Math�matiques,
BTS groupement B Nlle Cal�donie 2019.
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Exercice 1. 10 points. Dans cet exercice, on mod�lise le syst�me de suspension d’une voiture radiocommand�e par le sch�ma ci-dessous.

La masse m repose au sol � l’aide d’une suspension amortie.
On d�signe par f (t ) la hauteur, en dm, par rapport au sol de la masse m � l’instant t en seconde.
On suppose que f est une fonction de la variable r�elle t d�finie et deux fois d�rivable sur [0 ; +∞[.
Les trois parties de cet exercice peuvent �tre trait�es de fa�on ind�pendante.
A. R�solution d’une �quatIon diff�rentielle.
Une �tude m�canique montre que la fonction f est solution de l’�quation diff�rentielle (E) :
y′′ +10y′ +25y = 20,
o� y est une fonction inconnue de la variable r�elle t , d�finie et deux fois d�rivable sur [0 ; +∞[, y′ la
fonction d�riv�e de y et y′′ sa fonction d�riv�e seconde.
1. a. R�soudre dans R l’�quation r 2 +10r +25 = 0.
Discriminant D =102-4 x25 = 0.
Solution r = (-10 +0) / 2 = -5.
b. En d�duire les solutions, d�finies sur [0 ; +∞[ de l’�quation diff�rentielle (E0) :
y′′ +10y′ +25y = 0.
y = (At +B) e-5t avec A et B des constantes.
2. Cette question est une question � choix multiples. Une seule r�ponse est exacte.
La r�ponse juste rapporte un point. Une r�ponse fausse ou une absence de r�ponse ne rapporte ni n’enl�ve de point.
La fonction g d�finie sur [0 ; +∞[ par l’expression suivante est solution de l’�quation diff�rentielle (E) :
g (t ) = 0,8 ; g (t )= 20 ; g (t )= e−5t.
g(t) = 0,8 ; g'(t)= g"(t) = 0 ; repport dans (E) :
0 +0 +0,8 x25 =20.
3. En d�duire les solutions de l’�quation diff�rentielle (E).
y = (At +B) e-5t +0,8
4. Les conditions initiales du syst�me m�canique conduisent � poser f (0) = 0,4 el f ′(0) = 0.
Un logiciel de calcul formel fournit l’expression suivante de la fonction f .
y = −2t e−5t −0,4e−5t +0,8.
Quelle est la hauteur de la masse, en dm, au bout d’une seconde? Arrondir � 10−2.
y(1) = -2 e-5 -0,4 e-5 +0,8 ~0,78 dm.
B �tude de la fonction f
La fonction f est d�finie sur [0 ; +∞[ par
f (t ) = −2te−5t −0,4e−5t +0,8.
Sa courbe repr�sentative C dans un rep�re orthogonal est donn�e ci-dessous,

1. On admet le r�sultat suivant : la limite en plus l'infini de t e-5t est �gale � z�ro.
a. Calculer la limite de f(t) en plus l'infini.
En plus l'infini, e-5t tend vers z�ro.
f(t) tend donc vers 0,8.
b. En d�duire que la courbe C admet une droite asymptote dont on donnera une �quation.
La droite d'�quation y = 0,8 est asymptote � la courbe C.
2. a. Montrer que pour tout t de l’intervalle [0 ; +∞[, f ′(t )= 10te−5t .
f '(t) = 10t e-5t -2e-5t +2e-5t = 10te−5t .
b. �tudier le signe de f ′(t ) sur l’intervalle [0 ; +∞[,
Le terme en exponentielle est strictement positif.
f '(t) est positive. f(t) est croissante.
c. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[

3. Un logiciel de
calcul formel affiche la partie r�guli�re du d�veloppement limit� �
l’ordre 2 de la fonction f au voisinage de z�ro.
0,4 + 5t2.
a. Donner une �quation de la tangente T � la courbe C au point d’abscisse 0.
Coefficient directeur de cette tangente f ' (0) = 0.
La tangente passe au point de coordonn�es (0 ; 0,4).
Equation de cette tangente : y= 0,4.
b. �tudier la position relative de la tangente T par rapport � la courbe C au voisinage de z�ro.
f(t) -0,4 = −2t e−5t −0,4e−5t +0,8 -0,4 =−2t e−5t −0,4e−5t +0,4.
Au voisinage de z�ro f(t)-0,4 = 0,4. La courbe est au dessus de la tangente � l'origine..
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C. D�passement d’un seuil et algorithmique.
On consid�re l’algorithme suivant.
t ←1,6
y ←(−2t −0,4)e−5t +0,8
Tant que 0,8− y > 10−3
t ←t +0,01
y ←(−2t −0,4)e−5t +0,8
Fin de Tant que.
1. Faire tourner cet algorithme � � la main� jusqu’a son arr�t, en compl�tant le tableau ci-dessous.
t
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1,6
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1,61
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1,62
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1,63
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1,64
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1,65
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y ~
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0,798 79
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0,798 84
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0,798 89
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0,798 94
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0,798 99
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0,799 03
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0,8 -y > 10-3
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vrai
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vrai
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vrai
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vrai
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vrai
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faux
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2. Quelle est la valeur de la variable t a la fin de l’algorithme ? 1,65.
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Exercice 2. 10 points. Une
machine � commande num�rique permet de fabriquer des panneaux en MDF
(panneaux de fibre de bois de moyenne densit�) de 40 mm d’�paisseur.
Les trois parties de cet exercice peuvent �tre trait�es de fa�on ind�pendante.
A. Loi normale.
Un panneau est consid�r� comme � acceptable � si son �paisseur est
comprise entre 39,78 mm et 40,22 mm. S’il n’est pas consid�r� comme
acceptable, il sera renvoy� au recyclage.
On note X la variable al�atoire qui, � chaque panneau fabriqu� par la
machine, associe son �paisseur en mm. On admet que la variable
al�atoire X suit la loi normale de moyenne μ = 40 et d’�cart type s inconnu.
1. En utilisant la capture d’�cran ci-dessous, expliquer pourquoi on peut approcher la valeur de s par 0,1.

P(�-2s < X < �+2s) = 0,95.
�+2s =40,2 ; 2s =40,2-40 = 0,2 ; s = 0,1.
2. On admet que s = 0,1.
a. Donner la probabilit�, arrondie � 10−3, qu’un panneau, pr�lev� au hasard dans la production de la machine, soit consid�r� comme acceptable.
P(X < 39,78) =0,0139.
P(X < 40,22) =0,9861.
P (39,78 < X < 40,22 )= 0,9861-0,0139=0,972.
b) En d�duire la probabilit�, arrondie � 10−3, qu’un panneau, pr�lev� au hasard dans la production de la machine, soit envoy� au recyclage.
1-0,972 ~0,028.
B. Loi binomiale et loi de Poisson.
Un grossiste commande un lot de 200 panneaux en MDF.On admet que la
probabilit� qu’un panneau pr�lev� au hasard dans la production soit
envoy� au recyclage est 0,03. La production est suffisamment importante
pour assimiler un lot de 200 panneaux comme r�sultant d’un tirage au
hasard avec remise dans la production.
On note Y la variable al�atoire qui, � tout lot de 200 panneaux ainsi
pr�lev�, associe le nombre de panneaux � envoyer au recyclage.
1. Justifier que la variable al�atoire Y suit une loi binomiale et pr�ciser ses param�tres.
Les tirages sont ind�pendants les uns des autres. Il y a deux issues
possibles : panneau d�fectueu p = 0,03 = constante ; panneau bon 1-p =
0,97.
La variable al�atoire Y suit une loi binomiale de param�tres n = 200 et p = 0,03.
2. Calculer E(Y ) et interpr�ter le r�sultat.
E(Y) = np = 200 x0,03 = 6.
En moyenne, il y a 6 panneaux d�fectueux sur 200 panneaux.
3. Donner la probabilit�, arrondie � 10−3, d’avoir dans un lot de 200 panneaux, au plus deux panneaux � envoyer au recyclage.
P(Y = 0) = 0,00226 ; P(Y = 1) = 0,013987 ; P(Y = 2) = 0,04304 ;
P(Y=0) +P(Y=1) +P(Y=2) = 0,0593~0,059.
4. On approche la loi de la variable al�atoire Y par une loi de Poisson de param�tre l. Soit Z une variable al�atoire qui suit cette loi de Poisson.
a. Justifier que l= 6.
l = np = 200 x0,03 = 6.
b. Donner la valeur arrondie � 10−3 de P(Z < 2).
P(Z < 2) = 0,06197 ~0,062.
c. Calculer l’�cart entre les r�sultats des questions 3. et 4. b.
0,06197 -0,0593 ~0,0027 ~0,003.
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C. Test d’hypoth�se.
L’entreprise veut v�rifier que la proportion de panneaux pr�sentant un
d�faut d’�paisseur est p = 0,03. Pour cela, elle r�alise un test
d’hypoth�se bilat�ral au seuil de signification de 5% sur un
�chantillon al�atoire de 400 panneaux pr�lev�s dans le stock. Le stock
est suffisamment important pour assimiler ce pr�l�vement � un tirage
avec remise.
On note F la variable al�atoire qui, � tout �chantillon al�atoire de
400 panneaux, associe la fr�quence des panneaux pr�sentant un d�faut
d’�paisseur. On suppose que F suit la loi normale de moyenne p inconnue
et d’�cart type [ p(1−p) /400]�.
L’hypoth�se nulle H0 est : � p = 0,03 �.
L’hypoth�se alternative H1 est :� p diff�re de 0,03 �.
1. Justifier que sous l’hypoth�se H0 l’�cart type de la variable al�atoire F est environ 0,009.
[ p(1−p) /400]� =(0,03 x0,97/ 400)�~0,00853 ~0,009.
2.
Cette question est une question � choix multiples. Une seule r�ponse
est exacte. La r�ponse exacte rapporte un point. Une r�ponse
fausse ou une absence de r�ponse ne rapporte ni n’enl�ve de point.
Soit a le r�el positif, tel que, sous l’hypoth�se H0, P(0,03−a < F < 0,03+a) = 0,95.
Une valeur approch�e de a � 10−3 pr�s est :
0,009 ; 0,017 ; 0,023.
a = 1,96 s / n� =1,96 x 0,009 / 400� =0,00088 ~0,0009.
Intervalle [0,03 -0,0009 ; 0,03 +0,0009] soit [ 0,0291 ;0,0309 ].
3. �noncer la r�gle de d�cision du test.
Si F appartient � l'intervalle [ 0,0291 ;0,0309 ], on accepte H0 au seuil de 5 %.
Dans le cas contraire, on accepte H1 au risque de 5 %.
4. Sur l’�chantillon al�atoire de 400 panneaux pr�lev�s, on a relev� 18 panneaux ayant un d�faut d’�paisseur.
Quelle est la conclusion du test ?
Fr�quence des panneaux ayant un d�faut : 18 / 400 =0,045.
Cette valeur n'appartient pas � l'intervalle [ 0,0291 ;0,0309 ]. L'hypoth�se H0 est rejet�e. On retient l'hypoth�se H1.
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