Math�matiques,
bac STL biotechnologie M�tropole septembre 2019.
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Exercice 1. 5 points
Les trois parties de cet exercice peuvent �tre trait�es de mani�re ind�pendante.
Les r�sultats seront arrondis � 10−2 pr�s.
Une entreprise fabrique en grande quantit� des bo�tes de Petri destin�es � des laboratoires d’analyses microbiologiques.
Dans cet exercice, on �tudie la qualit� de la production de ces bo�tes.
Partie A.
L’entreprise affirme que la probabilit� qu’une bo�te ait un d�faut est
�gale � 0,03. On pr�l�ve au hasard 100 bo�tes dans la production. La
production est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce
pr�l�vement � un tirage al�atoire avec remise.
On d�signe par X la variable al�atoire qui, � tout pr�l�vement de 100 bo�tes, associe le nombre de bo�tes pr�sentant un d�faut.
1. Justifier que la variable al�atoire X suit une loi binomiale et d�terminer les param�tres de cette loi.
Il y a r�p�tition de n =100 tirages ind�pendants et identiques. Chaque
tirage a deux issues : la bo�te a un d�faut p = 0,03 ; la bo�te
est sans d�faut 1-p = 0,97.
2. D�terminer la probabilit� de l’�v�nement A : �Le pr�l�vement contient exactement 4 bo�tes ayant un d�faut �.
p(X=4) = (100 4) 0,034 x0,976=100 x99 x98 x97 /(2 x3 x4) x0,034 x0,9796~0,17.
3. D�terminer la probabilit� de l’�v�nement B : � Le pr�l�vement contient au plus 3 bo�tes ayant un d�faut �.
P(B) =P(X=0) +P(X=1) +P(X=3) =0,0475 +0,147 +0,225 +0,227 ~0,65.
Partie B.
On d�signe par Y la variable al�atoire qui, � une bo�te de Petri pr�lev�e au hasard, associe son diam�tre en millim�tre.
Le service qualit� de l’entreprise estime que la variable al�atoire Y suit la loi normale d’esp�rance μ = 89,7 et d’�cart type s = 0,20.
1. D�terminer la probabilit� P(89,3 < Y < 90,1).
P(89,3 < Y ) = 0,02275 ; P(90,1 < Y ) = 0,9772 ; P(89,3 < Y < 90,1).=0,9772-0.02275 ~0,95.
2. D�terminer la probabilit� qu’une bo�te de Petri ait un diam�tre sup�rieur ou �gal � 89,9 mm.
P( Y > 89,9) = 1-P(89,9 < Y ) =1-0.841 ~0,16.
Partie C.
La machine de production a �t� r�gl�e dans le but que 3% au maximum des
bo�tes de Petri soient non conformes. On pr�l�ve un �chantillon de 200
bo�tes de Petri et on constate que parmi cellesci, 9 sont non conformes.
Suite � ce constat, doit -on accepter le r�glage de cette machine ? Justifier.
1,96 (0,03 x0,97) / 100)� =0,0334.
Intervalle de fluctuation :[0,03 -0,0334 ; 0,03 +0,0334] soit [-0,004 ; 0,063].
Fr�quence observ�e : 9 /200 =0,045.
0,045 appartient � l'intervalle de fluctuation, la machine est bien r�gl�e.
Exercice 2. 3 points.
Une
entreprise fabrique et commercialise des composants �lectroniques
destin�s � fonctionner de mani�re continue. On a �tudi� la dur�e de
vie, en jour, de ces composants.
La variable al�atoire D associ�e � cette dur�e de vie suit une loi exponentielle de param�tre l = 0,0005.
On rappelle que P( D < t ) = 1−e− l�t .
Pour chacune des affirmations suivantes, on pr�cisera si elle est vraie
ou fausse en justifiant de mani�re claire et concise la r�ponse donn�e.
Affirmation 1 : L’esp�rance de cette loi est �gale � 2 000. Vrai.
� = 1 / l = 1 / 0,0005 = 2000.
Affirmation 2 : La probabilit� qu’un composant de ce type tombe en panne apr�s les 500 premiers jours est environ 0,221. Faux.
P(D > 500) = e− l�t =exp(-0,0005 x500) =0,7788.
Affirmation 3
: L’entreprise souhaite qu’au maximum 10% des composants tombent en
panne au cours de la p�riode de garantie. Cette p�riode de garantie
doit �tre d’environ 210 jours. Vrai.
P( D < t ) = 1−e− l�t < 0,10 ; e− l�t > 0,9 ; exp(-0,0005 t) > 0,9 ;
-0,0005 t > ln(0,9) ; -0,0005 t > -0,1054 ; t < 0,1054 / 0,0005 ; t < 211 jours.
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Exercice 3 5 points
Dans un laboratoire d’industrie laiti�re, on cultive une population de
bact�ries qui compte initialement 60 000 individus. On �tudie
l’�volution du nombre de bact�ries en fonction du temps.
Partie A.
On �met l’hypoth�se que la population augmente de 18% toutes les heures
et on mod�lise l’�volution de cette population par une suite (un).
Pour tout entier naturel n, on note un le nombre de bact�ries de la population �tudi�e apr�s n heures. On a alors u0 = 60000.
1. D�terminer les termes u1 et u2.
u1 =60 000 x 1,18 =70 800 ; u2=70 800 x1,18 =83544.
2. Exprimer un+1 en fonction de un.
un+1 =1,18 un.
3. En d�duire la nature de la suite (un).
Suite g�om�trique de raison 1,18 et de premier terme 60 000.
4. Exprimer alors un en fonction de n.
un = 60 000 x1,18n.
5. D�terminer u6 � l’unit� pr�s et interpr�ter ce r�sultat dans le contexte de l’exercice.
u6 = 60 000 x1,186 =161 973.
Nombre de bact�ries au bout de 6 heures.
Partie B.
On souhaite d�terminer � partir de combien d’heures la population de bact�ries d�passera 200 000 individus.
Pour cela, on utilise un algorithme.
1. Recopier et compl�ter l’algorithme de sorte qu’� la fin de son ex�cution, la variable N contienne le nombre d’heures cherch�.
N ←0
U ←60000
Tant queU < 200 000
N ←N +1
U ←U x 1,18
Fin Tant que.
2. D�terminer le nombre d’heures � partir duquel la population de bact�ries d�passera 200 000.
Expliquer la d�marche utilis�e.
60 000 x1,18n> 200 000 ; 1,18n >10 /3 ; n log(1,18) > log(10 /3) ; n > 7,27 soit 8 heures.
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Exercice 4.
7 points.
Des
scientifiques �tudient la croissance d’une plante vivace d’une vari�t�
donn�e. Pour cela, ils ont relev� tous les mois la hauteur de plants
t�moins, mesurant tous 12 cm au d�but de l’exp�rimentation.
Dans le tableau ci-dessous, h d�signe la hauteur moyenne des plants, exprim�e en centim�tre, au bout de t mois.
t (mois)
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0
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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h( cm)
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12
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16,6
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20
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22
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23,1
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23,6
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23,8
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1. Construire le nuage de points correspondant au tableau ci-dessus.
2. L’utilisation d’un ajustement affine du nuage de points semble-t-elle pertinente ?
Non, les points ne sont pas align�s.
3. On pose y = ln(24 / h -1)
Compl�ter la troisi�me ligne du tableau (arrondir les valeurs � 0,001 pr�s)..
t (mois)
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0
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1
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2
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3
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4
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5
|
6
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h( cm)
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12
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16,6
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20
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22
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23,1
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23,6
|
23,8
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y
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0
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-0,808
|
-1,609
|
-2,398
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-3,245
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-4,078
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-4,779
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4. On nomme D la droite d’ajustement de y en t obtenue par la m�thode des moindres carr�s.
L’�quation r�duite de D est de la forme y = at +b o� a et b sont des
nombres r�els. En utilisant la calculatrice, donner les valeurs de a et
b � 0,001 pr�s.
y= -0,804 t -0,005.
5. On admet que h(t ) = 24 /(1 +e-0,8t).
Estimer, au centim�tre pr�s, la hauteur du plant au bout de 10 mois.
h(10) = 24 /(1+e-8) =23,99 ~24 cm.
6. Soit g la fonction d�finie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
g (x) = 24 /(1+e-08x)
a. On note g ′ la fonction d�riv�e de la fonction g sur l’intervalle [0 ; +∞[ et on admet que :
g ′(x) =19,2 e−0,8x /(1+e-08x) .
En d�duire les variations de la fonction g sur l’intervalle [0 ; +∞[.
Le terme en exponentielle est toujours positif ou nul.
g'(x) est positive ; g(x) est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.
b. D�terminer la limite de la fonction g en +∞puis interpr�ter graphiquement le r�sultat.
e-08x tend vers z�ro quand x tend vers plus l'infini.
g(x) tend vers 24 quand x tend vers pus l'infini.
La droite d'�quation y = 24 est asymptote � la courbe.
c. La taille de la plante pourra-t-elle atteindre 25 cm ? Justifier.
Non, la taille maximale des plantes est 24 cm.
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