Math�matiques,
Groupe B Bts 2019.
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d’int�r�ts.
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Exercice 1.
10 points.
Lorsqu’un
fil �lectrique est parcouru par un courant �lectrique d’intensit�
constante, celui-ci s’�chauffe par effet Joule et sa temp�rature varie
en fonction du temps. On note f (t ) la temp�rature, exprim�e en degr�
Celsius, du conducteur � l’instant t , exprim� en seconde, avec t
variant dans l’intervalle [0 ; +∞[.
Dans cet exercice, on se propose d’�tudier l’�volution de la temp�rature du conducteur en fonction du temps.
Les trois parties de cet exercice peuvent �tre trait�es de fa�on ind�pendante
A. R�solution d’une �quation diff�rentielle.
� l’instant t = 0 de la mise sous tension, la temp�rature du conducteur
est celle du milieu ambiant, c’est-�-dire 18 degr�s Celsius. Ainsi, on
a f (0)) = 18.
Dans les conditions de l’exp�rience, la fonction f est solution de l’�quation diff�rentielle (E) :
y′ +0,05y = 2,
o� y est une fonction inconnue de la variable t , d�finie et d�rivable sur l’intervalle [0 ; +∞[, et y′ sa fonction d�riv�e.
1. a. R�soudre l’�quation (E0) : y′ +0,05y = 0.
y = A e-0,05 t avec A une constante.
b. V�rifier que la fonction g d�finie par g (t ) = 40 est une solution de l’�quation diff�rentielle (E).
g'(t) = 0 ; 0,05 x40 = 2.
c. En d�duire les solutions d�finies sur l’intervalle [0 ; +∞[ de l’�quation diff�rentielle (E).
f(t) = Ae-0,05 t +40.
2. On rappelle que la temp�rature initiale du conducteur est 18� Celsius.
Ainsi, la fonction f exprimant la temp�rature du conducteur est la
solution de l’�quation diff�rentielle (E) v�rifiant la condition
initiale f (0) = 18. D�terminer alors une expression de la fonction f .
f(0) = 18 = A +40 ; A = -22.
f(t) = 40 -e-0,05 t .
B. �tude de la fonction f.
On admet que la fonction donnant la temp�rature du conducteur est la fonction f d�finie sur [0 ; +∞[
par : f (t )= −22e−0,05t +40.
On note C la courbe repr�sentative de la fonction f dans le plan muni d’un rep�re orthogonal.
La courbe C est trac�e.
1. a. On admet que la limite en plus l'infini de e-0,05t est nulle.
D�terminer alors la limite de la fonction f en +∞.
La limite de f(t), quand x tend vers plus l'infini, est �gale � 40.
b. En d�duire que la courbe C admet une asymptote dont on donnera une �quation.
Tracer cette asymptote sur la repr�sentation graphique donn�e..
La droite d'�quation y= 40 est asymptotr � C.
2. Un logiciel de calcul formel permet d’obtenir ci-dessous une expression de la d�riv�e f ′ de la fonction f .
f '(t) = 1,1 exp-0,05t.
a. En admettant ce r�sultat, �tudier les variations de la fonction f sur [0 ; +∞[.
b. Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; +∞[.
La d�riv�e est strictement positive ; la fonction f est strictement croissante sur [0 ; +∞[..
3. Ce m�me logiciel
de calcul formel affiche la partie r�guli�re du d�veloppement limit� �
l’ordre 2 de la fonction f au voisinage de z�ro.
-18 +1,1t-11 /400 t2.
Les deux questions suivantes sont des questions � choix multiples. Une seule r�ponse est exacte.
Recopier sur la copie la r�ponse qui vous parait exacte. On ne demande aucune justification.
La r�ponse juste rapporte 0,5 point. Une r�ponse fausse ou une absence de r�ponse ne rapporte ni n’enl�ve de point.
a. Une �quation de la tangente T � la courbe C au point d’abscisse 0 est :
y = 18 ; y = 18 +1,1t ; y = 18 +1,1t -11t2 /400.
b. La vitesse de chauffe, exprim�e en degr� Celsius par seconde, � l’instant initial est �gale �
f ′(0). Cette vitesse vaut :
18 ; 1,1 ; 11 / 400.
C. D�passement d’un seuil et algorithmique.
On cherche � d�terminer le premier instant t , en seconde, � partir
duquel la temp�rature du fil du conducteur d�passe 21�Celsius.
� cette fin, on consid�re l’algorithme suivant.
t ←0
Tant que f (t ) < 21
t ←t +1
Fin de Tant que
Remarque : dans cet algorithme t ←0 signifie que t prend la valeur 0.
1. Faire tourner cet algorithme � � la main � en compl�tant le tableau..
Valeur de t
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Valeur de f(t) arrondie � 10-2
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Condition f(t) < 21
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0
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18
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vraie |
1
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19,07
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vraie
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2
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20,09
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vraie
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3
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21,06
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faux
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2. Quelle sera la
valeur contenue dans la variable t � la fin de l’algorithme ?
Interpr�ter ce r�sultat dans le contexte de l’exercice.
Au bout de 3 s, la temp�rature d�passe 21�C.
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Exercice 2. 10 points..
Les trois parties de cet exercice peuvent �tre trait�es de fa�on ind�pendante.
Dans cet exercice, sauf mention du contraire, les r�sultats approch�s sont � arrondir � 10−3.
Un grand constructeur d’engins de travaux publics sous-traite la fabrication de chenilles et de pneumatiques � deux entreprises.
A. �v�nements ind�pendants.
Dans la premi�re entreprise, les pneumatiques produits sont soumis � un
contr�le de qualit� constitu� de deux tests. On pr�l�ve au hasard un
pneumatique apr�s contr�le. On consid�re les �v�nements suivants :
A : � le pneumatique a valid� le premier test � ;
B : � le pneumatique a valid� le second test �.
Un pneumatique est dit conforme s’il a valid� les deux tests.
Une �tude statistique permet d’admettre que les probabilit�s des
�v�nements A et B sont respectivement P(A) = 0,98 et P(B) = 0,85 et que
les �v�nements A et B sont ind�pendants. Calculer les probabilit�s des
�v�nements suivants :
1. E1 : � le pneumatique contr�l� est conforme � ;
P(A) x P(B) = 0,98 x0,85 =0,833.
2. E2 : � le pneumatique contr�l� n’est pas conforme � ;
P(E2) = 1 -0,833 =0,167.
3. E3 : � le pneumatique n’a valid� qu’un seul des deux tests. �.
B. Loi exponentielle.
Dans la seconde entreprise, fabriquant les chenilles, une machine est
charg�e d’assembler le barbotin moteur des chenilles. Le barbotin
moteur est la roue dent�e, � une ou deux rang�es de dents, qui entra�ne
la chenille.
Cette machine n�cessite d’�tre �talonn�e tr�s r�guli�rement. La dur�e
de bon fonctionnement entre deux �talonnages, exprim�e en heure, de
cette machine est mod�lis�e par une variable al�atoire T de loi
exponentielle de param�tre l..
1. Pour cette machine, l’entreprise a constat� que la dur�e moyenne de bon fonctionnement est 10 heures.
Montrer que � l = 0,1.
l = 1 / E(T) = 1 / 10 = 0,1 h-1.
2. a. Calculer P(T < 20).
P(T < 20)=1- exp(-0,1 x20) = 0,865.
b. D�terminer la probabilit� que la dur�e de bon fonctionnement de cette machine d�passe 15 heures.
P(T > 15) = exp(-0,1 x15) = 0,223.
3. D�terminer la dur�e m�diane de bon fonctionnement, c’est-�-dire la valeur t0 telle que : P (T < t0) = 0,5.
0,5 = 1 -exp(-0,1 t0) ; 0,5 = exp(-0,1 t0) ; -ln(2) = -0,1 t0 ; t0 = 10 ln(2) ~6,9 h.
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C. Intervalle de confiance.
Pour assurer la suspension de l’engin, de nombreux syst�mes peuvent
�tre utilis�s : des balanciers, des bras oscillants, des ressorts �
lames ou h�lico�daux ou encore des suspensions hydropneumatiques.
Dans cette partie, on s’int�resse � la fabrication de ressorts
h�lico�daux. On souhaite estimer la proportion p de ressorts conformes
dans l’ensemble de la production. Pour cela on pr�l�ve au hasard un
�chantillon de 50 ressorts parmi cette production (celle-ci est
suffisamment importante pour que l’on puisse assimiler ce pr�l�vement �
un tirage avec remise).
On constate que 44 ressorts de cet �chantillon sont conformes aux normes fix�es par le cahier des charges.
1. Donner une
estimation ponctuelle f de la proportion inconnue p des ressorts qui
sont conformes aux normes dans l’ensemble de la production.
f =44 / 50 = 0,88.
2. Soit F la
variable al�atoire qui � tout �chantillon de 50 ressorts ainsi pr�lev�,
associe la fr�quence, dans cet �chantillon, des ressorts conformes. On
suppose que F suit la loi normale de moyenne p inconnue et d’�cart type
[ p(1-p) / n ]�.
a. D�terminer un intervalle de confiance centr� sur f de la proportion p au niveau de confiance e 95%.
1,96 [f (1-f) / n ]� = 1,96 (0,88 x0,12 / 50 )� =0,090.
Intervalle de confiance [ 0,88 -0,090 ; 0,88 +0,090) soit [0,79 ; 0,97 ].
b. Peut-on affirmer que p est compris dans cet intervalle de confiance? Pourquoi ?
Par d�finition p appartient � cet intervalle de confiance..
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