Mathmatiques, Brevet Mtropole, Antilles, La Runion septembre  2019

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Exercice 1 . ( 18 points )
Michel participe un rallye VIT sur un parcours balis. Le trajet est reprsent en traits pleins. Le dpart du rallye est en A et l’arrive est en G.

1.  Montrer que la longueur BD est gale 2,5 km.
Relation de Pythagore dans le triangle rectangle BCD : BD2 = 1,52 +22 =6,25 : BD =2,5 km.
2. Justifier que les droites (BC) et (EF) sont parallles.
Les droites (BC) et (EF) sont perpendiculaires la droite (CE). L
es droites (BC) et (EF) sont parallles.
3. Calculer la longueur DF.
DF / BD =DE / CD ; DF / 2,5 =5 / 2 = 2,5 ; DF = 2,5 x2,5 =6,25 km.
4. Calculer la longueur totale du parcours.
AB +BD +DF +FG =7 +2,5 +6,25 +3,5 =19,25 km.
5. Michel roule une vitesse moyenne de 16 km/h pour aller du point A au point B.
Combien de temps mettra-t-il pour aller du point A au point B?
Donner votre rponse en minutes et secondes.
7 /16 = 0,4375 heure ou 0,4375 x60 = 26,25 minutes ou 26 min 15 s.
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Exercice 2 ( 14 points).
1. a. Dterminer la dcomposition en produit de facteurs premiers de 2 744.
2744 = 23 x 73.
b. En dduire la dcomposition en produit de facteurs premiers de 27442.
27442
26 x 76.
c. l’aide de cette dcomposition, trouver x tel que x3 = 27442.
27442 (22 x 72)3 ; x = (2 x7) 2 = 196.
2. Soient a et b deux nombres entiers suprieurs 2 tels que a3 = b2.
a. Calculer b lorsque a = 100.
b2 = 1003 = 102x3 =(103)2 ; b = 1000.
b. Dterminer deux nombres entiers a et b suprieurs 2 et infrieurs 10 qui vrifient l’galit a3 = b2.
b = 8 et a =4.

Exercice 3 (17 points).
Les activits humaines produisent du dioxyde de carbone (CO2) qui contribue au rchauffement climatique.
Le graphique suivant reprsente l’volution de la concentration atmosphrique moyenne en CO2 (en ppm) en fonction du temps (en anne).

1. Dterminer graphiquement la concentration de CO2 en ppm en 1995 puis en 2005.
2. On veut modliser l’volution de la concentration de CO2 en fonction du temps l’aide d’une fonction g o g (x) est la concentration de CO2 en ppm en fonction de l’anne x.

a. Expliquer pourquoi une fonction affine semble approprie pour modliser la concentration en CO2 en fonction du temps entre 1995 et 2005.
Tous les points de la courbe bleue sont peu prs aligns entre 1995 et 2005..
b. Arnold et Billy proposent chacun une expression pour la fonction g :
Arnold propose l’expression g (x)= 2x −3630 ;
Billy propose l’expression g (x)= 2x −2000.
Quelle expression modlise le mieux l’volution de la concentration de CO2 ? Justifier.
2 x1995 -3630 =360 ; 2 x2005-3630 =380.
L’expression g (x)= 2x −3630 convient.
c. En utilisant la fonction que vous avez choisie la question prcdente, indiquer l’anne pour laquelle la valeur de 450 ppm est atteinte.
450 = 2x-3630 ; 2x = 3630+450 =4080 ; x = 2040.
3. En France, les forts, grce la photosynthse, captent environ 70 mgatonnes de CO2 par an, ce qui reprsente 15% des missions nationales de carbone (anne 2016). Calculer une valeur approche une mgatonne prs de la masse M du CO2 mis en France en 2016.
70 / 0,15 ~ 467 mgatonnes.



 
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Exercice 4. ( 16 points).
Pour le mariage de Dominique et Camille, le ptissier propose deux pices montes constitues de gteaux de tailles et de formes diffrentes.
La tour de Pise :
La premire pice monte est constitue d’un empilement de 4 gteaux de forme cylindrique, de mme hauteur et dont le diamtre diminue de 8 cm chaque tage. Le gteau du bas a pour diamtre 30 cm et pour hauteur 6 cm.
La tour Carre :
La deuxime pice monte est constitue d’un empilement de 3 pavs droits base carre de mme hauteur. La longueur du ct de la base diminue de 8 cm chaque tage.
 La hauteur des gteaux est 8 cm ;  le ct de la base du gteau du bas mesure 24 cm.

Tous les gteaux ont t confectionns partir de la recette ci-dessous qui donne la quantit des ingrdients correspondant 100 g de chocolat.
65 g de sucre ;  2 oeufs ;  75 g de beurre :  30 g de farine.
1. Quel est le ratio (masse de beurre : masse de chocolat) ? Donner le rsultat sous forme de fraction irrductible.
75 / 100 = 3 / 4 .
2. Calculer la quantit de farine ncessaire pour 250 g de chocolat noir suivant la recette ci-dessus.
30 x250 / 100 = 75 g.
3. Calculer la longueur du ct de la base du plus petit gteau de la tour Carre.
Etage n1 : 24 cm ; tage n2 : 24 -8 = 16 cm ; tahe n3 : 16 -8 = 8 cm.
4. Quelle est la tour qui a le plus grand volume ? Justifier votre rponse en dtaillant les calculs.
La tour de Pise : tage n1 : 3,14 x152 x6 =4241 cm3.
Etage n2 :
3,14 x112 x6 =2281 cm3.
Etage n3 : 3,14 x72 x6 =924 cm3.
Etage n4 : 3,14 x32 x6 =170 cm3.
Volume total : 7616 cm3.
La tour Carre : tage n1 : 242 x8 =4608 cm3.
Etage n2 :
162 x8 =2048 cm3.
Etage n3 : 82 x8 =512 cm3
Volume total : 7168 cm3.
La tour de Pise a le plus grand volume.

Exercice 5. ( 15 points).
On donne le programme de calcul suivant :
tape 1 : Choisir un nombre de dpart
tape 2 : Ajouter 6 au nombre de dpart
tape 3 : Retrancher 5 au nombre de dpart
tape 4 : Multiplier les rsultats des tapes 2 et 3
tape 5 : Ajouter 30 ce produit
tape 6 : Donner le rsultat
1. a. Montrer que si le nombre choisi est 4, le rsultat est 20.
4 +6 = 10 ; 4-5 = -1 ; 10 x(-1) = -10 ; -10 +30=20.
b. Quel est le rsultat quand on applique ce programme de calcul au nombre −3 ?
-3+6 = 3 ; -3 -5 = -8 ; -8 x3 = -24 ; -24 +30 = 6.
2. Zo pense qu’un nombre de dpart tant choisi, le rsultat est gal la somme de ce nombre et de son carr.
a. Vrifier qu’elle a raison quand le nombre choisi au dpart vaut 4, et aussi quand on choisit −3.
42 +4 = 20 ; (-3)2 -3 = 6.
b. Ismal dcide d’utiliser un tableur pour vrifier l’affirmation de Zo sur quelques exemples.
B6 =B1+B1^2

A
B
C
D
E
F
1
tape1
2
5
7
10
20
2
tape 2
8
11
13
16
26
3
tape 3
-3
0
2
5
15
4
tape4
-24
0
26
80
390
5
rsultat
6
30
56
110
420
6
somme du nombre et de son carr 6
30
56
110
420

Il a crit des formules en B2 et B3 pour excuter automatiquement les tapes 2 et 3 du programme de calcul.
Quelle formule recopier vers la droite a-t-il crite dans la cellule B4 pour excuter l’tape 4 ?
=B2*B3
c. Zo observe les rsultats, puis confirme que pour tout nombre x choisi, le rsultat du programme de calcul est bien x2 +x. Dmontrer sa rponse.
(x+6) (x-5)+30 = x2+6x-5x-30 +30 =x2 +x.
d. Dterminer tous les nombres pour lesquels le rsultat du programme est 0.
x2+x=x(x+1)=0 ; x=0 et x = -1.






Exercice 6. 17 points.
Deux amis Armelle et Basile jouent aux ds en utilisant des ds bien quilibrs mais dont les faces ont t modifies. Armelle joue avec le d A et Basile joue avec le d B. Lors d’une partie, chaque joueur lance son d et celui qui obtient le plus grand numro gagne un point.
Voici les patrons des deux ds :

1. Une partie peut-elle aboutir un match nul ? Non.
2. a. Si le rsultat obtenu avec le d A est 2, quelle est la probabilit que Basile gagne un point ?
3 cas favorables ( 5) sur 6 possibles . Probabilit de gagn : 0,5.
b. Si le rsultat obtenu avec le d B est 1, quelle est la probabilit qu’Armelle gagne un point ?
6 cas favorables sur 6 possibles. La probabilit du gain est gale 1.
3. Les joueurs souhaitent comparer leur chance de gagner. Ils dcident de simuler un match de soixante mille duels l’aide d’un programme informatique.
Voici une partie du programme qu’ils ont ralis.

On prcise que l’expression (nombre alatoire entre 1 et 6) renvoie de manire quiprobable un nombre pouvant tre 1; 2; 3; 4; 5 ou 6.
Les variables FaceA et FaceB enregistrent les rsultats des ds A et B. Par exemple, la variable FaceA peut prendre soit la valeur 2 soit la valeur 6, puisque ce sont les seuls nombres prsents sur le d A.
Les variables Victoire de A et Victoire de B comptent les victoires des joueurs.
1. Lorsqu’on excute le sous-programme Lancer le d A , quelle est la probabilit que la variable FaceA prenne la valeur 2 ?
4 cas favorables (1 ; 2 ; 3 ; 4 ) sur 6 possibles. La probabilit est gale 4 /6 = 2 /3.
2. Recopier la ligne 7 du programme principal en la compltant.
si FaceB < FaceA alors
3. Rdiger un sous-programme Lancer le d B qui simule le lancer du d B et enregistre le nombre obtenu dans la variable FaceB.
mettre tirage de d nombre alatoire entre 1 et 6
si tirage de d <  2 alors
mettre FaceA 1
sinon
mettre faceA 5
Aprs excution du programme principal, on obtient les rsultats suivants :
Victoire de A= 39901 Victoire de A= 20099
1. Calculer la frquence de gain du joueur A, exprime en pourcentage. On donnera une valeur approche 1% prs.
39901 / 60000 ~0,67 (67 %).
2. Conjecturer la probabilit que A gagne contre B.
A gagne en moyenne 2 fois sur 3.