Math�matiques, bac Sti2D et STL ( SPCL) Polyn�sie 2019.

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Exercice 1 ( 5 points).
En plein hiver, en Europe, une maison est chauff�e � 20 �C .
La temp�rature ext�rieure est not�e T .
Dans tout l’exercice, on suppose que T < 20 .
Lorsque le chauffage est coup�, la temp�rature int�rieure diminue par perte de chaleur.
On mod�lise cette situation par une suite (un) dont le terme g�n�ral un d�signe la temp�rature int�rieure de la maison n heures apr�s la coupure du chauffage.
Pour une maison en ma�onnerie traditionnelle et une temp�rature ext�rieure T constante, on admet que, pour tout entier naturel un+1 = 0,99 un + 0,01T ; u0 = 20.
Les parties A et B de cet exercice peuvent �tre trait�es de mani�re ind�pendante.
Partie A.
On suppose que la temp�rature ext�rieure T est �gale � 0 �C. On a donc T= 0 .
1. Calculer les termes u1 et u2.
u1 = 0,99 u0 =0,99 x20= 19,8 ; u2 = 0,99 u1 =0,99 x19,8= 19,6.
2. Montrer que, dans ce cas, la suite (un) est une suite g�om�trique dont on pr�cisera le premier terme et la raison.
On passe d'un terme au suivant en le multipliant par 0,99 ; il s'agit d'une suite g�om�trique de raison 0,99 et de premier terme u0 = 20.
3. Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n .
un = 20 x0,99n.
4. D�terminer la limite de la suite (un). Justifier.
0,99n tend vers z�ro lorsque n tend vers plus l'infini. Cette suite tend vers z�ro quand n tend vers plus l'infini.
5. a) R�soudre dans l’ensemble des entiers naturels l’in�quation un < 5 .
b) En d�duire le nombre de jours � partir duquel la temp�rature int�rieure est descendue en dessous de 5 �C.
 20 x 0,99n < 5 ; 0,99n < 5 / 20 ; 0,99n < 0,25.
La fonction logarithme �tant strictement croissante sur R*+ :
n ln(0,99) < ln(0,25) ; n < ln(0,25) / ln(0,99) ; n > 138 heures soit 5 jours 18 heures.

Partie B.
On suppose que la temp�rature ext�rieure T est �gale � -15 �C. On a donc T= -15 .
1. Montrer que, dans ce cas, la suite (un) est d�finie pour tout entier naturel n par :
un+1 = 0,99 un + 0,01x(-15) ; u0 = 20.
un+1 = 0,99 un - 0,15 ; u0 = 20.
2. a) Calculer les termes u1 et u2 .
u1 = 0,99 x20 -0,15 = 19,65.
u2 = 0,99 x19,65 -0,15 = 19,3035.
b) Dans ce cas, la suite (un) est-elle g�om�trique ? Justifier la r�ponse.
Non, le rapport de deux termes cons�cutifs n'est pas constant.
3. On souhaite d�terminer, � l’aide d’un algorithme, le nombre d’heures � partir duquel la temp�rature int�rieure devient
strictement inf�rieure � 5 �C. On utilise pour cela l’algorithme incomplet ci-dessouse dans lequel U d�signe un nombre r�el et N un nombre entier naturel.
a) Recopier et compl�ter l’algorithme.
U = 20
N =0
Tant que U > 5
U = 0,99 U-0,15
N =N+1
Fin Tant que
b) � l’aide de la calculatrice, d�terminer le nombre d’heures recherch�.
20 x 0,99n -0,15 < 5 ; 0,99n < 5,15 / 20 ; 0,99n < 0,2575.
La fonction logarithme �tant strictement croissante sur R*+ :
n ln(0,99) < ln(0,2575) ; n < ln(0,2575) / ln(0,99) ; n > 135 heures.
 ......
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Exercice 2 ( 6 points ).
Les parties A et B de cet exercice sont ind�pendantes.
Partie A.
On consid�re la fonction f d�finie sur [0 ; 4 [ par : f(x) = 10 x + ln (4-x) -ln 4.
On note Cf sa courbe repr�sentative dans un rep�re.
1. Calculer f(0) .
f(0) = 0 +ln4 -ln4 = 0.
2. a) D�terminer la limite de f(x) quand x tend vers 4.
ln(4-x) tend vers moins l'infini quand x tend vers 4. Il en est de m�me de f(x).
b) En d�duire que la courbe Cf admet une asymptote dont on pr�cisera une �quation.
La courbe admet une asymptote d'�quation x = 4.
3. a) On appelle f ' la fonction d�riv�e de f sur l’intervalle [0 ; 4[ .
Montrer que, pour tout x appartenant � l’intervalle  [0 ; 4[ , on a : f '(x) = (39-10x) / (4-x).
f '(x) = 10 - 1 /(4-x) = [10 (4-x) -1] / (4-x) = (39-10x) / (4-x)..
b. �tudier le signe de f '(x) pour tout x appartenant � l’intervalle [0 ; 4[ .
c) Justifier que la fonction f atteint un maximum en 3,9.
Donner une valeur approch�e au dixi�me de ce maximum.

Partie B.
Un constructeur de voitures �lectriques affirme que ses mod�les peuvent atteindre la vitesse de 100 km.h-1 en moins de 3 secondes. Pour v�rifier cette affirmation, des journalistes ont test� une de ces voitures en r�alisant l’essai suivant :
- dans un premier temps, augmentation de la vitesse de 0 � 35,3 m. s-1 (soit environ 127 km. h-1) en 3,9 s ;
- dans un deuxi�me temps, stabilisation de la vitesse � 35,3 m. s-1.
L’�volution de la vitesse en fonction du temps est repr�sent�e par le graphique ci-dessous :

Durant la phase d’acc�l�ration, la vitesse de la voiture est mod�lis�e par la fonction f �tudi�e dans la partie A et d�finie par :
 f(t) = 10 t + ln (4-t) -ln 4. avec t appartenant � [0 ; 3,9]
o� t est exprim� en seconde et  v est exprim�e en m / s.
1. a) Calculer f(3) .
f(3) = 30 +ln(4-3) -ln4 = 30 -ln4 ~28,6 m /s.
b) L’affirmation du constructeur est-elle v�rifi�e ?
28,6 x 3,6 ~103 km / h. L'affirmation est vraie.
2. La distance D, exprim�e en m�tre, parcourue durant la phase d’acc�l�ration est donn�e par la formule :

a) On consid�re la fonction F d�finie sur [0 ; 3,9] par :
 F(t) = 5 t2 -t +(t-4)[ln (4-t) -ln4].
Montrer que la fonction F est une primitive de f .
On d�rive : on pose u = t-4 ; v = ln((4-t) -ln 4 ; u' = 1 ; v' = -1/(4-t).
F '(t) = 10t -1 +ln (4-t) -ln4 -(t-4) / (4-t) = 10 t+ ln (4-t) -ln4 = f(t).
b) Calculer la distance D arrondie au dixi�me.
D = F(3,9)-F(0) = 5 x3,92 -3,9 -0,1x [ln(0,1) -ln4] +4 [ln4 -ln 4] ~72,5 m.



Exercice 3. 5 points.
Les r�sistances et les condensateurs sont des composants �lectroniques utilis�s dans le domaine du son pour concevoir des filtres.
Plac� en sortie d’un microphone, un filtre att�nue plus ou moins les sons selon leur fr�quence f, exprim�e en Hertz (Hz).
Pour un filtre donn�, l’att�nuation d’un son se calcule � l’aide de deux nombres complexes zR = 10 et zC =-1000 *3� / f i.
 o� i d�signe le nombre complexe de module 1 et d’argument p /2.
Partie A : Effet du filtre sur un son grave.
On choisit un son grave de fr�quence f= 100 .
1. Montrer que zC = -10 *3� i.
zC =-1000 *3� / 100 i = -10 *3� i.
2. a) D�terminer la forme exponentielle de zC .
|zC| =[(10*3�)2 ]� = 10 *3�.
|zC| / zC = -i = sin (-p/2) ; zC = 10*3� e-ip /2.
b) On consid�re le nombre complexe Z=zR +zC . On a donc Z = 10-10*3�i.
D�terminer la forme exponentielle de Z .
|Z|=[102+(-10*3�)2 ]� =[100 +300]� = 400� = 20.
|Z| / Z =0,5 -3�/ 2 i = cos(-p/ 3) +i sin(-p/3)  ; Z = 20 e-ip/3.
c) On consid�re le nombre complexe zG d�fini par : zG=zC / Z.
Montrer que zG = 3� / 2 e-ip/6.
zG =10*3� e-ip /2 / (20 e-ip/3 )=3� / 2 e-ip/2+ip/3=3� / 2 e-ip/6.
d) Le module du nombre complexe zG  est appel� gain du filtre.
Donner la valeur exacte du gain du filtre puis une valeur approch�e au centi�me.
Gain = 3� / 2 ~0,87.

Partie B : Effet du filtre sur un son aigu.
On choisit un son aigu de fr�quence f= 1000 *3�.
1. Montrer que le nombre complexe zG d�fini par zG = zC / Z est �gal � -i / (10-i).
zC = -1000 *3� / ( 1000 *3�) i = -i.
Z = 10 -i
zG = -i / (10-i).
2. D�terminer la forme alg�brique de zC.
zG = -i(10+i) / (102-i2) =(-10 i-i2) / 101 =(1-10 i) / 101.
3. Calculer la valeur exacte du gain du filtre |zG| et en donner une valeur approch�e au centi�me.
|zG|  =[12 +(-10)2]� / 101 = 101 � / 101 =1 / 101�~0,1.


Exercice 4 (4 points)
Cet exercice est compos� de quatre affirmations ind�pendantes. Pour chacune d’entre elles, pr�ciser si elle est juste ou fausse. Les r�ponses doivent �tre justifi�es. Une r�ponse non justifi�e
ne rapporte aucun point.
Une nouvelle gamme de t�l�phones portables est � l’�tude.
1. La dur�e de fonctionnement, exprim�e en jour, du processeur de ce t�l�phone portable est mod�lis�e par une variable al�atoire X qui suit la loi exponentielle dont l’esp�rance
est �gale � 10 000 jours. La dur�e de garantie l�gale du t�l�phone portable est de 2 ans, soit 730 jours.
AFFIRMATION 1 : La probabilit� que le processeur s’arr�te de fonctionner durant la p�riode de garantie est �gale � e-0,073. Faux.
l = 1/E(X) = 1 / 10000.
P( X <730) =1-e-0,073~0,070.

2. Pour anticiper la charge de travail du service apr�s-vente, des tests ont �t� effectu�s en vue d’estimer le temps de r�paration d’un t�l�phone sous garantie. Ce temps, exprim�
en minute, peut �tre mod�lis� par une variable al�atoire T qui suit la loi normale d’esp�rance �= 50 et d’�cart-type s= 7 .
AFFIRMATION 2 : La probabilit�, arrondie au milli�me, que le temps de r�paration T soit inf�rieur � 1 heure est 0,923 .Vrai.
P (T< 60) =0,923.

3. Une am�lioration technique a �t� apport�e. D�sormais, la probabilit� qu’un t�l�phone soit r�parable en moins d’une heure est estim�e � p= 0,97 . Un atelier du service apr�svente
pr�voit de r�parer 200 t�l�phones portables. On s’int�resse aux �chantillons constitu�s, al�atoirement, de 200 t�l�phones portables � r�parer.
AFFIRMATION 3 : Pour de tels �chantillons, en arrondissant les bornes au milli�me, l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion de t�l�phones
r�parables en moins d’une heure est [0,946 ; 0,994] . Vrai.
1,96 [0,97 (1-0,97) / 200)� = 0,0236.
[0,97 -0,0236 ; 0,97 +0,0236] soit [0,946 ; 0,994].

4. Un fabricant de processeurs pour t�l�phone portable certifie que, dans son stock, la probabilit� qu’un processeur neuf soit d�fectueux est p= 0,0001 .
On d�signe par Y la variable al�atoire correspondant au nombre de processeurs d�fectueux dans un lot de 200 pr�lev�s au hasard. Le stock est suffisamment important
pour assimiler ce pr�l�vement � un tirage avec remise. Ainsi, la variable al�atoire Y suit la loi binomiale de param�tres n= 200 et p= 0,0001 .
AFFIRMATION 4 : La probabilit�, arrondie au milli�me, qu’il n’y ait aucun processeur d�fectueux dans un lot de 200 processeurs est �gale � 0,980 . Vrai.
P(Y =0) = 0,980.

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