Math�matiques,
Groupe D Bts 2019.
En
poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation
de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres
d’int�r�ts.
|
|
......
.....
|
Exercice 1.
10 points.
Staphylococcus
Aurerus (SA), plus commun�ment appel� staphylocoque dor�, est une
bact�rie responsable de nombreuses intoxications alimentaires. Elle est
naturellement pr�sente chez l’homme.
D�pos�e sur un aliment et sous certaines conditions (comme notamment la
pr�sence suffisante de
nutriments), elle se d�veloppe tr�s fortement et produit des toxines.
Ces toxines, une fois ing�r�es,
sont responsables de troubles alimentaires, qui peuvent aller, dans
certains cas extr�mes, jusqu’� la
mort de la personne touch�e.
Partie A : �quation diff�rentielle.
1. D�terminer les solutions sur l’intervalle [0 ; +∞[ de l’�quation diff�rentielle
20y′ −20,8y = 0
o� y est une fonction de la variable r�elle t , d�finie et d�rivable sur l’intervalle [0 ; +∞[.
y = A exp (-20,8 /20)t = A exp(-1,04t) o� A est une constante.
2. En d�duire la fonction f solution de cette �quation diff�rentielle qui v�rifie f (0) = 10.
10 = A ; f(t) = 10 e-1,04t.
Partie B :Mod�le exponentiel.
On souhaite �tudier la croissance de bact�ries SA � temp�rature
ambiante sur un �chantillon de mix (le mix est un m�lange contenant en
grande partie du lait permettant la fabrication de glaces �
l’italienne). On suppose que 10 bact�ries sont d�pos�es en m�me temps
sur 1 g de mix. Voici les relev�s du nombre de bact�ries SA heure par
heure, mesur� � partir du moment o� les bact�ries sont d�pos�es sur le
mix.
Heure ( ti)
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
Nombre de bact�ries SA ( Ni)
|
10
|
27
|
78
|
232
|
650
|
1800
|
5100
|
14100
|
39000
|
zi
|
2,30
|
3,30
|
4,36
|
5,45
|
6,48
|
7,50
|
8,54
|
9,55
|
10,57
|
1. On effectue un changement de variable de type logarithmique : zi = ln(Ni ).
Compl�ter le tableau . On arrondira les valeurs au centi�me.
2. � l’aide de la calculatrice, d�terminer une �quation de la droite d’ajustement D du nuage de points (ti ; zi ) par la m�thode des moindres carr�s sous la forme z = at +b. On arrondira les valeurs de a et b au milli�me.
z=1,037 t +2,301.
3.
En utilisant la question pr�c�dente, d�terminer une expression de la
fonction N qui mod�lise le nombre de bact�ries SA � l’instant t exprim�
en heures.
N = exp(z) = exp(1,037t +2,301 )= exp(2,301) exp(1,037t = 9,984 exp(1,037t).
Dans la suite, on prendra N(t )= 10e1,04t
pour tout r�el t de l’intervalle [0 ; +∞[. On admet que la fonction N
mod�lise le nombre de bact�ries SA relev�es sur le mix en fonction du
temps.
4. Une population
donn�e de bact�ries voit son effectif doubler au bout d’un temps appel�
� temps de g�n�ration bact�rienne � et not� G. Estimer cette dur�e G
enminutes.
20 = 10 exp(1,04G) ; ln (2) = 1,04 G ; G = ln(2) / 1,04 heure ou 60 ln(2) / 1,04 minutes ( ~40 min).
5. Calculer la limite de N en +∞.
N tend vers plus l'infini quant le temps devient tr�s grand.
Partie C :Mod�le logistique.
Dans cette partie, on �tudie et on utilise un deuxi�me mod�le, appel�
mod�le logistique et d�fini par une fonction M, qui, � tout instant t
exprim� en heures, associe le nombre M(t ) de bact�ries de SA �
l’instant t donn� par :
M(t ) = 13500 / (1350�e−1,04t +1)
1. La d�riv�e de M est fournie par un logiciel de calcul formel : M′(t )= 13500�1350�1,04�e−1,04t / (1350�e−1,04t +1)2 .
�tudier les variations de la fonction M sur l’intervalle [0 ; +∞[.
Le d�nominateur et le num�rateur de M' sont positifs.
M(t) est donc strictement croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.
2. a. D�terminer la limite de M en +∞.
Le terme en exponentielle tend vers z�ro. M(t) tend vers 13500.
b. L’un des mod�les de croissance de bact�ries SA (exponentiel ou logistique) est plus vraisemblable. Lequel ?
Le mod�le logistique est le plus vraissemblable, le nombre de bact�ries cesse de cro�tre quand la nourriture du mix est �puis�e.
La courbe repr�sentative de la fonction M est pr�sent�e ci-dessous.
3. D�terminer le temps n�cessaire pour que le nombre de bact�ries SA d�passe 10 000. Arrondir � l’heure.
Pour tout instant t exprim� en heures, le r�el M′(t ) est appel� vitesse de prolif�ration bact�rienne.
4. Dans cette question, on s’int�resse � l’instant o� la vitesse de prolif�ration bact�rienne est
maximale. Parmi les quatre propositions suivantes, une seule d’entre elles correspond � une valeur approch�e
de cet instant. Laquelle? Pourquoi ?
a. t = 4 h ; b. t = 7 h ; c. t = 9 h ; d. t = 16 h.
La vitesse correspond � la valeur de la d�riv�e � la datte t. ( coefficient directeur de la tangente � la courbe )
Le coefficient directeur de la tangente � la courbe est maximal � t = 7 h. ( la tangente est alors la plus inclin�e ).
|
...
|
|
Exercice 2. 10 points..
Dans cet exercice, les probabilit�s seront donn�es en valeurs d�cimales � 10−4 pr�s.
Les parties A, B et C peuvent se traiter de fa�on ind�pendante.
On s’int�resse � la production industrielle de bouteilles d’eau min�rale naturelle ou d’eau de source.
On s’int�resse � la qualit� de l’eau contenue dans les bouteilles
produites : plusieurs param�tres sont pris en compte, notamment
microbiologiques (pr�sence de bact�ries, de coliformes, de germes, . .
. ) et physico-chimiques (pr�sence d’arsenic, de nickel. . . . ).
Partie A : Eau de source et eaumin�rale naturelle.
En 2017, des analyses identiques ont �t� men�es sur la qualit� de l’eau de 126 000 bouteilles produites.
Ainsi 37 000 bouteilles d’eau min�rale naturelle et 89 000 bouteilles d’eau de source ont �t� analys�es.
Parmi les analyses portant sur les bouteilles d’eau min�rale naturelle,
on constate que 0,12% des analyses r�v�lent une eau non conforme. Parmi
celles portant sur les bouteilles d’eau de source, on constate que
0,08% des analyses r�v�lent une eau non conforme.
On choisit le r�sultat d’une analyse d’une bouteille d’eau au hasard parmi toutes celles qui ont �t� r�alis�es.
Dans la suite, on notera les �v�nements suivants :
M : � L’analyse porte sur une bouteille d’eau min�rale naturelle � ;
S : � L’analyse porte sur une bouteille d’eau de source � ;
N : � L’analyse r�v�le une eau non conforme �.
1. Calculer les probabilit�s P(M) et P(S).
P(M) =37 / 126 =0,2937 ; P(S) = 89 / 126=0,7063.
Pour les deux questions suivantes, on pourra s’aider d’un arbre pond�r�.
2. Calculer la probabilit� de choisir une analyse qui r�v�le une eau non conforme.
3. Calculer la
probabilit� qu’une analyse porte sur une bouteille d’eau min�rale
naturelle, sachant qu’elle r�v�le une eau non conforme.
|
....
|
Partie B : �tude du nitrate pr�sent dans l’eau.
Une entreprise produisant des bouteilles d’eau min�rale naturelle
affirme que la moyenne du taux de nitrate de sa production est �gale �
4,5 mg/L. L’objectif de cette partie est de juger de la v�racit� de
cette affirmation.
On note μ la moyenne,mesur�e en mg/L, du taux de nitrate de la production, et s son �cart type.
On r�alise 600 pr�l�vements dans la production. Les r�sultats sont les suivants :
Taux de nitrate ( mg / L)
|
[4,2 ; 43[
|
[4,3 ; 4,4[
|
[4,4 ; 4,5 [
|
[4,5 ; 4,6 [
|
[4,6 ; 4,7 [
|
[4,7 ; 4,8[
|
Nombre de pr�l�vements
|
5
|
57
|
181
|
233
|
110
|
14
|
1. En faisant l’hypoth�se
que les valeurs observ�es sont respectivement celles du centre de
chaque classe, d�terminer, � l’aide de la calculatrice, la moyenne xmoy et l’�cart type s′ de cet �chantillon. On donnera les r�sultats � 10−4 pr�s.
xmoy = 4,5213 ; �cart type : s' = 0,09753.
2. V�rifier que s = 0,0976 est un estimateur de l’�cart type s.
3. On souhaite r�aliser le test bilat�ral suivant, au seuil de 5% :
H0 : μ = 4,5 contre H1 : μ diff�re de 4,5.
Soit Xmoy
la variable al�atoire qui � tout �chantillon de 600 pr�l�vements
associe la moyenne du taux de nitrate de ces pr�l�vements. On consid�re
que Xmoy suit la loi normale d’esp�rance μ et d’�cart type s / 600..
Dans la suite, on remplace s par son estimateur s = 0,0976. Sous l’hypoth�se H0, Xmoy suit donc approximativement la loi normale d’esp�rance 4,5 et d’�cart type 0,004.
a. On a pr�sent� les repr�sentations de trois densit�s de probabilit�.
Laquelle est associ�e � la variable al�atoire Xmoy ? Justifier la r�ponse.
On retient la courbe 2, �troite ( �cart type faible) et sym�trique par rapport � la moyenne.
b. Donner un nombre r�el a � 10−3 pr�s v�rifiant : P(4,5−a < Xmoy < 4,5+a) ≈ 0,95.
2 P(Xmoy < 4,5- a )= 1-0,95 = 0,05 ; P(Xmoy < 4,5-a ) = 0,025 ; a = 0,00784.
c. �noncer la r�gle de d�cision de ce test.
Si la moyenne appartient � l'intervalle [4,5 -0,0784 ; 4,5 +0,00784 ) soit [4,492 ; 4,508 ], on retient H0, sinon on retient H1.
d. D’apr�s les r�sultats obtenus dans l’�chantillon donn�, peut-on accepter l’hypoth�se μ = 4,5 ?
Or xmoy = 4,5213 n'appartient pas � cet intrevalle ; l'hypoth�se H1 est retenue.
|
Partie C : Distribution.
L’entreprise
pr�c�dente fournit une grande surface en eau min�rale. Chaque semaine,
540 bouteilles contenant un litre d’eau min�rale sont r�ceptionn�es par
la grande surface.
Une bouteille d’eau min�rale d’un litre est de tr�s bonne qualit� si elle contient moins de 4,7 mg de nitrate.
On pr�l�ve au hasard un lot de 540 bouteilles dans la production, jug�e
suffisamment importante pour assimiler ce choix � un tirage avec
remise. On note alors Y la variable al�atoire qui, � chaque lot de 540
bouteilles, associe le nombre de bouteilles de tr�s bonne qualit� du
lot.
On admet que Y suit une loi binomiale dont une repr�sentation graphique est fournie ci-dessous :
1.
Au vu de ce graphique, un biologiste estime que la probabilit� qu’un
lot de 540 bouteilles pr�lev� au hasard dans la production contienne
moins de 520 bouteilles de tr�s bonne qualit� est
environ �gal � 0,005. A-t-il raison? Justifier la r�ponse.
D'apr�s le graphe P(Y < 520 ) est sup�rieur � 0,01.
2. On admet que le nombre
moyen de bouteilles de tr�s bonne qualit� sur l’ensemble des
�chantillons de 540 bouteilles est �gal � 528.
Donner alors les param�tres n et p de la loi binomiale suivie par la variable al�atoire Y . On arrondira p � 10−3.
n =540 ; p = esp�rance / n = 528 / 540 = 0,978.
|
|
|
