Math�matiques, bac S Am�rique du nord 2019.

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Exercice 1 : Commun à tous les candidats (5 points)
Dans cet exercice et sauf mention contraire, les r�sultats seront arrondis � 10−3.
Une usine fabrique des tubes.
Partie A.
Les questions 1 et 2 sont ind�pendantes.
On s’int�resse � deux types de tubes, appel�s tubes de type 1 et tubes de type 2.
1. Un tube de type 1 est accept� au contr�le si son �paisseur est comprise entre 1,35 millim�tres et 1,65 millim�tres.
a. On d�signe par X la variable al�atoire qui, � chaque tube de type 1 pr�lev� au hasard dans la production d’une journ�e, associe son �paisseur exprim�e en millim�tres. On suppose que la variable al�atoire X suit la loi normale d’esp�rance 1,5 et d’�cart-type 0,07.
On pr�l�ve au hasard un tube de type 1 dans la production de la journ�e. Calculer la probabilit� que le tube soit accept� au contr�le.
P(X < 1,35) =0,01606 ; P(X < 1,65) =0,98394 ;
P(1,35 < X < 1,65) =0,98394-0,01606 =0,968. 
b. L’entreprise d�sire am�liorer la qualit� de la production des tubes de type 1. Pour cela, on modifie le r�glage des machines produisant ces tubes. On note X1 la variable al�atoire qui, � chaque tube de type 1 pr�lev� dans la production issue de la machine modifi�e, associe son �paisseur. On suppose que la variable al�atoire X1 suit une loi normale d’esp�rance 1,5 et d’�cart-type σ1.
Un tube de type 1 est pr�lev� au hasard dans la production issue de la machine modifi�e. D�terminer une valeur approch�e � 10−3 pr�s de σ1 pour que la probabilit� que ce tube soit accept� au contr�le soit �gale � 0,98. (On pourra utiliser la variable al�atoire Z d�finie par Z = (𝑋1−1,5) /𝜎1 qui suit la loi normale centr�e r�duite.)
P(1,35 < X1 < 1,65) =0,98 ;  P((1,35 −1,5)/𝜎1< Z < (1,65-−1,5)/𝜎1) =0,98 ;
P((-0,15)/𝜎1< Z < (0,15)/𝜎1) =0,98 ;
2 F(0,015 / 𝜎1)-1 =0,098  ; F(0,015 / 𝜎1)=0,01 ;
P(Z < 0,015 / 𝜎1 ) = 0,99 ; 0,015 / 𝜎1  =2,326 ; 𝜎1 =0,064.

2. Une machine produit des tubes de type 2. Un tube de type 2 est dit � conforme pour la longueur � lorsque celle-ci, en millim�tres, appartient � l’intervalle [298 ; 302]. Le cahier des charges �tablit que, dans la production de tubes de type 2, une proportion de 2 % de tubes non �conformes pour la longueur � est acceptable.
On souhaite d�cider si la machine de production doit �tre r�vis�e. Pour cela, on pr�l�ve au hasard dans la production de tubes de type 2 un �chantillon de 250 tubes dans lequel 10 tubes se r�v�lent �tre non � conformes pour la longueur �.
a. Donner un intervalle de fluctuation asymptotique � 95 % de la fr�quence des tubes non � conformes pour la longueur � dans un �chantillon de 250 tubes.
n = 250 ; p = 0,02 ; n > 30 ; np = 250 x0,02 =5 > 5 ; n(1-p) = 250 x0,98 =245 > 5.
Les conditions sont requises pour d�finir un intervalle de fluctuation asymptotique.
1,96 ( p(1-p) / n)� = 1,96 ( 0,02 x 0,98 / 250)� =0,0173.
Intervalle de fluctuation [ 0,02-0,0173 ; 0,02 +0,0173) soit [0,002 ; 0,38 ].
b. D�cide-t-on de r�viser la machine ? Justifier la r�ponse.
La  fr�quence observ�e 10 / 250 = 0,04 n'appartient pas � cet intervalle. Il faut r�viser la machine, au risque d'erreur de 5 %.
Partie B
Des erreurs de r�glage dans la cha�ne de production peuvent affecter l’�paisseur ou la longueur des tubes de type 2. Une �tude men�e sur la production a permis de constater que :
- 96 % des tubes de type 2 ont une �paisseur conforme ;
- parmi les tubes de type 2 qui ont une �paisseur conforme, 95 % ont une longueur conforme ;
- 3,6 % des tubes de type 2 ont une �paisseur non conforme et une longueur conforme.
On choisit un tube de type 2 au hasard dans la production et on consid�re les �v�nements :
- 𝐸 : � l’�paisseur du tube est conforme � ;
- 𝐿 : � la longueur du tube est conforme �.
On mod�lise l’exp�rience al�atoire par un arbre pond�r�.
1. Recopier et compl�ter enti�rement cet arbre.
2. Montrer que la probabilit� de l’�v�nement 𝐿 est �gale � 0,948.



Exercice 2 : Commun à tous les candidats (4 points)
Le plan complexe est muni d’un rep�re orthonorm� direct . Dans ce qui suit, 𝑧 d�signe un nombre complexe.
Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer sur la copie si elle est vraie ou si elle est fausse. Justifier. Toute r�ponse non justifi�e ne rapporte aucun point.
Affirmation 1 : L’�quation 𝑧−i=i(𝑧+1) a pour solution 𝑧=2�exp(i p /4). Faux.
z-i = z i +i ; z(1-i)= 2i ; z = 2i / (1-i) = 2i(1+i) / 2 = i(1+i) = -1 +i.
Module de z : [z| = 2� ; z / |z| = -2� / 2 + i 2� / 2 = cos (3 p/4) + i sin (3 p/4) = exp(3 p/4).

Affirmation 2 : Pour tout r�el 𝑥 ∈ ]−𝜋/2; 𝜋/2[ , le nombre complexe 1+e2i𝑥 admet pour forme exponentielle 2cos𝑥 e−i𝑥. Faux.
z=1+e2ix = 1 + cos(2x) + i sin(2x).
z =2 cos2(x)+i sin(2x) = 2 cos2(x)+2i cos(x) sin(x) = 2 cos(x) [ cos(x) + i sin(x)] = 2 cos(x) eix.

Affirmation 3 : Un point M d’affixe z tel que |𝑧−i|=|𝑧+1| appartient � la droite d’�quation 𝑦=−𝑥. Vrai.
On pose z = x + iy ; |z-i| = [x2 + (y-1)2]� =[x2 + y2 +1 -2y]� ;
|z+1| = [y2 + (x+1)2]� =[x2 + y2 +1 +2x]� ;
[x2 + y2 +1 -2y] =[x2 + y2 +1 +2x] ; y = -x.

Affirmation 4 : L’�quation 𝑧5+𝑧−i+1=0 admet une solution r�elle. Faux.
Si cette �quation admet une solution r�elle z0 : 𝑧05+𝑧0+1= i.
L'expression �crite � gauche est r�elle, celle �crite � droite est imaginaire. C'est absurde.



Exercice 3 : Commun � tous les candidats (6 points)
Partie A : �tablir une in�galit�
Sur l’intervalle [0;+∞[ , on d�finit la fonction 𝑓 par 𝑓(𝑥)=𝑥−ln(𝑥+1).
1. �tudier le sens de variation de la fonction 𝑓 sur l’intervalle [0;+∞[.
f '(x) = 1-1/(x+1) = x /(x+1), positive sur [0;+∞[.
f(x) est strictement croissante sur [0;+∞[.
2. En d�duire que pour tout 𝑥∈[0;+∞[, ln (𝑥+1)≤𝑥.
f(0) = 0 -ln(1) = 0.
De plus f(x) est strictement croissante.
par suite f(x) > 0 ; ln (𝑥+1)≤𝑥.

Partie B : application à l’�tude d’une suite
On pose 𝑢0=1 et pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛+1=𝑢𝑛−ln (1+𝑢𝑛). On admet que la suite de terme g�n�ral 𝑢𝑛 est bien d�finie.
1. Calculer une valeur approch�e � 10−3 pr�s de 𝑢2.
u1 = u0 -ln(1+u0) = 1 - ln2 ~ 0,307
u2 = u1 -ln(1+u1) ~ 0,307 -ln1,307 ~0,039.
2. a. D�montrer par r�currence que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛≥0.
Initialisation : la propri�t� est vraie au rang z�ro.
H�r�dit� : la propri�t� est supos�e vraie au rang p : 𝑢p ≥0.
up+1 =up - ln(1+up) ; or ln(1+up) < up ; donc up+1 > 0.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang z�ro et h�r�ditaire, elle est donc vraie quel que soit n.
b. D�montrer que la suite (𝑢𝑛) est d�croissante, et en d�duire que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛≤ 1 .
un+1-un = - ln(1+un) avec n(1+un) >0 ; donc un+1 < un. La suite est d�croissante.
c. Montrer que la suite (𝑢𝑛) est convergente.
La suite est d�croissante et minor�e par 0, donc elle converge.
3. On note 𝑙 la limite de la suite (𝑢𝑛) et on admet que 𝑙=𝑓(𝑙) o� 𝑓 est la fonction d�finie dans la partie A. En d�duire la valeur de 𝑙.
l = l-ln(1+l) ; ln(1+l) = 0 = ln(1)  ; l = 0.
4. a. �crire un algorithme qui, pour un entier naturel 𝑝 donn�, permet de d�terminer le plus petit rang N � partir duquel tous les termes de la suite (𝑢𝑛) sont inf�rieurs � 10−𝑝.
� U on affecte 1
� N on affecte 0
Tant que U > 10-p
  � U on affecte U-ln(1+U)
N = N+1
Fin tant que.
b. D�terminer le plus petit entier naturel 𝑛 � partir duquel tous les termes de la suite (𝑢𝑛) sont inf�rieurs � 10−15 .
u0 = 1 ; u1 = 1 -ln(2) = 0,307 ; u2 = 0,307 -ln(1,307) = 3,9 10-2 ; u3 = 3,9 10-2 -ln(1,039) = 7,4 10-4 ;
u4 = 7,4 10-4 -ln(1+7,4 10-4) = 1,013 10-6 ; u5 = 1,013 10-6 -ln(1+1.013 10-6) = 5,131 10-13 ;
u6 = 5,131 10-13 -ln(1+5,131 10-13) = 1,58 10-17 ;
n = 6.


Exercice 4.4 points.
On relie les centres de chaque face d’un cube ABCDEFGH pour former un solide IJKLMN comme sur la figure ci-dessous.

Plus pr�cis�ment, les points I, J, K, L, M et N sont les centres respectifs des faces carr�es ABCD, BCGF, CDHG, ADHE, ABFE et EFGH (donc les milieux des diagonales de ces carr�s).
1. Sans utiliser de rep�re (et donc de coordonn�es) dans le raisonnement men�, justifier que les droites (IN) et (ML) sont orthogonales.
Les plans (ABC) et (KLM) sont parall�les.
Les droites (IN) et (AE) sont parall�les.
La droite (AE) est perpendiculaire au plan ( ABC).
Par cons�quence la droite (IN) est perpendiculaire au plan ( ABC) et au plan ( KLM).
(IN) est donc perpendiculaire � toute droite du plan ( KLM)..
Dans la suite, on consid�re le rep�re orthonorm� dans lequel, par exemple, le point N a pour coordonn�es (0,5 ; 0,5 ; 1)
2. a. Donner les coordonn�es des vecteurs NC et ML.
C( 1 ; 1 ; 0) ; M( 0,5 ; 0 ; 0,5) ; L(0 ; 0,5 ; 0,5).
b. En d�duire que les droites (NC) et (ML) sont orthogonales.

c. D�duire des questions pr�c�dentes une �quation cart�sienne du plan (NCI).
-0,5 x +0,5 y  +d = 0.
N (0,5 ; 0,5 ; 1) appartient � ce plan : -0,5 *0,5 +0,5 *0,5  +d = 0 soit d =0.
-0,5 x +0,5 y = 0.
3. a. Montrer qu’une �quation cart�sienne du plan (NJM) est : x − y + z = 1.
N(0,5 ; 0,5 ; 1)  ; M(0,5 ; 0 ; 0,5) ; J( 1 ; 0,5 ; 0,5).
Les coordonn�es de ces points v�rifient x − y + z = 1.
Une �quation du plan ( NJM) zqt donc x − y + z = 1.
b. La droite (DF) est-elle perpendiculaire au plan (NJM) ? Justifier.
D( 0 ; 1 ; 0) ; F (1 ; 0 ; 1).

 c. Montrer que l’intersection des plans (NJM) et (NCI) est une droite dont on donnera un point et un vecteur directeur. Nommer la droite ainsi obtenue en utilisant deux points de la figure.
Equation du plan (NCI) : -x +y = 0. (1)
Equation du plan (NJM) : x − y + z = 1 (2).
(1) donne x = y ; repport dans (2) : z = 1.
L'intersection de ces deux plans est une droite dont une repr�sentation param�trique est : x = t ; y = t ; z = 1 avec t r�el.
Le point de coordonn�es ( 0 ; 0 ; 1) appartient � cette droite ; il s'agit du point E.
Les coordonn�es d'un vecteur directeur de cette droite sont ( 1 ; 1 ; 0).
Le point N appartient � ces deux plans.
La droite (NE) est l'intersection de ces plans.


  

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