Math�matiques bac S Am�rique du sud  2019.

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts.


.
.
......


.....

Exercice 1.  6 points.
 Les parties A, B et C peuvent �tre trait�es de fa�on ind�pendante.
Dans tout l’exercice, les r�sultats seront arrondis � 10−3.
Le roller de vitesse est un sport qui consiste � parcourir une certaine distance le plus rapidement possible en rollers. Dans le but de faire des �conomies, un club de roller de vitesse s’int�resse � la gestion de ses chronom�tres et des roulements de ses rollers.
Partie A :
On note T la variable al�atoire �gale � la dur�e de vie, en mois, d’un chronom�tre et on admet qu’elle suit une loi exponentielle de param�tre l= 0,0555.
1. Calculer la dur�e de vie moyenne d’un chronom�tre (arrondie � l’unit�).
1 / l =1 / 0,0555 ~ 18 mois.
2. Calculer la probabilit� qu’un chronom�tre ait une dur�e de vie comprise entre un et deux ans.
P(T< 12)= 1 -exp(-12 x0,0555) =0,48624.
P(T< 24)= 1 -exp(-24x0,0555) =0,73605.
P(12 < T < 24) =0,73605-0.48624 ~0,250.
3. Un entra�neur n’a pas chang� son chronom�tre depuis deux ans. Quelle est la probabilit� qu’il soit encore en �tat de fonctionner au moins un an de plus ?
La loi exponentielle est � dur�e de vie sans vieillissement.
P T <24 (T > 36) = P(T> 12) =exp(-12 x0,0555) ~0,514.

Partie B :
Ce club fait des commandes group�es de roulements pour ses adh�rents aupr�s de deux fournisseurs A et B.
— Le fournisseur A propose des tarifs plus �lev�s mais les roulements qu’il vend sont sans d�faut avec une probabilit� de 0,97.
— Le fournisseur B propose des tarifs plus avantageux mais ses roulements sont d�fectueux avec une probabilit� de 0,05.
On choisit au hasard un roulement dans le stock du club et on consid�re les �v�nements :
A : � le roulement provient du fournisseur A �,
B : � le roulement provient du fournisseur B �,
D : � le roulement est d�fectueux �.
1. Le club ach�te 40% de ses roulements chez le fournisseur A et le reste chez le fournisseur B.
a. Calculer la probabilit� que le roulement provienne du fournisseur A et soit d�fectueux.
P(A n D) =0,40 x 0,03 =0,012.
b. Le roulement est d�fectueux. Calculer la probabilit� qu’il provienne du fournisseur B.

2. Si le club souhaite que moins de 3,5% des roulements soient d�fectueux, quelle proportion minimale de roulements doit-il commander au fournisseur A ?
Soit x la proportion de roulement issus de A : 0,03 x + 0,05(1-x) < 0,035 ;
-0,02 x +0,05 < 0,035 ; 0,02 x >0,015 ; x > 0,015 / 0,02 ; X > 0,75 ( 75 %).

Partie C :
Le diam�tre int�rieur standard d’un roulement sur une roue de roller est de 8 mm.
On note X la variable al�atoire donnant en mm le diam�tre d’un roulement et on admet que X suit une loi normale d’esp�rance 8 et d’�cart type 0,1.
Un roulement est dit conforme si son diam�tre est compris entre 7,8 mm et 8,2 mm.
1. Calculer la probabilit� qu’un roulement soit conforme.
P ( X > 7,8) =0,9773 ; P ( X > 8,2) =0,02275 ;
P( 7,8 < X < 8,2 )=0,9775 -0,02275~0,954.
2. Le fournisseur B vend ses roulements par lots de 16 et affirme que seulement 5% de ses roulements sont non conformes.
Le pr�sident du club, qui lui a achet� 30 lots, constate que 38 roulements sont non conformes.
Ce contr�le remet-il en cause l’affirmation du fournisseur B ?
On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.
1,96 (0,05 x0,95 / (30 x16))� =0,0195.
Intervalle de fluctuation : [ 0,05 -0,0195 ; 0,05 +0,0195 ] soit [0,0305 ; 0,0695].
Fr�quence observ�e : f = 38 / (30 x16) ~0,0792.
Cette fr�quence n'appartient pas � l'intervalle pr�c�dent. L'affirmation du fournisseur est remise en cause.
3. Le fabricant de roulements de ce fournisseur d�cide d’am�liorer la production de ses roulements.
Le r�glage de la machine qui les fabrique est modifi� de sorte que 96% des roulements soient conformes. On suppose qu’apr�s r�glage la variable al�atoire X suit une loi normale d’esp�rance 8 et d’�cart-type s.
a. Quelle est la loi suivie par (X −8) / s ?
Loi normale centr�e r�duite( 0 ; 1).
b. D�terminer s pour que le roulement fabriqu� soit conforme avec une probabilit� �gale � 0,96.
P(7,8 < X < 8,2) = 0,96 ; P(7,8 -8 < X-8 < 8,2-8) = 0,96 ; P(-0,2 < X-8 < 0,2) = 0,96 ; P(-0,2/ s < (X-8) / s < 0,2 / s) = 0,96 ;
P(-0,2/ s < (Z < 0,2 / s) = 0,96 ; 2P(Z < 0,2 / s)-1 = 0,96 ; P(Z < 0,2 / s) =0,98 ; 0,2 / s = 2,054.
s = 0,097.

...


Exercice 2. 5 points.
La vasopressine est une hormone favorisant la r�absorption de l’eau par l’organisme.
Le taux de vasopressine dans le sang est consid�r� normal s’il est inf�rieur � 2,5 μg/mL.
Cette hormone est s�cr�t�e d�s que le volume sanguin diminue. En particulier, il y a production de vasopressine suite � une h�morragie.
On utilisera dans la suite la mod�lisation suivante :
f (t ) = 3te-0,25t +2 avec t >0,
o� f (t ) repr�sente le taux de vasopressine (en μg/mL) dans le sang en fonction du temps t (en minute) �coul� apr�s le d�but d’une h�morragie.
1. a. Quel est le taux de vasopressine dans le sang � l’instant t = 0 ?
f(0) = 2 �g / mL.
b. Justifier que douze secondes apr�s une h�morragie, le taux de vasopressine dans le sang n’est pas normal.
12 s ou 12 / 60 = 0,2 minute.
f(0,2) = 3 x0,2 exp(-0,25 x0,2) +2 = 2,57 �g / mL, valeur sup�rieure � 2,5 �g / mL.
c. D�terminer la limite de la fonction f en +∞. Interpr�ter ce r�sultat.
Le terme en exponentielle tend vers z�ro si t tend vers plus l'infini.
3te-0,25t tend vers z�ro et f(t) tend vers 2.
Au bout d'un temps suffisamment long le taux de vasopresine dans le sang tend vers 2 �g / mL.
2. On admet que la fonction f est d�rivable sur [0 ; +∞[.
V�rifier que pour tout nombre r�el t positif,
f ′(t )=0,75 (4-t) e-0,25t .
On pose u = 3t et v = e-0,25t ; u' = 3 et v' = -0,25 e-0,25t ;
u'v + v' u = 3e-0,25t -0,75t e-0,25t  = (3-0,75 t)e-0,25t =0,75 (4-t) e-0,25t .
  3. a. �tudier le sens de variation de f sur l’intervalle [0 ; +∞[ et dresser le tableau de variations de la fonction f (en incluant la limite en +∞).
e-0,25t  est positif ; le signe de f '(t) est celui de 4-t.
Si t < 4, f '(t) est positive et f(t) est croissante.
Si t >4, f '(t) est n�gative et f(t) est d�croissante.
Si t = 4, f '(t) est nulle est f(t) pr�sente un maximum.
b. � quel instant le taux de vasopressine est-il maximal ?
Quel est alors ce taux ? On en donnera une valeur approch�e � 10−2 pr�s.

4. a. D�montrer qu’il existe une unique valeur t0 appartenant � [0; 4] telle que f (t0) = 2,5.
En donner une valeur approch�e � 10−3 pr�s.
Sur cet intervalle, f(t) est continue ( car d�rivable) et strictement croissante ; f(0) = 2 et f(4) ~6,41 �g / mL.
D'apr�s le th�or�me de la bijection, l'�quation f(t0) = 2,5 admet une unique solution sur cet intervalle.
t0 ~0,174 minute.
On admet qu’il existe une unique valeur t1 appartenant � [4 ; +∞[ v�rifiant f (t1) = 2,5.
On donne une valeur approch�e de t1 � 10−3 pr�s : t1 ≈ 18,930.
b. D�terminer pendant combien de temps, chez une personne victime d’une h�morragie, le taux de vasopressine reste sup�rieur � 2,5 μg/mL dans le sang.
t1-t0 = 18,930 -0,174 ~18,756 minutes.
5. Soit F la fonction d�finie sur [0 ; +∞[ par F(t ) = −12(t +4)e−0,25t +2t .
a. D�montrer que la fonction F est une primitive de la fonction f et en d�duire une valeur approch�e de � l’unit� pr�s.
On pose u = t+4 et v = e-0,25t ; u' = 1 et v' = -0,25 e-0,25t ;
u'v + v' u = e-0,25t -0,25(t+4) e-0,25t  = -0,25 t e-0,25t .
F'(t) = 12 x0,25 t e-0,25t  +2 = 3t e-0,25t  +2 = f(t).
b. En d�duire une valeur approch�e � 0,1 pr�s du taux moyen de vasopressine, lors d’un accident h�morragique durant la p�riode o� ce taux est sup�rieur � 2,5 μg/mL.
(F(t1-F(t0) ) / (t1-t0).
F(18,93)= -12x22,93 exp(-0,25 x18,93) +2 x18,93 ~35,43.
F(0,174)= -12x4,174 exp(-0,25 x0,174) +2 x0,174 ~-47,608.
(35,43 -(- 47,608)) / 18,756 ~4,4 �g / mL.
 
....

 Exercice 3. 4 points
On consid�re un cube ABCDEFGH.
Le point M est le milieu de [BF], I est lemilieu de [BC], le point N est d�fini par la relation suivante.

Le point P est le centre de la face ADHE.
Partie A :
1. Justifier que la droite (MN) coupe le segment [BC] en son milieu I.
Soit K le point d'intersection de la droite (MN) et du segment [BC].
Les droites (BM) et (CN) sont parall�les ; les droites (BC) et (MN) sont deux s�cantes.
Les triangles rectangles BMK et CNK sont semblables :
BK / KC =BM / CN = 1.
Donc K est le milieu du segment [BC] ; K est confondu avec I.
2. Construire la section du cube par le plan (MNP).
Les points M et I appartiennent � la fois au plan (MNP) et au plan (BCGF) face avant du cube. [MI] est l'intersection de ces deux plans.
D(0 ; 1 ;0) appartient au plan (MNP) d'�quation x +2y+2z -2 = 0 ( voir ci-dessous ).
Les points D et I appartiennent � la fois au plan (MNP) et au plan (ABCD) base du cube. [DI] est l'intersection de ces deux plans.
E(0 ; 0 ;1) appartient au plan (MNP) d'�quation x +2y+2z -2 = 0 ( voir ci-dessous ).
Les points D et E appartiennent � la fois au plan (MNP) et au plan (ADEH) face arri�re du cube. [DE] est l'intersection de ces deux plans.
Les points M et E appartiennent � la fois au plan (MNP) et au plan (ABFE). [ME] est l'intersection de ces deux plans.


Partie B :
1. Justifier que le vecteur   est un vecteur normal au plan (MNP).
En d�duire une �quation cart�sienne du plan (MNP).
M( 1 ; 0 ; �) ; N( 1 ; 1 ; -�) ; P( 0 ; � ; � ).


Equation cart�sienne du plan (MNP) :
x +2y+2z +d = 0.
M appartient � ce plan : 1+1+d = 0 ; d = -2.
x +2y+2z -2 = 0.
2. D�terminer un syst�me d’�quations param�triques de la droite (d) passant par G et orthogonale au plan (MNP).
Le vecteur   est un vecteur directeur de la droite (d).
x = t +xG = t+1 ; y = 2 t +yG = 2t +1 ; z = 2t +zG = 2t +1 avec t r�el.
3. Montrer que la droite (d) coupe le plan (MNP) au point K de coordonn�es (2 /3 ; 1 / 3 ; 1 / 3).
K appartient � la droite (d) : xK = t+1 ; yK = 2t+1 ; zK = 2t+1.
K appartient au plan (MNP) : t+1 +4t+2 +4t+2 -2 = 0 ; 9t +3 = 0 ; t = -1 /3.
xK = t+1 =2 / 3 ; yK = 2t+1 = 1 / 3 ; zK = 2t+1= 1 /3.
En d�duire la distance GK.
GK = [(1-2 /3) 2 +(1-1 /3)2 +(1-1/3)2]� =(1 / 9 + 4 /9 +4 / 9)� = 1
4. On admet que les quatre points M, E, D et I sont coplanaires et que l’aire du quadrilat�re MEDI est 9 / 8 unit�s d’aire.
Calculer le volume de la pyramide GMEDI.
V = aire de base  fois hauteur / 3 = aire de base x GK / 3 = 9 / 8 x1 / 3 = 3 / 8 unit� de volume.
 

Exercice 4.
  On consid�re la suite (un) d�finie pour tout entier n >0 par : un+1 = 3-10 / (un+4) et  u0 = 5.
Partie A :
1. D�terminer la valeur exacte de u1 et de u2.
u1 = 3-10 / (u0+4) = 3-10 / 9 =(27-10) / 9 = 17 / 9.
u2 = 3-10 / (u1+4) = 3-10 / (17 / 9 +4) =3-90 / 53 =(159-90) / 53 = 69 / 53.
2. D�montrer par r�currence que pour tout entier naturel n, un >1.
 Initialisation : u1 =17 / 9.La relation est vraie au rang 1.
H�r�dit� : On suppose que up >1 est vraie
up+1 = 3-10 / (up+4)  avec up+4 > 5.
1 / (up+4) < 1 / 5 ; 10 / (up+4) < 10 / 5 ; 10 / (up+4) < 2 ;
-10 / (up+4) >  -2 ;
3-10 / (up+4) >  3-2 ; 3-10 / (up+4) > 1 ; up+1 >1, la propri�t� est vraie au rang p+1.
Conclusion : la propri�t� �tant vraie au rang 1 et h�r�ditaire, elle est vraie pout tout entier naturel.
 3. D�montrer que, pour tout entier nature n, un+1 −un =(1−un ) (un +2) / ( un +4).

4. En d�duire le sens de variation de la suite (un).
un > 1 ; (un +2) et ( un +4) sont positifs ; (1−un ) est n�gatif ou nul.
un+1 −un < 0. La suite est d�croissante.
5. Justifier que la suite (un) converge.
La suite est d�croissante et minor�e ( un > 1), donc elle converge.

Partie B :
On consid�re la suite (vn) d�finie pour tout entier naturel n par vn =(un-1) / (un+2).
1. a. D�montrer que (vn) est une suite g�om�trique dont on d�terminera la raison et le premier terme v0.
vn+1 =(un+1-1) / (un+1+2).
un+1 = 3-10 / (un+4).
un+1-1 = 2-10 / (un+4) =(2un-2) / (un+4).
un+1+2=5-10 / (un+4) =(5un+10) / (un+4).
vn+1 =(2un-2) / (5un+10) =2 / 5 vn.
(vn) est une suite g�om�trique de raison 2 /5 = 0,4 et de premier terme v0 = (u0-1) / (u0+2)=4 / 7.
b. Exprimer vn en fonction de n.
En d�duire que pour tout entier naturel n, vn diff�re de 1.
vn =v0 x 0,4n=4 / 7x  0,4n.
4 / 7 diff�re de 1 ; 0,4n est inf�rieur ou �gal � 1 ; donc  vn diff�re de 1.
 2. D�montrer que pour tout entier naturel n, un =(2vn +1) / (1−vn).
vn =(un-1) / (un+2)=4 / 7x  0,4n.
vn(un+2)=un-1 ; vn un+2vn=un-1 ; un ( 1-vn) = 1+2vn ; un =(2vn +1) / (1−vn).
3. En d�duire la limite de la suite (un).
un =(8 / 7x  0,4n +1) / (1−4 / 7x  0,4n).
Quand n tend vers plus l'infini : 0,4n tend vers z�ro.
1−4 / 7x  0,4n tend vers 1 et 8 / 7x  0,4n +1 tend vers 1.
La limite de cette suite (un) est �gale � 1.
 Partie C :
On consid�re l’algorithme ci-dessous.
1. Apr�s ex�cution de l’algorithme, quelle valeur est contenue dans la variable n ?
2. � l’aide des parties A et B, interpr�ter cette valeur.
u←5
n←0
Tant que u >1,01
n←n +1
u←3− 10 /(u +4)
Fin du Tant que
L'algorithme s'arr�te d�s que u <1,01.
u5 =(8 / 7x  0,45 +1) / (1−4 / 7x  0,45)~1,0176.
u6 =(8 / 7x  0,46 +1) / (1−4 / 7x  0,46)~1,0073.
n est �gal � 6.
La suite (un) est d�croissante e converge vers1.
L'algorithme affiche la premi�re valeur de n pour laquelle un <1,01.


  

menu