Math�matiques, bac Sti2D  M�tropole septembre 2019.

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Exercice 1. 4 points
Cet exercice est un questionnaire � choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre r�ponses propos�es est exacte. Aucune justification n’est demand�e.Une bonne r�ponse rapporte un point. Une mauvaise r�ponse, plusieurs r�ponses ou l’absence de r�ponse � une question ne rapportent ni n’enl�vent de point.
Indiquer sur la copie le num�ro de la question et la lettre correspondant � la r�ponse.
1. Une variable al�atoire X suit la loi uniforme sur l’intervalle [2 ; 12].
P(X < 5) est �gale � :
a. 0,5 ; b. 0,3 vrai ; c. 5 /12 ; d. 5 /7.
P(X < 5)= (5-2) / (12-2) = 3 / 10 = 0,3.
2. Une variable al�atoire X suit la loi normale d’esp�rance 20 et d’�cart-type s.
P(X <18) peut �tre �gale � :
a. 0,4 ;  b. 1,8 ; c. 0,2 ; d. 0,82
Pour s = 2,37, P(X <18) = 0,2 ; pour s = 7,9, P(X <18) = 0,4 ;
3. La dur�e de vie, en ann�es, d’un composant �lectronique est une variable al�atoire qui suit la loi exponentielle de param�tre l. La dur�e de vie moyenne de ce composant �lectronique est de 5 ans.
Le param�tre l vaut :
a. 5 ; b. 0,5;  c. 0,2 vrai ;  d. −0,2.
l =1 / 5 = 0,2.
4. Un argument du nombre complexe z = (2−2i )� exp( i p/2) est :
a. p /2 ; b. p /4 vrai ; c. 3p/4 ; d. 4 x 2�.
z1 = 2 -2i ; module (22 +22)� =2 x 2�.
z1 / |z1| =1 / 2� -i / 2� =cos (-p /4) +i sin (-p /4).
arg(z) = p/2 -p /4 = p /4.

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Exercice 2. 6 points.
Pour permettre un apport de lumi�re naturelle dans une habitation et r�aliser des �conomies d’�lectricit�, une solution r�side dans l’installation d’un conduit de lumi�re au niveau de la toiture. Il s’agit d’un tube cylindrique en aluminium recouvert d’un film multicouche � base de polym�re.
Dans ce conduit, le flux lumineux, exprim� en lumens (lm), diminue de 0,5% tous les d�cim�tres.
On rappelle qu’un d�cim�tre vaut dix centim�tres.

Partie A.
Dans cette partie, on suppose que le flux lumineux � l’entr�e d’un tel conduit de lumi�re est de 4 000 lumens.
On pose u0 = 4000. Pour tout entier naturel n sup�rieur ou �gal � 1, on note (un) le flux lumineux, en lumens, � la sortie d’un conduit de longueur n d�cim�tres.
1. Justifier que u1 = 3980.
Le flux lumineux, exprim� en lumens (lm), diminue de 0,5% tous les d�cim�tres.
4000 x 0,995 =3980 lm.
2. Calculer le flux lumineux, en lumens, � la sortie d’un conduit d’une longueur de 20 cm.
3980 x 0,995 =3960,1 lm.
3. Justifier que la suite (un) est une suite g�om�trique dont on pr�cisera les �l�ments caract�ristiques.
On passe d'un terme au suivant en le multipliant par 0,995.
Suite g�om�trique de raison 0,995  et de premier terme 4000.
4. Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n.
un = 4000 x0,995n.
5. Un conduit de lumi�re de 2 m�tres de long permettrait-il d’obtenir un flux lumineux d’au moins 3 600 lumens en sortie ?
n = 20 ; u20 = 4000 x0,99520=3618 lm. Donc vrai.
6. On consid�re l’algorithme ci-dessous o� n d�signe un entier naturel et U un nombre r�el.
n←0
U ←4000
Tant que U > 3000
n←n +1
U ←U �0,995
Fin Tant que
a. Indiquer le contenu de la variable n � la fin de l’ex�cution de l’algorithme.
4000 x0,995n > 3000 ; 0,995n >0,75 ;
n ln(0,995) > ln(0,75) ; n < 57,4 ( 58)
n = 58.
b. Interpr�ter la r�ponse obtenue � la question pr�c�dente dans le contexte du conduit de lumi�re.
Si le trajet de la lumi�re d�passe 5,8 m, le flux lumineux est inf�rieur � 3000 lm en sortie.

Partie B.
Dans une pi�ce sombre, on souhaite remplacer un �clairage �lectrique par l’installation d’un conduit de lumi�re d’une longueur de 4 m�tres pour obtenir en sortie un flux lumineux d’au moins 3 100 lumens.
1. D�terminer le flux lumineux n�cessaire � l’entr�e de ce conduit.
n = 40 ; 3100 = u0 x0,99540 ; u0 = 3100 / 0,99540 ~3788 lm.
2. La courbe ci-dessous mod�lise le flux lumineux, en lumens, � l’entr�e de ce conduit en fonction de l’heure pour une journ�e donn�e.
D�terminer, avec la pr�cision permise par le graphique, la plage horaire durant laquelle ce flux lumineux � l’entr�e du conduit est suffisant.


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 Exercice 3. 5 points.
L’octane est un hydrocarbure qui entre dans la composition de l’essence.
Lorsqu’on chauffe un m�lange d’octane et de solvant dans une cuve, une r�action chimique transforme progressivement l’octane en un carburant plus performant, appel� iso-octane. La concentration d’octane, en moles par litre, dans la cuve est mod�lis�e par une fonction f du temps t , exprim� en minutes. On admet que cette fonction f , d�finie et d�rivable sur l’intervalle [0 ; +∞[, est une solution, sur cet intervalle, de l’�quation diff�rentielle suivante : (E) : y′ +0,12y = 0,003.
� l’instant t = 0, la concentration d’octane dans la cuve est de 0,5 mole par litre (mol.L−1).
1. a. D�terminer la solution g�n�rale de l’�quation diff�rentielle (E).
Solution g�n�rale de y' +0,12 y=0 : y = A exp(-0,12t) avec A une constante.
Solution particuli�re de E : y = 0,003 / 0,12 =0,025.
Solution g�n�rale de E : y = A exp(-0,12t) +0,025.
b. Donner f (0).
f(0) =A +0,025 = 0,5 ; A =0,475.
c. V�rifier que la fonction f est d�finie sur [0 ; +∞[ par f (t )= 0,475 exp (−0,12t) +0,025.
On d�rive : f '(t) = 0,475 x(-0,12)exp (−0,12t) = -0,057 exp (−0,12t).
Repport dans (E) : -0,057 exp (−0,12t) +0,12(0,475 exp (−0,12t) +0,025) = 0,003.
-0,057 exp (−0,12t) +0,057 exp (−0,12t) +0,003 = 0,003 est v�rifi�e.
2. a. Calculer la fonction d�riv�e de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
 f '(t) = 0,475 x(-0,12)exp (−0,12t) = -0,057 exp (−0,12t).
b. �tudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
Le terme exp (−0,12t) est toujours positif ; f '(t) est toujours n�gative.
f(t) est strictement d�croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.
c. Interpr�ter cette r�ponse dans le contexte de l’exercice.
La concentration en octane diminue au cours du temps jusqu'� la valeur 0,025 mol /L.
3. Calculer, en justifiant votre r�ponse, � la minute pr�s, le temps n�cessaire pour obtenir une concentration en octane dans la cuve de 0,25 mole par litre.
0,25 = 0,475 exp (−0,12t) +0,025 ;
0,225 = 0,475 exp (−0,12t) ;
exp (−0,12t)  =0,225 / 0,475 =0,4736 ;
-0,12 t = ln(0,4736) = -0,7472 ; t ~ 6 minutes.
4. a. Calculer, en justifiant votre r�ponse, la limite de f(t) en plus l'infini. Interpr�ter le r�sultat dans le contexte.
Le terme exp (−0,12t) tend vers z�ro si le temps devient tr�s long.
f(t) tend vers 0,025 en plus l'infini.
La concentration r�siduelle en octane est 0,025 mol /L.
b. Le processus de transformation de l’octane en iso-octane est arr�t� au bout d’une heure. Expliquer ce choix.
 0,475 exp (−0,12 x60) ~3,54 10-4 ;
f(60) ~0,025 +3,54 10-4 ~ 0,02535 mol/L.
Au bout d'une heure, la r�action est pratiquement termin�e.
 

Exercice 4. 5 points.
Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm� direct, le bras articul� d’un robot, fix� au point O, est repr�sent� par deux segments [OA] et [AB], chacun de longueur 2 unit�s.
Deux exemples de position du bras articul� sont donn�s ci-dessous � titre indicatif.

1. a. Tracer sur la copie un rep�re orthonorm�.
Placer le point A d’affixe zA = 2i puis construire l’extr�mit� B du bras articul� lorsque son affixe zB a pour argument p /4.

b. Donner l’affixe du point B sous forme alg�brique et sous forme exponentielle.
zB = 2 + 2i .
Module de zB : [22 +22]�= 2 x 2�.
zB = 2 x 2� exp(ip/4).
2. L’extr�mit� B du bras peut-elle atteindre un objet qui se trouve � une distance de 4,5 unit�s du point O ?
2 x 2� ~2,8 unit�s.
L'objet ne peut pas �tre atteint.
3. Pour soulever un objet lourd dont le point d’accroche est le point C, il faut rigidifier l’articulation en A. On d�cide alors de bloquer l’angle(OAB) tel qu’une mesure de
cet angle soit constamment �gale � 90�.

a. D�terminer la longueur OB.
 Le triangle OAB est rectangle en A. OA = AB = 2 unit�s.
Le triangle OAB est rectangle isoc�le.
OB = OA x2�=2 x2�.
b. Le point C a pour affixe zC = 2 x 2� exp(ip /12).
Justifier que l’extr�mit� B du bras articul� pourra atteindre le point d’accroche C de l’objet.
OB = 2 x2� ; OC = 2 x2� .
c. Lorsque le bras articul� saisit l’objet, les points B et C sont confondus.
Calculer la mesure de l’angle que forme alors le bras [OA] avec l’axe [Ox).
Le triangle OAC est rectangle en A. OA = AC = 2 unit�s.
Le triangle OAC est rectangle isoc�le. Les angles aigus mesurent p /4 radian.
Mesure de l’angle que forme alors le bras [OA] avec l’axe [Ox) :
p /4 +p /12 =4p /12 =p /3 radians.


  

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