Math�matiques, Groupe A Bts 2019.

Math�matiques, Groupe A Bts 2019.
Electrotechnique, syst�mes phoniques, techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire.

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Exercice 1. 12 points.
Les parties A et B sont ind�pendantes
Partie A.
On �tudie, dans cette partie, le d�bit d’une pompe � trois pistons alimentant un bac de stockage;
On note f la fonction p�riodique de p�riode 2p d�finie par :
f (t ) = sin(t ) si 0 < t < p.
0 si p < t < 2p.
1. Les d�bits q₁, q₂, q₃ de chacun des trois pistons (exprim�s en litre par seconde) sont donn�s, � l’instant t (exprim� en seconde), par : q₁(t )= f (t ) ; q₂(t )= f (t +2p/3) ; q₃(t )= f (t +4p/3).�.
Voici les repr�sentations graphiques sur l’intervalle [−2p ; 2p] des fonctions q₁, q₂ et q₃ dans le d�sordre.
Associer chaque courbe � la fonction, q₁, q₂ ou q₃ qu’elle repr�sente. Justifier bri�vement.

q₁ est nul sur l'intervalle p < t < 2p.
q₂ : d�calage de 2p/3 vers la droite ( 2 carreaux) par rapport � q₁.
q₃ : d�calage de 4p/3 vers la droite (4 carreaux ) par rapport � q₁.
2. Le d�bit en litre par seconde, de la pompe � trois pistons est donn� par :
Q(t )= q₁(t )+q₂(t )+q₃(t ).
a. Calculer Q(0) et Q (p/3). �crire le d�tail des calculs.
q₁(0) = sin (0) = 0 ; q₂(0) = sin (0+2p/3) = 3^� / 2 ; q₃(0) = f (0+4p/3) =0.
Q(0) = 3^� /2~0,866 L s^-1.
q₁(p/3) = sin (p/3) = 3^� / 2 ; q₂(p/3) =f(p) = 0 ; q₃=(p/3) = f (5p/3) =0.
Q(p/3) =3^� /2 ~ 0,866 L s^-1.
On donne pour la suite : Q(p/6) = 1 ; Q(p/2) =1 ; Q(2p/3) = 3^�/2.
b. Montrer que Q (t+2p/3)= Q(t) pour tout r�el t . En d�duire une p�riode de Q.
q₁ =f(t+2p/3) = q₂(t) ; q₂ =f(t+4p/3) = q₃(t) ; q₃ =f(t+6p/3) = q₁(t) ;
Q (t+2p/3)= Q(t), fonction de p�riode 2p/3.
c. On admet que Q est d�rivable sur ]0 ; p/3] u ]p/3 ; 2p/3[.
On donne ci-dessous la repr�sentation graphique de la fonction d�riv�e de Q sur cet ensemble.

Recopier et compl�ter, � l’aide du graphique ci-dessus. le tableau de variations de la fonction Q sur l’intervalle [0 ; 2p/3]
. On y reportera les valeurs calcul�es, ou donn�es au a.

3. On appelle taux d’irr�gularit� du d�bit de la pompe le nombre : q =(Q_M-Q_m) / Q_moy, o� Q_M est le d�bit maximum de la pompe sur une p�riode, Q_m est le d�bit minimum de la pompe sur une p�riode et Q_moy est le d�bit moyen de la pompe.
On admet que :

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Partie B.
1. L’entreprise qui g�re les bacs de stockage fait contr�ler les pompes sur diff�rents sites.
20% des pompes sont sous garantie.
Le technicien constate que :
• 1% des pompes sous garantie sont en panne;
• 10% des pompes qui ne sont plus sous garantie sont en panne.
On tire au hasard, dans le fichier de l’entreprise, la fiche d’une pompe dont l’entreprise assure le contr�le.
On consid�re les �v�nements suivants :
G : � la pompe est sous garantie � et D : � la pompe est en panne �.
a. Construire un arbre pond�r� qui mod�lise la situation.
b D�montrer que : P(D) = 0,082.
c. Le technicien affirme que moins de 2% des pompes en panne sont sous garantie. Le technicien a t-il raison ?

2,4 % des pompes en panne sont sous garantie. Le technicien a tord.
2. On tire au hasard 50 fiches de pompes dans le fichier de l’entreprise. On assimile ce pr�l�vement � un tirage avec remise.
On note X la variable al�atoire qui, � tout pr�l�vement de 50 fiches, associe le nombre de fiches de pompes en panne.
On rappelle que la probabilit� qu’une pompe soit en panne est 0,082.
a. Justifier que la variable al�atoire X suit une loi binomiale dont on pr�cisera les param�tres.
Les pr�levements sont ind�pendants et leur nombre est fix� � n = 50.
Chaque tirage peut d�boucher seulement sur 2 r�sultats : la probabilit� qu'une pompe soit en panne est constante p = 0,082. La probabilit� qu'une pompe ne soit pas en panne est q = 1-p = 0,918.
La loi binomiale B(n=50, p = 0,082) est valide
b. Calculer la probabilit� que, parmi les 50 fiches tir�es, il y ait exactement deux fiches de pompes en panne. Arrondir au milli�me.
P(X=2) = 0,136.
c. Calculer la probabilit� que parmi les 50 fiches tir�es, il y ait plus de deux fiches de pompes en panne. Arrondir au milli�me.
P(X > 2) = 1- P(X < 2) = 1-0,211 = 0,789.
d. Calculer l’esp�rance de la variable al�atoire X et interpr�ter ce r�sultat.
E = np = 50 x0,082 = 4,1.
En moyenne, il y a 4 pompes en panne.

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Exercice 2. ( 8 points).
On consid�re le bac de stockage cylindrique repr�sent� ci-dessous.

� l’instant t , en seconde (s), on note h(t ) la hauteur d’eau, en m�tre (m), dans le bac, Q_e (t ) le d�bit d’entr�e, en m³s⁻¹, et Q_v (t ) le d�bit de vidange, en m³s⁻¹.
� l’instant t = 0, le bac est vide, donc : h(0) = 0.
La conservation de la mati�re permet d’�crire, pour tout t >0 :
Q_e (t )= Sh′(t )+Q_v (t )
o� S est l’aire de la base du bac, exprim�e en m², et h′ la fonction d�riv�e de h.
Dans l’exercice, on a S = 8 m².
De plus on suppose, en faisant une approximation, que : Q_v(t ) = 2h(t ).
On a donc : 8h'(t) +2h(t) =Q_e(t).
On veut que la hauteur d’eau h(t ) atteigne 10 cm, soit 0,1m. Pour cela, on agit sur le d�bit d’entr�e Q_e (t ).
Partie A.
Dans cette partie. on suppose que pour t >0 : Q_e (t )= 0,2.
La fonction h est donc solution sur l’intervalle [0 ; +∞[ de l’�quation diff�rentielle : 8y′ +2y = 0,2 (E)
1. a. Donner les solutions sur l’intervalle [0 ; +∞[ de l’�quation diff�rentielle : 8y′+2y = 0 (E₀).
y = A exp(-0,25t)
b. D�terminer une solution particuli�re constante y₀ de l’�quation diff�rentielle (E).
y₀= 0,1.
c. Donner les solutions sur l’intervalle [0 ; +∞[ de l’�quation diff�rentielle (E).
y = A exp(-0,25t) +0,1.
2. L’une des quatre expressions ci-dessous est celle de h(t ), pour tout r�el t >0. Laquelle? Justifier la r�ponse.
h(t ) = −0,1e^−0,25t +0,2 ; h(t ) = −0,1e^−4t +0,1 ; h(t ) = -e^−0,25t +0,1 ; h(t ) = −0,2e^−0,25t +0,1.
A l'instant t = 0, h(0) = 0 ; 0 = A +0,1 ; A = -0,1. ; h(t) = 0,1 -0,1 exp(-0,25t).
Aucune des expressions pr�c�dentes n'est correcte.

Partie B.
On souhaite obtenir plus rapidement la hauteur de 10 cm d’eau dans le bac.
Pour cela, on modifie le d�bit d’entr�e. On prend d�sormais pour tout r�el t >0 : Q_e (t )=U(t )−0,8U(t −0,9)
o� U d�signe la fonction �chelon unit� : U(t )= 0 si t < 0 et 1 si t >0
h v�rifie donc, pour tout r�el t >0 : 8h′(t )+2h(t ) =U(t )−0,8U(t −0,9) (E).
De plus, on rappelle que h(0) = 0.
1. Repr�senter sur la copie Q_e (t ) en fonction de t , pour t >0.

2. On note H la transform�e de Laplace de h.
a. �crire l’�galit� obtenue en appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l’�galit� (E).
b. Montrer que H(p) =[ 1−0,8e^−0,9p] / [(2+8p)p].
L(h'(t)) = pH(p)-h(0⁺) = pH(p).
8pH(p) +2H(p) = 1 / p -0,8 / p e^-0,9p.
(8p+2) H(p)=(1-0,8e^-0,9p) / p.
(8p+2)p H(p)=1-0,8e^-0,9p.
.H(p) =[ 1−0,8e^−0,9p] / [(2+8p)p]
3. On note : A(p)= 1/ [(2+8p)p ].
a. V�rifier que : A(p)= 0,5 / p − 4 / (2+8p).
. 0,5 / p − 4 / (2+8p) =[ 0,5( 2+8p) -4p ] / [p(2+8p)] =(1+4p-4p) / [p(2+8p)] =1/ [(2+8p)p ].
b. Comme 4 /(2+8p) =0,5 /(p +0,25) on a aussi : A(p)=0,5 / p -0,5 /(p+0,25).
En d�duire l’original a(t ) de A(p).
a(t) = 0,5 U(t) -0,5 e^-0,25t.U(t).
c. On remarque que : H(P) = A(p)�(1−0,8e^−0,9p )= A(p)−0,8A(p)e^−0,9p.
D�terminer une expression de h(t ) pour tout r�el t >0.
h(t) = L^-1(A(p) -0,8 L^-1[A(p) e^-0,9p]. Dans le terme [A(p) e^-0,9p on reconna�t un retard de 0,9. Son original est a(t-0,9) U(t-0,9).
Par suite h(t) = a(t) U(t) -a(t-0,9) U(t-0,9).
Remplacer a(t) par son expression :
h(t) = 0,5 U(t) -0,5 e^-0,25t.U(t) -0,9 x 0,5[ U(t-0,9) - e^-0,25(t-0,9).U(t-0,9)

4. La courbe repr�sentative de la fonction h est trac�e ci-dessous

Estimer graphiquement le gain de temps r�alis� pour atteindre la hauteur de 10 cm si l’on remplace le d�bit d’entr�e de 0,2 m³s⁻¹ (�tudi� dans la partie A) par le d�bit de la partie B.
Partie B : 10 cm sont atteints en 0,8 s.
Partie A : 10 cm sont atteints en un temps sup�rieur � plus de 10s.
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