Math�matiques, bac Sti2d et STL 2019 Antilles

Math�matiques, bac Sti2D et STL ( SPCL) Antilles 2019.

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Exercice 1 ( 4 points).
Cet exercice est un questionnaire � choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre r�ponses propos�es est exacte. Aucune justification n’est demand�e. Une bonne r�ponse rapporte un point. Une mauvaise r�ponse, plusieurs r�ponses ou l’absence de r�ponse ne rapportent ni n’enl�vent aucun point.
1. Pour tout r�el a strictement positif, [ln(2a +ln(8a) ] / 2 est �gal � :
a. ln(4a) vrai ; b. ln(5a) ; c. ln(16a) ; d. ln(8a²).
[ln(2a +ln(8a) ] / 2 = 0,5 ln(2a x 8a) = 0,5 ln(16a²)= ln[(16a²)^� ]= ln(4a).

2. On consid�re une fonction f d�finie et d�rivable sur ]0; +∞[. On appelle C sa courbe repr�sentative dans un rep�re orthonorm�.
On admet quela limite en z�ro de f est moins l'infini et que la limite de f(x) en plus l'infini est plus l'infini.
La courbe C admet :
a. deux asymptotes parall�les � l’axe des ordonn�es,
b. une asymptote parall�le � l’axe des ordonn�es et une asymptote parall�le � l’axe des abscisses,
c. une asymptote parall�le � l’axe des ordonn�es et aucune asymptote parall�le � l’axe des abscisses, Vrai.
Asymptote verticale d'�quation x = 0.
d. deux asymptotes parall�les � l’axe des abscisses.

3. On consid�re le nombre complexe z = -2e^{i p /4}.
Une �criture du nombre complexe conjugu� de z est :
a. 2e^{i p /4} vrai . b. 2e^{-i p /4}. c. 2 2e ^{-i 5p /4}. d. 2 e ^{i 5p /4}.
z =2e^{i p /4} e^{-i p /2}=2e^{-i p /4} ;
nombre complexe conjugu� de z : 2e^{i p /4} .

4. Le plan complexe est muni d’un rep�re orthonorm� . Les droites d’�quationy = x ety = -x partagent le plan en quatre zones comme indiqu� ci-dessous :

Soit z un nombre complexe non nul. On sait que :
 la partie r�elle de z est strictement inf�rieure � sa partie imaginaire ;
 un argument de z est strictement compris entre 3p /4 et 2p.
Le point image de z se situe :
a. dans la zone 1 ; b. dans la zone 2 ; c. dans la zone 3 vrai d. dans la zone 4 .

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Exercice 2 ( 7 points ).
L’�nergie houlomotrice est obtenue par exploitation de la force des vagues. Il existe diff�rents dispositifs pour produire de l’�lectricit� � partir de cette �nergie. Les installations houlomotrices doivent �tre capables de r�sister � des conditions extr�mes, ce qui explique que le co�t actuel de production d’�lectricit� par �nergie houlomotrice est �lev�.
On estime qu’en 2018 le co�t de production d’un kilowattheure (kWh) par �nergie houlomotrice �tait de 24 centimes d’euros. C’est nettement plus que le co�t de production d’un kilowattheure par �nergie nucl�aire, qui �tait de 6 centimes d’euros en 2018.
On admet qu’� partir de 2018 les progr�s technologiques permettront une baisse de 5% par an du co�t de production d’un kilowattheure par �nergie houlomotrice.
Les deux parties de cet exercice peuvent �tre trait�es de mani�re ind�pendante.
Partie A.
Pour tout entier naturel n, on note C_n le co�t de production, en centime d’euro, d’un kilowattheure d’�lectricit� produite par �nergie houlomotrice pour l’ann�e 2018 +n. Ainsi, c₀= 24.
1. a. Calculer c₁. Interpr�ter le r�sultat dans le contexte de l’exercice.
c₁ = 0,95 c₀ = 0,95 x24 =22,8.
En 2019 le co�t de production d’un kilowattheure (kWh) par �nergie houlomotrice est de 22,8 centimes d’euros.
b. D�terminer la nature de la suite (u_n) et donner ses �l�ments caract�ristiques.
Le rapport de deux termes cons�cutifs est constant. Il s'agit d'une suite g�om�trique de raison 0,95 et de premier terme c₀ = 24.
c. Pour tout entier naturel n, exprimer c_n en fonction de n.
c_n = c₀ x0,95ⁿ = 24 x0,95ⁿ.
2. R�soudre dans l’ensemble des entiers naturels l’in�quation 0,95ⁿ < 0,25.
La fonction logarithme �tant stricttement croisante sur R*+ :
n ln(0,95 ) < ln(0,25) ; n < ln(0,25) / ln(0,95) ; n > 27.
3. Dans cette question, on admet que le co�t de production d’un kilowattheure par �nergie nucl�aire reste constant et �gal � 6 centimes d’euros.
D�terminer l’ann�e � partir de laquelle le co�t d’un kilowattheure produit par �nergie houlomotrice deviendra inf�rieur au co�t d’un kilowattheure produit par �nergie nucl�aire.
24 x 0,95ⁿ < 6 ; 0,95ⁿ < 6 / 24 ; 0,95ⁿ < 0,25 ; n > 27. ( ann�e 2018+27 = ann�e 2045 ).
4. Dans cette question, on estime que le co�t de production d’un kilowattheure par �nergie nucl�aire va augmenter tous les ans d’un centime d’euro. On souhaite alors d�terminer l’ann�e � partir de laquelle le co�t d’un kilowattheure produit par �nergie houlomotrice deviendra inf�rieur au co�t d’un kilowattheure produit par �nergie nucl�aire.
a. Recopier et compl�ter l’algorithme suivant afin que la valeur de la variable N en sortie d’algorithme permette de r�pondre au probl�me.
C ← 24
D ← 6
N ← 2018
Tant que C > D…
C ← 0,95 C
D ← D+1
N ← N+ 1
Fin Tant que
b. R�pondre au probl�me pos�. Aucune justification n’est demand�e.

Ann�e
2019
2020
2021
2022
2023
2024
2025
2026
2027
2028

Co�t kWh produit par la houle C
22,8
21,66
20,577
19,548
18,57
17,64
16,76
15,92
15,126
14,37

Co�t kWh nucl�aire D
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

C > D
vrai
vrai
vrai
vrai
vrai
vrai
vrai
vrai
vrai
faux.

...
..

Partie B.
On admet que la dur�e de vie d’un composant �lectronique d’une installation houlomotrice, exprim�e en ann�e, est une variable al�atoire X qui suit la loi exponentielle dont le param�tre est l= 0,04 .
1. D�terminer la dur�e de vie moyenne de ce composant �lectronique.
E(X) = 1 /0,04 = 25 ans.
2. On consid�re la fonction f d�finie sur l’intervalle [0; +oo[ par f(x) = 0,04 e^{-0,04 t}.
a. D�terminer une primitive F de la fonction f sur l’intervalle [0; +oo[ .
F = -e^{-0,04 t}.
b. D�montrer que p(X < t) = 1- e^{-0,04 t}.
p(X < t) = F(t) - F(0) = -e^{-0,04 t} -(-e⁰) =-e^{-0,04 t} +1 =1- e^{-0,04 t}.
3. a. Calculer P(X > 15). Donner le r�sultat arrondi � 10^-3 .
P (X >15) = 1-P(X < 15) = e^{-0,04 x15} = e^-0,6 =0,549.
b. Interpr�ter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
La probabilit� que ce composant dure plus de 15 ans est 0,549.

Exercice 3. 6 points.
En raison des frottements avec l’atmosph�re r�siduelle terrestre, les satellites en orbite basse perdent progressivement de l’altitude et finissent par se consumer dans les couches les plus denses de l’atmosph�re. Cet �v�nement est appel� rentr�e atmosph�rique.
Le temps, exprim� en jour, avant la rentr�e atmosph�rique d�pend des caract�ristiques du satellite et de l’altitude h, exprim�e en kilom�tre, de son orbite.
Pour un satellite donn�, ce temps est mod�lis� par une fonction T de la variable h, d�finie et d�rivable sur l’intervalle [0 ; +oo[ .
Les trois parties de cet exercice peuvent �tre trait�es de mani�re ind�pendante.
Partie A – �tude d’un premier satellite
On admet que la fonction T, associ�e � ce premier satellite, est une solution de l’�quation diff�rentielle (E) suivante dans laquelle h d�signe une fonction de la variable h d�finie et d�rivable sur [0 ; +oo[ et y′ la fonction d�riv�e de y.
(E) : 40 y' -y = 0.
1. R�soudre l’�quation diff�rentielle (E) sur [0 ; +oo[ .
y' -y / 40 = 0 ; y' -0,025 y = 0 ; solution T = A e^{0,025 h} avec A une constante.
2. D�terminer la fonction T solution de l’�quation diff�rentielle (E) qui v�rifie la condition T(800) = 2000.
2000 = A e^{0,025 x800} = A e²⁰ ; A = 2000 e^-20.
T = 2000e^{0,025 h-20}.

Partie B – �tude d’un deuxi�me satellite
Dans cette partie, on admet que la fonction T, associ�e � ce deuxi�me satellite, est d�finie sur l’intervalle [0 ; +oo[ par :
T(h) =0,012 K e^0,025(h-150).
Le nombre r�el K est appel� coefficient balistique du satellite.
La fonction T associ�e � ce deuxi�me satellite est repr�sent�e ci-apr�s.
Dans cette partie, on ne demande pas de justification. Les r�sultats seront donn�s avec la pr�cision permise par le graphique.

1. � quelle altitude minimale faut-il mettre en orbite ce deuxi�me satellite pour que le temps restant avant sa rentr�e atmosph�rique soit au moins �gal � 1 000 jours ?
2. D�terminer une valeur approch�e du coefficient balistique K de ce deuxi�me satellite.
1000 =0,012 K e^{0,025(480-150)}=0,12 K e^8,25 ; K = 1000 / (0,12 e^8,25) ~2,18.

Partie C – �tude d’un troisi�me satellite : Hubble
Le satellite Hubble a un coefficient balistique K �gal � 11.
La fonction T, associ�e � ce troisi�me satellite, est donc d�finie sur l’intervalle [0 ; +oo[ par :
T(h) = 0,132 e^{0,025 (h-150)} .
1. L’orbite du satellite Hubble est situ�e � l’altitude h de 575 km. Calculer le temps T restant avant la rentr�e atmosph�rique du satellite Hubble. Arrondir au jour pr�s.
T(h) = 0,132 e^{0,025 (575-150)} = 5432 jours.
2. D�terminer la limite de T en +oo.
e^{0,025 (h-150)}tend vers plus l'infini quand h tend vers plus l'infini.
T(h) tend vers plus l'infini quand h tend vers plus l'infini.
3. a. D�terminer T '(h) , o� T ' d�signe la fonction d�riv�e de T.
T '(h) = 0,132 x0,025 e^{0,025 (h-150)} = 0,0033e^{0,025 (h-150)}.
b. En d�duire le sens de variations de la fonction T sur [0 ; +oo[.
e^{0,025 (h-150)} est positif sur [0 ; +oo[. La fonction T est strictement croissante sur cet intervalle.
4. On souhaite �tudier l’effet d’une augmentation de 10 km de l’altitude h sur le temps restant avant la rentr�e atmosph�rique du satellite Hubble.
a. Montrer que T(h+10) = e^0,25 T(h).
T(h+10) = 0,132 e^{0,025 (h+10-150)} =0,132 e^{0,025 (h-150)} e^{0,025 x10}=0,132 e^{0,025 (h-150)} e^0,25= e^0,25 T(h).
b. En d�duire qu’augmenter l’altitude h de 10 km revient � augmenter d’environ 28% le temps restant avant la rentr�e atmosph�rique du satellite Hubble.
T(h+10) -T(h)= e^0,25 T(h)- T(h) = T(h) (e^0,25-1) ;
[T(h+10) -T(h) / ] / T(h) =e^0,25-1=0,284 (~ 0,28 ou 28 %)

Exercice 4 (3 points)
Un atelier de m�canique de pr�cision est �quip� de machines � commande num�rique permettant la production de pi�ces m�talliques en aluminium.
Un client passe une commande de pi�ces dont la longueur souhait�e est de 75 millim�tres (mm).
Les trois parties de cet exercice peuvent �tre trait�es de mani�re ind�pendante.
Les r�sultats seront arrondis, si n�cessaire, � 10^-.2.
Partie A.
Le r�glage des machines permet de produire des pi�ces dont la longueur, exprim�e en millim�tre, est mod�lis�e par une variable al�atoire X qui suit la loi normale d’esp�rance
� = 75 et d’�cart-type s =0,03.
Afin de garantir au client une pr�cision optimale, seules les pi�ces dont la longueur est comprise entre 74,95 mm et 75,05 mm sont jug�es commercialisables.
1. D�terminer P(X > 74,97).
P(X >74,97) = 1 -P(X < 74,97) = 1-0,1587 ~0,84.
2. D�terminer la probabilit� qu’une pi�ce prise au hasard soit commercialisable.
P(X < 74,95) =0,0478 ; P(X < 75,05) =0,9522 ;
P(74,95 <X < 75,05) =0,9522 -0,0478 ~0,90.

Partie B.
On souhaite am�liorer la pr�cision de la production. Pour cela, les machines sont r�gl�es et reprogramm�es. Apr�s r�glage, la longueur des pi�ces, en millim�tre, est mod�lis�e par une
variable al�atoire Y suivant une loi normale. Son esp�rance est inchang�e et vaut �= 75.
La valeur de l’�cart-type a �t� modifi�e. On note s′ la nouvelle valeur de l’�cart-type.
Ces nouveaux r�glages permettent de limiter la proportion de pi�ces non commercialisables.
On a P(74,95 <Y < 75,05) =0,95 .
D�terminer s′. Justifier.

On pose Z = (Y-75) / s'.
P (Z < 75,05) =0,975 ; Z =1,96 = (75,05-75) / s' =0,05 / s'.
s'= 0,05 /1,96 =0,0255.

Partie C.
On proc�de � de nouveaux r�glages.
Le responsable de l’atelier affirme alors �tre en mesure de commercialiser 97% des pi�ces.
On proc�de � un contr�le de qualit� en pr�levant au hasard 300 pi�ces m�talliques. On constate que 14 d’entre elles ne sont pas commercialisables.
Au seuil de 95%, faut-il mettre en doute l’affirmation du responsable de l’atelier ? Justifier la r�ponse.
Fr�quence observ�e f = 14 / 300 = 0,0467.
1,96 [ f(1-f) / n ]^� =1,96 [0,03 (1-0,03) / 300]^�= 0,0193.
Intervalle de fluctuation asymptotique [ 0,03-0,0193 ; 0,03 +0,0193) soit [0,0107 ; 0,0493 ]
0,0467 appartient � cet intervalle. L'affirmation n'est pas remise en cause au risque de 5 %.

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