En
poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation
de Cookiesvous proposantdes
publicit�s adapt�es � vos centres
d’int�r�ts.
.
.
..
......
.....
Exercice 1. 4 points. Pour
chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou
fausse et justifier la r�ponse choisie. Toute trace de recherche, m�me
incompl�te ou non fructueuse, sera prise en compte dans l’�valuation. Une r�ponse non justifi�e ne rapporte aucun point. 1. Dans le plan complexe ci-dessous, on a plac� le point A d’affixe zA. Proposition 1 : la forme alg�brique de zA est zA = −1+1,7i. Vrai.
La projection de A sur l'axe des r�els donne -1 ; la projection de A sur l'axe vertical ( imaginaires purs ) donne 1,7. 2. Durant sa scolarit�,Mathilde a pris le bus 3 000 fois pour aller au coll�ge ou au lyc�e.
Son temps d’attente � l’arr�t de bus, en secondes, est mod�lis� par une
variable al�atoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [120; 500]. Proposition 2 : elle a attendu en moyenne, au total, environ 258 heures et 20 minutes � l’arr�t de bus. Vrai.
Moyenne = (500 +120) / 2 = 310 s par voyage.
310 x 3000 =930 000 s ou 15 500 min ou 258 h 20 min. 3. Soit (d) la droite passant par les points A(1; 3) et B(4; 5). Proposition 3 : le point C(12,1; 10,4) appartient � la droite (d). Vrai.
Equation de la droite d : y = ax+b.
La droite passe par A : 3 = a+b. (1)
La droite passe par B : 5 = 4a+b. (2)
(2)-(1) donne : 2= 3a ; a = 2 / 3.
Par suite b = 7 /3 et y = 2 x /3 +7 /3.
Si C appartient � la droite d : 10,4 = 2 *12,1 / 3 +7 /3 =10,4. 4.Proposition 4 : pour tout nombre r�el x > 2, on a
ln (x2-4) = ln(x+2) +ln(x-2). Vrai. x2-4 = (x+2) (x-2) ; ln (x2-4) =ln((x+2)(x-2)) = ln(x+2) +ln(x-2)
avec x+2 > 0 soit x > -2 et x-2 >0 soit x > 2.
...
Exercice
2. 4 points. Partie A.
Une association de protection de la nature amen� durant l’�t� une
campagne de d�pollution sur des plages du golfe de Gascogne. La
quantit� de d�chets, en litres, laiss�e chaque semaine de la saison
estivale par les usagers sur un kilom�tre de plage est mod�lis�e par
une variable al�atoire X qui suit la loi normale N (7 ; 1,5). 1. Quel est le volume moyen de d�chets ramass�s en une semaine sur un kilom�tre de plage ?
Volume moyen 7 litres. 2. Laquelle de ces quatre courbes repr�sente la fonction de densit� de la loi normaleN (7 ; 1,5) ?
Aucune justification n’est demand�e.
La courbe 1 est centr�e sur 7 et assez applatie ( �cart type assez grand ). 3. Quelle est la
probabilit� que le volume de d�chets sur 1 km de plage soit compris
entre 4 et 10 litres ? On arrondira le r�sultat au centi�me.
P(X <4) =0,02275 ; P(X <10) =0,9772 ;
P(4 < X < 10) = 0,9772 -0,02275 ~0,95. 4. a. Calculer P(X >5). On arrondira le r�sultat au centi�me. b. Interpr�ter le r�sultat. P(X <5) =0,0912 ;P(X > 5) = 1 -P(X <5) =1 -0,0912~0,91. Partie B.
Lors d’un sondage sur la population fr�quentant une plage du golfe de
Gascogne, 98% des personnes interrog�es ont d�clar� ne jamais
abandonner de d�chets sur la plage.
Des b�n�voles ont voulu v�rifier ces d�clarations en �tudiant le
comportement des usagers de la plage. � l’issue de plusieurs relev�s,
ils ont d�nombr� que, sur 2 200 personnes observ�es, 135 avaient laiss�
un ou plusieurs d�chets sur la plage.
Ces relev�s sont-ils en contradiction avec les r�sultats du sondage ?
On pourra utiliser un intervalle de fluctuation avec un niveau de
confiance de 95% de la fr�quence sur un �chantillon de 2 200 personnes.
1,96 [p(1-p) / n]� =1,96 (0,98 x0,02 / 2200)� ~0,006.
Intervalle de fluctuation [ 0,98 -0,006 ; 0,98 +0,006) soit [0,974 ; 0,986 ].
La fr�quence observ�e (2200 -135) / 2200 ~0,94 n'appartient pas � cet intervalle. Donc contradiction avec les r�sultats du sondage.
....
Exercice 3. 6 points. Une
�quipe de chercheurs japonais a d�couvert une bact�rie nomm�e Ideonella
Sakaiensis capable, sous certaines conditions, de dig�rer le plastique.
Ces biologistes �tudient l’�volution de la population des bact�ries
lors d’une mise en culture. Partie A.
Dans une cuve, les chercheurs ont introduit 3 000 bact�ries � l’instant t = 0.
On mod�lise par f (t ) le nombre de bact�ries (exprim� en milliers) pr�sentes dans la cuve � l’instant t (exprim� en heures).
Pendant les 48 premi�res heures, la vitesse d’accroissement de la
population est proportionnelle au nombre de bact�ries. On admet donc
que f est solution, sur [0;48], de l’�quation diff�rentielle :
(E) : y′= 0,02y o� y d�signe une fonction de la variable t . 1. R�soudre l’�quation diff�rentielle (E). 2. Que vaut f (0) ? En d�duire une expression de f (t ) sur [0; 48].
y' -0,02 y =0 ; solution y = A e0,02t avec A une constante.
y(t=0) = A = 3. y(t) = 3 e0,02t . 3. Au bout de
combien de temps, le nombre de bact�ries, aura-t-il doubl� ? Arrondir
le r�sultat au milli�me puis donner la r�ponse en heures et minutes.
6 =3 e0,02t ; 2 = e0,02t ; ln(2) = 0,02 t ; t = ln(2) / 0,02 ~ 34,657 h ou 34 h 40 min. Partie B.
Pass�s les deux premiers jours, le nombre de bact�ries pr�sentes dans la cuve est mod�lis� par la suite (un) d�finie par :
u0 = 7800
un+1 = 0,95un +1500, pour tout entier naturel n
o� un correspond au nombre de bact�ries pr�sentes le n- jour apr�s le deuxi�me jour de mise en culture. 1. D�terminer les valeurs de u1 et u2.
u1 = 0,95u0 +1500 = 0,95 x7800 +1500 =8910.
u2 = 0,95u1 +1500 = 0,95 x8910 +1500 =9964,5. 2. a. Recopier et
compl�ter l’algorithme suivant afin de d�terminer le nombre de jours �
partir duquel la population de bact�ries d�passe 20 000.
u←7800
n←0
Tant que u < 20 000
u←0,95 *u +1500
n←n+1
Fin Tant que
b. Apr�s ex�cution de l’algorithme on obtient n = 16. Interpr�ter ce r�sultat dans le contexte de l’exercice.
Au bout de 16+2 = 18 jours, le nombre de bact�ries d�passe 20 000.
3. Soit (vn) la suite d�finie pour tout entier n >0 par vn = un −30000.
On admet que cette suite est g�om�trique de raison 0,95.
a. Calculer v0.
v0 = u0-30 000 =7800-30000 = -22 200.
b. Exprimer vn en fonction de n.
vn = v0 x0,95n = -22 200 x0,95n.
c. Montrer que, pour tout entier naturel n, un = 30000−22200�0,95n .
un = vn +30 000 = 30000−22200�0,95n .
d. En d�duire la limite de (un) et interpr�ter ce r�sultat.
-1 < 0,95 < 1, donc 0,95n tend vers z�ro si n tend vers plus l'infini.
un tend vers 30 000 si n tend vers plus l'infini.
Au bout d'un temps suffisamment long, le nombre de bact�ries est constant �gal � 30 000.
Exercice 4. 6 points.
Pour r�cup�rer le plastique se trouvant dans les mers et les oc�ans, un
navire exp�rimental, s’inspirant de la forme des raies mantas, est en
projet : le Manta. Son r�le serait de collecter les d�chets
plastiques flottant en surface. Partie A.
On consid�re qu’un navire comme le Manta serait capable de collecter 35 tonnes de d�chets plastiques par jour. 1. Chaque ann�e, 8
millions de tonnes de d�chets plastiques sont d�vers�s dans les mers et
oc�ans. Combien de navires comme le Manta, auminimum, faudrait-il pour
collecter cette
masse de d�chets plastiques en un an ?
Un navire collecte 35 x365 = 12 775 tonnes de d�chets par an.
Nombre de navires : 8 106 / 12 775 ~626. 2. En 2025, il y
aura environ 450 millions de tonnes de d�chets plastiques dans les mers
et oc�ans. Avec une flotte de 700 navires comme le Manta, combien
d’ann�es faudrait-il, au
minimum, pour collecter cette masse de d�chets ?
450 106 / (700 x12 775) ~ 50 ans. ( � condition qu'� partir de 2025, on ne d�verse plus de plastique dans les mers).
Partie B.
Le Manta est pr�vu pour produire lui-m�me l’�nergie n�cessaire � son
fonctionnement, gr�ce entre autres, � des panneaux solaires.
Nous allons ici d�terminer la surface de panneaux solaires sur un flanc du navire.
Le sch�ma ci-dessus repr�sente la surface de panneaux solaires sur le flanc droit du navire.
On a partag� cette surface en 3 zones :
• la zone 1 : un rectangle ABCD, tel que AB= 35 m et BC = 2 m ;
• la zone 2 : un trap�ze rectangle PQRS, tel que PQ = 6 m; RQ = 7,2 m et RS= 18,7 m ;
• la zone 3, qui a �t� mod�lis�e, et dont la surface, dans le plan muni
d’un rep�re orthonorm� d’unit� 1 m�tre correspond � la partie du plan
limit�e par :
◦ les droites d’�quations x = 0 et x = 25,
◦ la courbe repr�sentative Cf de la fonction f d�finie sur [0 ; 25] par f (x) = 30e −0,15x +18,
◦ la courbe repr�sentative Cg de la fonction g d�finie sur [0 ; 25] par g (x) = −0,03x2 +0,15x +15. 1. a. Montrer que la fonction F(x)= −200e −0,15x +18x est une primitive de f sur [0 ; 25].
F '(x) = -200 * (-0,15)e −0,15x +18 =30 e −0,15x +18 = f(x). b. En d�duire la valeur exacte de I, puis en donner une valeur approch�e au centi�me.
F(25)-F(0) = −200e −0,15*25 +18*25 -(-200) = -200 e-3,75 + 650 ~645,30 m2. 2. a. D�terminer une primitive G de la fonction g sur [0 ; 25]. G(x) =−0,03x3 / 3 +0,15x2 / 2 +15x = −0,01x3 +0,075x2 +15x. b. En d�duire la valeur exacte de J.
J = G(25)-G(0) = −0,01*253 +0,075*252 +15*25 = -156,25 +46,875 +375 = 265,625 m2. 3. D�duire des questions pr�c�dentes que l’aire de la zone 3 est d’environ 379,67 m2.
645,30 -265,625 ~379,67 m2. 4. D�terminer la surface totale de panneaux solaires sur le flanc droit du navire.
Aire de la zone 1 : 35 x2 = 70 m2.
Aire de la zone 2 : (6 +18,7) x7,2 / 2 =88,92 m2.
70 +88,92 +379,67 =538,59 m2.
