur l’intervalle [0,1 ; 0,125 ] par f (x) = 0,2 / x et g (x) = -x2+0,2x +1.
On note Cf et Cg les courbes repr�sentatives de ces fonctions trac�es dans le rep�re orthonorm� ci-dessous.
On admet que ces deux courbes Cf et Cg se coupent en deux points.

La feuille gauche du logo correspond � la partie gris�e du plan, d�limit�e par ces deux courbes.
1. V�rifier par le calcul que 0,2 est une solution de l’�quation f (x) = g (x).
0,2 /x = -x2 +0,2x +1.
-x3 +0,2x2 +x-0,2 = 0.
-0,23 +0,23 +0,2-0,2 = 0 est v�rifi�e.
2. D�terminer graphiquement la seconde solution de cette �quation.
x = 1.
3. a. Interpr�ter graphiquement l’int�grale 
Aire du domaine limit� par la courbe Cg, l'axe des abscisses et les droites d'�quation x = 0,2 et x = 1..
b. Donner une valeur approch�e de cette int�grale � 10-2 pr�s.
Primitive de g(x) : -x3 /3 +0,1 x2 +x.
I =(-1 / 3 +0,1 + 1) -(0,23 /3 +0,1 *0,22+0,2)= 0,7667 -0,2013 ~0,57.
4. a. Montrer que la fonction F d�finie sur l’intervalle [0,1;1,25] par F(x) =  0,2 ln(x). est une primitive sur l’intervalle [0, 1; 1,25] de la fonction f .
F'(x) = 0,2 / x = f(x).
b. Calculer la valeur exacte de
J = 0,2 ln(1) -0,2 ln(0,2) ~0,32.
5. On admet que la courbe Cg est situ�e au-dessus de la courbe Cf sur l’intervalle [0,2 ; 1]
L’unit� choisie sur chacun des axes est de 2,5 cm.
En d�duire, au cm2 pr�s, une valeur approch�e de l’aire totale du logo.
2 (0,57 -0,32) x2,52 ~3 cm2.


Exercice 3 (4 points)
Le clinker est un constituant du ciment qui r�sulte de la cuisson d’un m�lange compos� de calcaire et d’argile. La fabrication du clinker n�cessite des fours � tr�s haute temp�rature qui
lib�rent dans l’air une grande quantit� de dioxyde de carbone (CO2).
Dans une cimenterie, la fabrication du clinker s’effectue de 7h30 � 20h, dans une pi�ce de volume 900 000 dm3.
� 20h, apr�s une journ�e de travail, le taux volumique de CO2 dans la pi�ce est de 0,6%.
1. Justifier que le volume de CO2 pr�sent dans cette pi�ce � 20h est de 5400 dm3.
900 000 x0,6 /100 =5400 dm3.
2. Pour diminuer ce taux de CO2 durant la nuit, l’entreprise a install� dans la pi�ce une colonne de ventilation. Le volume de CO2, exprim� en dm3, est alors mod�lis� par une
fonction du temps t �coul� apr�s 20h, exprim� en minutes. t varie ainsi dans l’intervalle [0 ; 690] puisqu’il y a 690 minutes entre 20h et 7h30. On admet que cette fonction
V , d�finie et d�rivable sur cet intervalle est une solution, sur cet intervalle, de l’�quation diff�rentielle (E) : y' +0,01 y = 4,5.
a. D�terminer la solution g�n�rale de l’�quation diff�rentielle (E).
Solution g�n�rale de l'�quation y' +0,01y =0 : f(t) = A e-0,01t, avec A une constante.
Solution particuli�re de (E) : y = 4,5 /0,01 = 450.
Solution g�n�rale de (E) : V(t) =A e-0,01t +450.
b. V�rifier que pour tout r�el t de cet intervalle, V(t) =4950 e-0,01t +450.
V(0) = A +450 = 5400 ; A = 4950.
 V(t) =4950 e-0,01t +450.
3. Quel sera, au dm3 pr�s, le volume de CO2 dans cette pi�ce � 21h?
t = 60 ; V(60) = 4950 e-0,6 +450.~3167 dm3.
4. Les responsables de la cimenterie affirment que chaque matin � 7h30 le taux de CO2 dans cette pi�ce est inf�rieur � 0,06%.
Cette affirmation est-elle vraie? Justifier la r�ponse.
900 000 x0,06 / 100 =540 dm3.
V(690) = 4950 e-6,9 +450 ~455 dm3 , valeur inf�rieure � 540. L'affirmation est vraie.
5. D�terminer l’heure � partir de laquelle le volume de CO2 dans la pi�ce deviendra inf�rieur � 900 dm3.
4950 e-0,01t +450 < 900 ;
4950 e-0,01t < 450 ; e-0,01t < 450 / 4950 ;
-0,01t < ln(450 / 4950) ; -0,01 t < -2,398 ; t > 239,8.
239,8 / 60 ~ 4 heures. ( 24 heures).
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Exercice 4 (5 points)
Dans cet exercice, les r�sultats sont � arrondir � 10-3 pr�s.
Les trois parties sont ind�pendantes.
Partie A.
Les t�l�phones portables int�grent des capteurs photographiques de plus en plus �volu�s. Ces capteurs sont fragiles et ont une dur�e de vie limit�e.
La dur�e de fonctionnement sans panne, exprim�e en ann�es, d’un capteur photographique est mod�lis�e par une variable al�atoire D qui suit la loi normale de param�tres � =4 et
s=1,23.
1. Quelle est la dur�e moyenne de fonctionnement sans panne d’un capteur photographique ?
4 ans.
2. D�terminer la probabilit� P(3,5<D < 4, 5).
P(3,5 < D) =0,34218 ; P(4,5 < D) =0,65781 ; P(3,5<D < 4, 5) = 0,65781 -0,34216 ~0,316.
3. Lors de l’achat d’un t�l�phone portable, la garantie pi�ces et main d’oeuvre est de deux ans. Quelle est la probabilit� que la dur�e de fonctionnement sans panne d’un capteur photographique soit inf�rieure � la dur�e de garantie ?
P(2 < D)= 0,05197~0,0520

Partie B.
Lorsqu’un t�l�phone portable devient d�fectueux et qu’il est encore sous garantie, le client peut le d�poser dans un point de vente agr�� pour r�paration ou �change contre un appareil
neuf. On s’int�resse au temps d’attente, exprim� en jours, avant le retour de l’appareil, r�par� ou �chang�. Ce temps peut �tre mod�lis� par une variable al�atoire T qui suit la loi exponentielle
de param�tre  l= 0,025.
1. a. D�terminer l’esp�rance E(T ) de la variable al�atoire T .
b. Interpr�ter cette valeur dans le contexte.
E(T) = 1 / l = 1 / 0,025 =40 jours.
Le temps d'attente moyen est de 40 jours.
2. Un t�l�phone portable, d�fectueux et encore sous garantie, a �t� d�pos� par un client dans un point de vente agr��.
a. Calculer la probabilit� P(T < 7) et interpr�ter ce r�sultat.
P(T < 7) = 1- e-0,025 x7 =0,161.
La probabilit� que le client attente moins de 7 jours est �gale � 0,161.
b. Calculer la probabilit� que le client doive attendre plus de 20 jours avant de r�cup�rer son t�l�phone portable.
P(T > 20) =  e-0,025 x20 =0,607.

Partie C.
Un magazine sp�cialis� souhaite comparer l’efficacit� des services apr�s-vente (S.A.V.) pour les t�l�phones portables de deux marques A et B. Apr�s une enqu�te aupr�s de clients, le
magazine obtient les r�sultats suivants :
Marque de t�l�phone Nombre de clients du S.A.V.
ayant r�pondu � l’enqu�te		 Nombre de clients indiquant avoir
r�cup�r� leur t�l�phone en moins
de 20 jours
A
 120
 47
B
 92
 26
1. On admet que l’intervalle de confiance, au niveau de confiance 95%, de la proportion de clients ayant r�cup�r� en moins de 20 jours leur t�l�phone de marque A est
[0,304 ; 0,480].
D�terminer l’intervalle de confiance, au niveau de confiance 95%, de la proportion de clients ayant r�cup�r� en moins de 20 jours leur t�l�phone de marque B.
Fr�quence f = 26 /92 ~0,2826.
1,96 [0,2826(1-0,2826) / 92)� =0,092.
Intervalle de confiance (0,2826 -0,092 ; 0,2826 +0,092] soit [0,190 ; 0,375].
2. Au vu des deux intervalles de confiance obtenus, le magazine peut-il indiquer � ses lecteurs qu’il y a une diff�rence significative dans l’efficacit� des deux S.A.V. ? Justifier
la r�ponse.
Les intervalles de confiance ne sont pas disjoints. On ne peut pas conclure qu'il y ait une diff�rence significative dans l'efficacit� des deux SAV.
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