Math�matiques, BTS groupement B Nlle Cal�donie 2019

Exercice 1. 10 points.
Dans cet exercice, on mod�lise le syst�me de suspension d’une voiture radiocommand�e par le sch�ma ci-dessous.

La masse m repose au sol � l’aide d’une suspension amortie.
On d�signe par f (t ) la hauteur, en dm, par rapport au sol de la masse m � l’instant t en seconde.
On suppose que f est une fonction de la variable r�elle t d�finie et deux fois d�rivable sur [0 ; +∞[.
Les trois parties de cet exercice peuvent �tre trait�es de fa�on ind�pendante.
A. R�solution d’une �quatIon diff�rentielle.
Une �tude m�canique montre que la fonction f est solution de l’�quation diff�rentielle (E) :
y′′ +10y′ +25y = 20,
o� y est une fonction inconnue de la variable r�elle t , d�finie et deux fois d�rivable sur [0 ; +∞[, y′ la
fonction d�riv�e de y et y′′ sa fonction d�riv�e seconde.
1. a. R�soudre dans R l’�quation r ² +10r +25 = 0.
Discriminant D =10²-4 x25 = 0.
Solution r = (-10 +0) / 2 = -5.
b. En d�duire les solutions, d�finies sur [0 ; +∞[ de l’�quation diff�rentielle (E₀) :
y′′ +10y′ +25y = 0.
y = (At +B) e^-5t avec A et B des constantes.

2. Cette question est une question � choix multiples. Une seule r�ponse est exacte.
La r�ponse juste rapporte un point. Une r�ponse fausse ou une absence de r�ponse ne rapporte ni n’enl�ve de point.
La fonction g d�finie sur [0 ; +∞[ par l’expression suivante est solution de l’�quation diff�rentielle (E) :
g (t ) = 0,8 ; g (t )= 20 ; g (t )= e^−5t.
g(t) = 0,8 ; g'(t)= g"(t) = 0 ; repport dans (E) :
0 +0 +0,8 x25 =20.
3. En d�duire les solutions de l’�quation diff�rentielle (E).
y = (At +B) e^-5t +0,8
4. Les conditions initiales du syst�me m�canique conduisent � poser f (0) = 0,4 el f ′(0) = 0.
Un logiciel de calcul formel fournit l’expression suivante de la fonction f .
y = −2t e^−5t −0,4e^−5t +0,8.
Quelle est la hauteur de la masse, en dm, au bout d’une seconde? Arrondir � 10⁻².
y(1) = -2 e^-5 -0,4 e^-5 +0,8 ~0,78 dm.
B �tude de la fonction f
La fonction f est d�finie sur [0 ; +∞[ par
f (t ) = −2te^−5t −0,4e^−5t +0,8.
Sa courbe repr�sentative C dans un rep�re orthogonal est donn�e ci-dessous,

1. On admet le r�sultat suivant : la limite en plus l'infini de t e^-5t est �gale � z�ro.
a. Calculer la limite de f(t) en plus l'infini.
En plus l'infini, e^-5t tend vers z�ro.
f(t) tend donc vers 0,8.
b. En d�duire que la courbe C admet une droite asymptote dont on donnera une �quation.
La droite d'�quation y = 0,8 est asymptote � la courbe C.
2. a. Montrer que pour tout t de l’intervalle [0 ; +∞[, f ′(t )= 10te^−5t .
f '(t) = 10t e^-5t -2e^-5t +2e^-5t = 10te^−5t .
b. �tudier le signe de f ′(t ) sur l’intervalle [0 ; +∞[,
Le terme en exponentielle est strictement positif.
f '(t) est positive. f(t) est croissante.
c. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[

3. Un logiciel de calcul formel affiche la partie r�guli�re du d�veloppement limit� � l’ordre 2 de la fonction f au voisinage de z�ro.
0,4 + 5t².
a. Donner une �quation de la tangente T � la courbe C au point d’abscisse 0.
Coefficient directeur de cette tangente f ' (0) = 0.
La tangente passe au point de coordonn�es (0 ; 0,4).
Equation de cette tangente : y= 0,4.
b. �tudier la position relative de la tangente T par rapport � la courbe C au voisinage de z�ro.
f(t) -0,4 = −2t e^−5t −0,4e^−5t +0,8 -0,4 =−2t e^−5t −0,4e^−5t +0,4.
Au voisinage de z�ro f(t)-0,4 = 0,4. La courbe est au dessus de la tangente � l'origine..