Math�matiques,
bac Sti2D et STL ( SPCL) Antilles 2019.
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d’int�r�ts.
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Exercice 1 ( 4 points). Cet
exercice est un questionnaire � choix multiples. Pour chacune des
questions suivantes, une seule des quatre r�ponses propos�es est
exacte. Aucune justification n’est demand�e. Une bonne r�ponse rapporte
un point. Une mauvaise r�ponse, plusieurs r�ponses ou l’absence de
r�ponse ne rapportent ni n’enl�vent aucun point. 1. Pour tout r�el a strictement positif, [ln(2a +ln(8a) ] / 2 est �gal � :
a. ln(4a) vrai ; b. ln(5a) ; c. ln(16a) ; d. ln(8a2).
[ln(2a +ln(8a) ] / 2 = 0,5 ln(2a x 8a) = 0,5 ln(16a2)= ln[(16a2)� ]= ln(4a).
2. On consid�re une fonction f d�finie et d�rivable sur ]0; +∞[. On appelle C sa courbe repr�sentative dans un rep�re orthonorm�.
On admet quela limite en z�ro de f est moins l'infini et que la limite de f(x) en plus l'infini est plus l'infini.
La courbe C admet :
a. deux asymptotes parall�les � l’axe des ordonn�es,
b. une asymptote parall�le � l’axe des ordonn�es et une asymptote parall�le � l’axe des abscisses,
c. une asymptote parall�le � l’axe des ordonn�es et aucune asymptote parall�le � l’axe des abscisses, Vrai.
Asymptote verticale d'�quation x = 0.
d. deux asymptotes parall�les � l’axe des abscisses.
3. On consid�re le nombre complexe z = -2ei p /4. Une �criture du nombre complexe conjugu� de z est :
a. 2ei p /4 vrai . b. 2e -i p /4. c. 2 2e -i 5p /4. d. 2 e i 5p /4.
z =2ei p /4 e-i p /2=2e-i p /4 ;
nombre complexe conjugu� de z : 2ei p /4 .
4. Le plan complexe
est muni d’un rep�re orthonorm� . Les droites d’�quationy = x ety =
-x partagent le plan en quatre zones comme indiqu�
ci-dessous :

Soit z un nombre complexe non nul. On sait que :
la partie r�elle de z est strictement inf�rieure � sa partie imaginaire ;
un argument de z est strictement compris entre 3p /4 et 2p.
Le point image de z se situe :
a. dans la zone 1 ; b. dans la zone 2 ; c. dans la zone 3 vrai d. dans la zone 4 .
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Exercice 2 ( 7 points ). L’�nergie
houlomotrice est obtenue par exploitation de la force des vagues. Il
existe diff�rents dispositifs pour produire de l’�lectricit� � partir
de cette �nergie. Les installations houlomotrices doivent �tre capables
de r�sister � des conditions extr�mes, ce qui explique que le co�t
actuel de production d’�lectricit� par �nergie houlomotrice est �lev�.
On estime qu’en 2018 le co�t de production d’un kilowattheure (kWh) par
�nergie houlomotrice �tait de 24 centimes d’euros. C’est nettement plus
que le co�t de production d’un kilowattheure par �nergie nucl�aire, qui
�tait de 6 centimes d’euros en 2018.
On admet qu’� partir de 2018 les progr�s technologiques permettront une
baisse de 5% par an du co�t de production d’un kilowattheure par
�nergie houlomotrice.
Les deux parties de cet exercice peuvent �tre trait�es de mani�re ind�pendante.
Partie A.
Pour tout entier naturel n, on note Cn le co�t de
production, en centime d’euro, d’un kilowattheure d’�lectricit�
produite par �nergie houlomotrice pour l’ann�e 2018 +n. Ainsi, c0= 24.
1. a. Calculer c1. Interpr�ter le r�sultat dans le contexte de l’exercice.
c1 = 0,95 c0 = 0,95 x24 =22,8.
En 2019 le co�t de production d’un kilowattheure (kWh) par �nergie houlomotrice est de 22,8 centimes d’euros.
b. D�terminer la nature de la suite (un) et donner ses �l�ments caract�ristiques.
Le rapport de deux termes cons�cutifs est constant. Il s'agit d'une suite g�om�trique de raison 0,95 et de premier terme c0 = 24.
c. Pour tout entier naturel n, exprimer cn en fonction de n.
cn = c0 x0,95n = 24 x0,95n.
2. R�soudre dans l’ensemble des entiers naturels l’in�quation 0,95n < 0,25.
La fonction logarithme �tant stricttement croisante sur R*+ :
n ln(0,95 ) < ln(0,25) ; n < ln(0,25) / ln(0,95) ; n > 27.
3. Dans cette
question, on admet que le co�t de production d’un kilowattheure par
�nergie nucl�aire reste constant et �gal � 6 centimes d’euros.
D�terminer l’ann�e � partir de laquelle le co�t d’un kilowattheure
produit par �nergie houlomotrice deviendra inf�rieur au co�t d’un
kilowattheure produit par �nergie nucl�aire.
24 x 0,95n < 6 ; 0,95n < 6 / 24 ; 0,95n < 0,25 ; n > 27. ( ann�e 2018+27 = ann�e 2045 ).
4. Dans cette
question, on estime que le co�t de production d’un kilowattheure par
�nergie nucl�aire va augmenter tous les ans d’un centime d’euro. On
souhaite alors d�terminer l’ann�e � partir de laquelle le co�t d’un
kilowattheure produit par �nergie houlomotrice deviendra inf�rieur au
co�t d’un kilowattheure produit par �nergie nucl�aire.
a. Recopier et
compl�ter l’algorithme suivant afin que la valeur de la variable N en
sortie d’algorithme permette de r�pondre au probl�me.
C ← 24
D ← 6
N ← 2018
Tant que C > D…
C ← 0,95 C
D ← D+1
N ← N+ 1
Fin Tant que
b. R�pondre au probl�me pos�. Aucune justification n’est demand�e.
Ann�e
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2019
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2020
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2021
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2022
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2023
| 2024
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2025
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2026
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2027
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2028
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Co�t kWh produit par la houle C
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22,8
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21,66
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20,577
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19,548
|
18,57
| 17,64
|
16,76
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15,92
|
15,126
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14,37
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Co�t kWh nucl�aire D
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7
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8
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9
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10
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11
| 12
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13
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14
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15
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16
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C > D
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vrai
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vrai
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vrai
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vrai
|
vrai
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vrai
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vrai
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vrai
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vrai
|
faux.
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...
..
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Partie B.
On admet que la dur�e de vie d’un composant �lectronique d’une
installation houlomotrice, exprim�e en ann�e, est une variable
al�atoire X qui suit la loi exponentielle dont le param�tre est l= 0,04
.
1. D�terminer la dur�e de vie moyenne de ce composant �lectronique.
E(X) = 1 /0,04 = 25 ans.
2. On consid�re la fonction f d�finie sur l’intervalle [0; +oo[ par f(x) = 0,04 e-0,04 t.
a. D�terminer une primitive F de la fonction f sur l’intervalle [0; +oo[ .
F = -e-0,04 t.
b. D�montrer que p(X < t) = 1- e-0,04 t.
p(X < t) = F(t) - F(0) = -e-0,04 t -(-e0) =-e-0,04 t +1 =1- e-0,04 t.
3. a. Calculer P(X > 15). Donner le r�sultat arrondi � 10-3 .
P (X >15) = 1-P(X < 15) = e-0,04 x15 = e-0,6 =0,549.
b. Interpr�ter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
La probabilit� que ce composant dure plus de 15 ans est 0,549.
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Exercice 3. 6
points. En
raison des frottements avec l’atmosph�re r�siduelle terrestre, les
satellites en orbite basse perdent progressivement de l’altitude et
finissent par se consumer dans les couches les plus denses de
l’atmosph�re. Cet �v�nement est appel� rentr�e atmosph�rique.
Le temps, exprim� en jour, avant la rentr�e atmosph�rique d�pend des
caract�ristiques du satellite et de l’altitude h, exprim�e en
kilom�tre, de son orbite.
Pour un satellite donn�, ce temps est mod�lis� par une fonction T de la
variable h, d�finie et d�rivable sur l’intervalle [0 ; +oo[ .
Les trois parties de cet exercice peuvent �tre trait�es de mani�re ind�pendante.
Partie A – �tude d’un premier satellite
On admet que la fonction T, associ�e � ce premier satellite, est une
solution de l’�quation diff�rentielle (E) suivante dans laquelle h
d�signe une fonction de la variable h d�finie et d�rivable sur [0 ;
+oo[ et y′ la fonction d�riv�e de y.
(E) : 40 y' -y = 0.
1. R�soudre l’�quation diff�rentielle (E) sur [0 ; +oo[ .
y' -y / 40 = 0 ; y' -0,025 y = 0 ; solution T = A e0,025 h avec A une constante.
2. D�terminer la fonction T solution de l’�quation diff�rentielle (E) qui v�rifie la condition T(800) = 2000.
2000 = A e0,025 x800 = A e20 ; A = 2000 e-20.
T = 2000e0,025 h-20.
Partie B – �tude d’un deuxi�me satellite
Dans cette partie, on admet que la fonction T, associ�e � ce deuxi�me satellite, est d�finie sur l’intervalle [0 ; +oo[ par :
T(h) =0,012 K e0,025(h-150).
Le nombre r�el K est appel� coefficient balistique du satellite.
La fonction T associ�e � ce deuxi�me satellite est repr�sent�e ci-apr�s.
Dans cette partie, on ne demande pas de justification. Les r�sultats seront donn�s avec la pr�cision permise par le graphique.

1. � quelle
altitude minimale faut-il mettre en orbite ce deuxi�me satellite pour
que le temps restant avant sa rentr�e atmosph�rique soit au moins �gal
� 1 000 jours ?
2. D�terminer une valeur approch�e du coefficient balistique K de ce deuxi�me satellite.
1000 =0,012 K e0,025(480-150)=0,12 K e8,25 ; K = 1000 / (0,12 e8,25) ~2,18.
Partie C – �tude d’un troisi�me satellite : Hubble
Le satellite Hubble a un coefficient balistique K �gal � 11.
La fonction T, associ�e � ce troisi�me satellite, est donc d�finie sur l’intervalle [0 ; +oo[ par :
T(h) = 0,132 e0,025 (h-150) .
1. L’orbite du
satellite Hubble est situ�e � l’altitude h de 575 km. Calculer le temps
T restant avant la rentr�e atmosph�rique du satellite Hubble. Arrondir
au jour pr�s.
T(h) = 0,132 e0,025 (575-150) = 5432 jours.
2. D�terminer la limite de T en +oo.
e0,025 (h-150) tend vers plus l'infini quand h tend vers plus l'infini.
T(h) tend vers plus l'infini quand h tend vers plus l'infini.
3. a. D�terminer T '(h) , o� T ' d�signe la fonction d�riv�e de T.
T '(h) = 0,132 x0,025 e0,025 (h-150) = 0,0033e0,025 (h-150).
b. En d�duire le sens de variations de la fonction T sur [0 ; +oo[.
e0,025 (h-150) est positif sur [0 ; +oo[. La fonction T est strictement croissante sur cet intervalle.
4. On souhaite
�tudier l’effet d’une augmentation de 10 km de l’altitude h sur le
temps restant avant la rentr�e atmosph�rique du satellite Hubble.
a. Montrer que T(h+10) = e0,25 T(h).
T(h+10) = 0,132 e0,025 (h+10-150) =0,132 e0,025 (h-150) e0,025 x10=0,132 e0,025 (h-150) e0,25= e0,25 T(h).
b. En d�duire
qu’augmenter l’altitude h de 10 km revient � augmenter d’environ 28% le
temps restant avant la rentr�e atmosph�rique du satellite Hubble.
T(h+10) -T(h)= e0,25 T(h)- T(h) = T(h) (e0,25-1) ;
[T(h+10) -T(h) / ] / T(h) =e0,25-1=0,284 (~ 0,28 ou 28 %)
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Exercice 4 (3 points)
Un
atelier de m�canique de pr�cision est �quip� de machines � commande
num�rique permettant la production de pi�ces m�talliques en aluminium.
Un client passe une commande de pi�ces dont la longueur souhait�e est de 75 millim�tres (mm).
Les trois parties de cet exercice peuvent �tre trait�es de mani�re ind�pendante.
Les r�sultats seront arrondis, si n�cessaire, � 10-.2.
Partie A.
Le r�glage des machines permet de produire des pi�ces dont la longueur,
exprim�e en millim�tre, est mod�lis�e par une variable al�atoire X qui
suit la loi normale d’esp�rance
� = 75 et d’�cart-type s =0,03.
Afin de garantir au client une pr�cision optimale, seules les pi�ces
dont la longueur est comprise entre 74,95 mm et 75,05 mm sont jug�es
commercialisables.
1. D�terminer P(X > 74,97).
P(X >74,97) = 1 -P(X < 74,97) = 1-0,1587 ~0,84.
2. D�terminer la probabilit� qu’une pi�ce prise au hasard soit commercialisable.
P(X < 74,95) =0,0478 ; P(X < 75,05) =0,9522 ;
P(74,95 <X < 75,05) =0,9522 -0,0478 ~0,90.
Partie B.
On souhaite am�liorer la pr�cision de la production. Pour cela, les
machines sont r�gl�es et reprogramm�es. Apr�s r�glage, la longueur des
pi�ces, en millim�tre, est mod�lis�e par une
variable al�atoire Y suivant une loi normale. Son esp�rance est inchang�e et vaut �= 75.
La valeur de l’�cart-type a �t� modifi�e. On note s′ la nouvelle valeur de l’�cart-type.
Ces nouveaux r�glages permettent de limiter la proportion de pi�ces non commercialisables.
On a P(74,95 <Y < 75,05) =0,95 .
D�terminer s′. Justifier.

On pose Z = (Y-75) / s'.
P (Z < 75,05) =0,975 ; Z =1,96 = (75,05-75) / s' =0,05 / s'.
s'= 0,05 /1,96 =0,0255.
Partie C.
On proc�de � de nouveaux r�glages.
Le responsable de l’atelier affirme alors �tre en mesure de commercialiser 97% des pi�ces.
On proc�de � un contr�le de qualit� en pr�levant au hasard 300 pi�ces
m�talliques. On constate que 14 d’entre elles ne sont pas
commercialisables.
Au seuil de 95%, faut-il mettre en doute l’affirmation du responsable de l’atelier ? Justifier la r�ponse.
Fr�quence observ�e f = 14 / 300 = 0,0467.
1,96 [ f(1-f) / n ]� =1,96 [0,03 (1-0,03) / 300]� = 0,0193.
Intervalle de fluctuation asymptotique [ 0,03-0,0193 ; 0,03 +0,0193) soit [0,0107 ; 0,0493 ]
0,0467 appartient � cet intervalle. L'affirmation n'est pas remise en cause au risque de 5 %.
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