Math�matiques, Concours Advance 2019. Dur�e  : 1 heure 30 ; exercices 1 � 6 obligatoires ; exercices 7 � 14 : 6 questions au choix. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. . . ...... ..... 1- A. La limite en plus l'infini de A = (x2 -x) / (2x2+1) est �gale � 1 /2. Vrai. A=(1-1 /x) / 2+1/x2). 1 /x et 1/x2 tendent vers z�ro si x tend vers plus l'infini. B. La limite en plus l'infini de x /ex est �gale � z�ro. Vrai. Par croissance compar�e, ex cro�t plus vite que x. C. La limite en z�ro de ln(x) est �gale � z�ro. Faux. ( moins l'infini ) D. Si 2 ln(a)+1 >0 alors a > e�. Faux. 2ln(a)+1 = ln(a2) +1>0 ; ln(a2) > -1 ; a2 > e-1 ; a > e-�. E. Sur ]0 ; +oo[ la d�riv�e de la fonction f(x) = x ln(x) est f '(x) = ln(x).  Faux. On pose u =x et v = ln(x) ; u' = 1 ; v' = 1/x ; u'v +v'u = ln(x) +1. 2. Le plan complexe est muni d’un rep�re orthonormal d’origine O. Pour tout point M du plan, l’affixe de M est not� ZM. A, B et C d�signent trois points du plan distincts de O. A. Si Z = (1+i) / (2�-i 6�) alors |Z| =0,5 et arg(Z) =7p/12 (2p). Vrai. Z = (1+i) (2�+i 6�) / 8 =[(2�-6�) +i(2�+6�)] / 8 ; |Z| =[(2�-6�)2 +(2�+6�)2 ]� / 8 =4 / 8 = 0,5. Z = [(2�-6�) +i(2�+6�)] / 4 =0,5 ( cos(7p/12) + i sin(7p/12). B.  Si Z = -2 [cos(3p/4) + i sin(3p/4)], alors |Z| =2 et arg(Z) = -3p/4(2p). Faux. Z =( 2� -i 2�). |Z| = (2+2)� =2. Z = 2 [ -cos(3p/4) - i sin(3p/4)] = 2[ -cos(3p/4) - i sin(3p/4)] = 2[ cos(-p/4) + i sin(-p/4)] C. Si les points A et B sont sym�triques par rapport � O alors ZA = conjugu� de ZB.  Faux. Le ressort �tir� revient � sa position d'�quilibre ( d�placement vers la gauche) du mobile ( syst�me �tudi� ) D. Si |ZA| =|ZB|=|ZC|, alors ABC est un triangle �quilat�ral. Faux. A, B et C sont situ�s sur le m�me cercle de centre O. E. Si arg(ZA) = p + arg(ZB) alors O, A et B sont align�s. Vrai. 3. f est une fonction d�finie et d�rivable sur un ensemble D. A. Si D = R et f(x) =(x2-1) / (x2+1) alors f '(x) = 4x / (x2+1)2. Vrai. On pose u = x2-1 et v = x2+1 ; u' = 2x ; v' = 2x ; (u'v-v'u) / v2 = 2x ( x2+1 -x2+1)/ (x2+1)2 = 4x / (x2+1)2. B. Si D = R* et f(x) = (x2-x) e1/x alors f '(x) = e1/x(2x2-2x+1) / x. Vrai. On pose u = x2-x et v = e1/x; u' = 2x-1 ; v' = -e1/x / x2. u'v +v'u = (2x-1)  e1/x -(x2-x)e1/x / x2 =e1/x (2x-1-1+1/x) =e1/x(2x2-2x+1) / x. C. Si D=R* et f(x) = ln(x2+1) alors f '(x) = 1/(1+x2). Faux. On pose u = 1+x2 ; u' = 2x ; f '(x) = u' /u = 2x / (1+x2). 4. Soit f la fonction d�finie sur R par f(x) = xe1−x et C la courbe repr�sentant f dans un rep�re orthonorm�. Soit d la droite d’�quation y = e x + 15 et D la droite d’�quation y = x. A. La limite en plus l'infini de f(x) est �gale � plus l'infini. Faux. e1-x tend vers z�ro quand x tend vers plus l'infini. B. La limite en moins l'infini de f(x) est �gale � moins l'infini. Vrai. C. Pour tout r�el x, f '(x) = (1-x) e1-x. Vrai. On pose u = x et v =e1-x ; u'=1 et v' = -e1-x ; u'v +v'u = e1-x -xe1-x . D. Il existe une tangente T � C qui est parall�le � la droite d. Vrai. Coefficient directeur de T : (1-x) e1-x ; pour x = 0 ce coefficient vaut e. E.  C est en dessous de la droite D sur ]−∞, 0[. Vrai. sur ]−∞, 0[, xe1−x est inf�rieur �  e x +15 . ... 5.  Soit g la fonction d�finie sur ]0,+∞[ par g(x) =(ln(x))2 / x, repr�sent�e par la courbe C dans un rep�re orthonormal. Soit h la fonction d�finie sur ]0,+∞[ par h(x) =1 /x, repr�sent�e par la courbe C′. A.  La limite en z�ro de g(x) est �gale � z�ro. Faux. (ln(x))2 tend vers plus l'infini quand x tend vers z�ro. B. Pour tout r�el x strictement positif, g′(x) =[2 ln(x) -(ln(x))2] / x2. Vrai. On pose u =( ln(x))2 et v = x ; u' = 2 ln(x) / x ; v' = 1. (u'v-v'u) / v2 = (2ln(x)  -( ln(x))2 ) /  x2 . C. Pour tout r�el x strictement positif, g(x) /2 =[ln(x�) / x�]2. Faux. [ln(x�) / x�]2 =[ ln(x�)]2 / x = [0,5 ln(x)]2 /x. D. C admet une asymptote parall�le � l’axe des abscisses. Vrai. E. C est au-dessus de C′ sur ]1 /e ; +oo[ . Faux. (ln(x))2 / x -1/x =[(ln(x))2 -1] / x > 0 si x appartient � ]1 /e ; +oo[ 6. Un magasin d’�lectrom�nager vend deux mod�les de robot au m�me prix et de marques M1 et M2. Les deux robots ont les m�mes caract�ristiques et sont propos�s en deux couleurs : noir et blanc. D’apr�s une �tude sur les ventes de ces deux mod�les, 70 % des acheteurs ont choisi le robot M1 et, parmi eux, 60 % ont pr�f�r� la couleur noire. Par ailleurs 20 % des clients ayant achet� un robot M2 l’ont choisi de couleur blanche. On utilise la liste des clients ayant achet� l’un ou l’autre des robots pr�c�demment cit�s et on choisit un client au hasard. Soient A et B deux �v�nements ind�pendants d’un m�me univers  tels que P(A) = 0,3 et P(A ∪ B) = 0,65. a. La probabilit� qu’un client choisi au hasard ait achet� un robot M2 de couleur noire est �gale � 6 /25. Vrai. b. La probabilit� qu’un client choisi au hasard ait achet� un robot de couleur noire est �gale � 6 /25. Faux. c. Le client a choisi un robot de couleur noire. La probabilit� qu’il soit de marque M2 est �gale � 33 / 50. Faux. d. La probabilit� de l’�v�nement B est �gale � 0,5.Vrai. e. A et B sont ind�pendants. Vrai. .... 7. Soit f la fonction d�finie par f(x) = ln((1-ex)2) et C la courbe repr�sentant f dans un rep�re orthonormal du plan. a. Pour tout x non nul, f(x) > 0. Faux. Par exemple f(0,01) = -9,2. b. L’axe des abscisses est une asymptote de C en moins l'infini. Vrai. En moins l'infini, ex tend vers z�ro ; 1-ex tend vers 1 et ln((1-ex)2) tend vers z�ro. c. Pour tout x non nul, f(x) = 2 ln(1 − ex). Faux. ln(1 − ex) n'est d�fini que pour 1-ex positif. d. Pour tout x non nul, f(x) >0 si et seulement si x < 0. Faux. e. f est d�croissante sur ]−∞, 0[. Vrai. On calcule f '(x) en posant v =(1-ex) ;  u =v2 ; u ' = 2v v ' = - 2ex (1-ex). f '(x) = u' / u = - 2ex / (1-ex) ; sur ]−∞, 0[, 2ex / (1-ex) est positif et f '(x) est n�gative. 8. Suite. Soit (un) la suite d�finie par u0 = 1 et pour tout entier n, un+1 =un / 3 +n-2. Soit (vn) la suite d�finie pour tout entier n par vn = −2un + 3n −10,5. On consid�re l’algorithme ci-dessous. N est un entier, U est un r�el U = 1 ; N = 0 ; Tant que (U < 0 ou N = 0) U = U /3 +N-2 N = N+1 Fin Tant que Afficher U a. u3 = − 14 / 27. Vrai. u1 =u0 / 3 +0-2 = 1 /3 -2 = -5 /3 ;  u2 =u1 / 3 +1-2 = -5 / 9 -1 = -14 / 9 ;  u3 =u2 / 3 +2-2 = -5 / 9 -1 = -14 / 27. b. L’algorithme affiche la valeur de u3. Faux. N U (U < 0 ou N = 0) 0 1 Vrai 1 u1 =-5 /3 Vrai 2 u2 = -14 /9 Vrai 3 u3 = -14 /27 Vrai 4 u4 = -14 /81+3-2= 67 / 81 Faux c. Pour tout entier n, ( n > 5  entra�ne un > n-3). Vrai. un+1 -(n+1-3) =un+1 -n+2 =un / 3 +n-2 -n +2 = un / 3. Pour n > 4, un / 3 est positif. d. (vn) est une suite g�om�trique de raison 3. Faux. vn+1 = −2un+1 + 3(n+1) −10,5. vn+1 = −2(un / 3 +n-2) + 3(n+1) −10,5 = -2un / 3-2n +4 +3n +3 -10,5 =  -2un / 3 +n-3,5 = 3(-2un +n /3- 10,5) diff�rent de 3 vn. e. un tend vers plus l'infini quand n tend vers plus l'infini. Vrai. un+1 =un / 3 +n-2. un / 3 est positif et n-2 tend vers plus l'infini.   9. Suite. Soit (un) la suite d�finie par u0 = 4 et, pour tout n entier, un+1 = f(un) o� f est une fonction d�finie et d�rivable sur R. Soit (vn) la suite d�finie par v0 = 1 et, pour tout n entier, ln(vn+1) = ln(vn) − 1. a. Si pour tout r�el x, f ′(x) < 0 alors (un) est strictement d�croissante. Faux. Par exemple si f(x) = -x : f '(x) = -1, n�gative. u1 = f(u0) = f(4) = -4 ; u2 = f(u1) = f(-4) =16. b. (vn) est une suite g�om�trique. Vrai. ln(vn+1) - ln(vn) =− 1 ; ln ( vn+1 / vn) = -1 ; vn+1 / vn =e-1 ; vn+1 =e-1 vn . c. (vn) est convergente. Vrai. vn+1-vn = (e-1 -1) vn n�gatif , la suite est d�croissante et minor�e, donc elle converge. d. La suite (tn) d�finie pour tout n entier par tn =(n2-200)n� est d�croissante. Faux. t0=0 ; t1 = -199 ; t2 = -196 x2� ~ -277 ; t3 = -191 x3� ~ -330 ; t4 = -184 x2 = -368 ; t5 = -175 x 5� ~ -391 ; t6 = -164 x6�~ -402 ; t10 = -100 x10�~ -316 ; t15 = 25 x15�~ 96. e. 10. f est une fonction d�finie sur R. a. Si pour tout r�el x > 1, 1 +1 / x < f(x) < (x2+x+10)/ (x2+1) alors  la limite  en l'infini de f(x) est �gal � 1. Vrai. En plus l'infini : 1 +1/x tend vers 1 ; (x2+x+10)/ (x2+1) = (1 +1 /x +10 /x2) / (1 +1/x2) tend vers 1 si x tend vers plus l'infini. b. Si f(x) = 2x + 3 − sin(2x) alors pour tout r�el x, f(x) < 2x + 2. Faux. Si x = 0 ; f(0) =3 > 2. c. La limite en plus l'infini de 2x sin(1/(2x)) est �gale � 1. Vrai. 1 /(2x) tend vers z�ro si x tend vers plus l'infini ; par suite au voisinage de z�ro, sin(1/(2x))est �quivalent � 1 /(2x). 2x * (1/2x) = 1. d. En plus l'infini, la limite de (3 +2n) / (3 +4n) est �gale � 1. Faux. 2n [3 / 2n+1 ]   / [4n( 3 /4n +1] =[2 /4]n [(3 / 2n+1 ) / ( 3 /4n +1)] = 0,5n [(3 / 2n+1 ) / ( 3 /4n +1)] En plus l'infini : 3 / 2net 3 /4n tendent vers z�ro. De plus 0,5n tend vers z�ro. e. Si 0 < x < 1 alors la limite en plus l'infini de [(1-x)n(1+x)n] est �gale � plus l'infini. Faux. [(1-x)(1+x)]n =(1-x2)n ; (1-x2) < 1 ; (1-x2)n tend vers z�ro si n tend vers plus l'infini. .. . 11. Nombres complexes. Dans le plan complexe muni d’un rep�re orthonormal d’origine O, on consid�re les points E et F d’affixes respectives −2 + i et 2 + 4i et E l’ensemble des points M d’affixe z v�rifiant  |z + 2 − i| = |z − 2 − 4i|. Pour tout point M du plan, l’affixe de M est not�e zM. a. Le point G d’affixe 3 −1,5 i appartient � E . Vrai.  |z + 2 − i| = |3-1,5i + 2 − i| =|5-2,5i| =(52+(-2,5)2)� =31,25�. |z − 2 − 4i| =|3-1,5i -2-4i|=|1-5,5i| = (12 +(-5,5)2)� =31,25�. b. E est le cercle de diam�tre [EF]. Faux. Si le point E appartient  � l'ensemble E : |-2+i+2-i| = 0 ; |z − 2 − 4i| = |-2+i -2-4i| =|-4-3i| diff�rent de z�ro. c. Le triangle OEF est rectangle. Vrai. OE2 = (-2)2 +12 =5 ; OF2 = (2)2 +42 =20 ; EF2 =42 +32 =25 = OE2 + OF2 . D'apr�s la r�ciproque du th�or�me de Pythagore, le triangle OEF est rectangle en O. d. Si zA = 2 − 3i, zB = −26 + 18i et zC = −2 alors A, B et C sont align�s. Vrai. e. Si zA = 3 exp(2ip/3) et zB = 2 exp(-5ip/6) alors le triangle OAB est rectangle. Vrai. arg(zA) = 2p/3 ; arg(zB) = -5p /6 = -5p /6 +2p = 7 p / 6. arg(zB) -arg(zA) =7 p / 6 -2p/3  =7 p / 6 -4p/6  =3p/6 = p /2. 12. G�om�trie dans l'espace. L’espace est rapport� � un rep�re orthonormal. On consid�re les points suivants d�finis par leurs coordonn�es : A(1;−1; 2), B(3; 3; 8), C(−3; 5; 4) et D(1; 2; 3). On note d la droite ayant pour repr�sentation param�trique x = 1 + t ; y = −1 + 2t , z = −2 + 3t avec t r�el. On note d′ la droite ayant pour repr�sentation param�trique x = 1 + k ; y = 3 + k ; z = 4 − k avec k r�el. On note P le plan d’�quation x + y − z + 2 = 0. a. Le point C appartient � la droite d. Faux. Hypoth�se : C appartient � cette droite d : xC = 1 + t  = -3 soit t = -4 ; y = −1 + 2(-4) = -9 diff�rent de yC. L'hypoth�se est fausse. b. Les droites d et d′ sont parall�les. Faux. Coordonn�es du vecteur directeur de la droite d : (1 ; 2 ; 3). Coordonn�es du vecteur directeur de la droite d' : (1 ; 1 ; -1). Ces deux vecteurs ne sont pas colin�aires. c. Le plan P contient la droite d et est orthogonal � la droite d′. Faux. Hypoth�se : le plan contient la droite d. x + y − z + 2 = 0 soit 1+t +(-1+2t) -(-2+3t) +2 =0 ;  4 +0t = 0, impossible. L'hypoth�se est fausse. d. Le triangle BCD est rectangle. Vrai. BC2 =(-3-3)2 +(5-3)2 +(4-8)2 =36+4+16=56. BD2 =(1-3)2 +(2-3)2 +(3-8)2 =4+1+25=30. DC2 =(-3-1)2 +(2-5)2 +(3-4)2 =16+9+1=26. BC2 =BD2 +DC2 ; d'apr�s la r�ciproque du th�or�me de Pythagore, le triangle BCd est rectangle en D. e. On note P′ le plan contenant la droite d′ et le point A. Un vecteur normal � ce plan est . Vrai. Hypoth�se  : est un vecteur normal au plan P'. Equation de P' : 3x -y +2z +d = 0. A appartient � ce plan P' : 3 -(-1) +2*2 +d = 0 ; d = -8. d' appartient � ce plan : 3(1+k) -(3+k) +2(4-k) -8 = 0 ; 8- 8+0k = 0 est v�rifi�. 13. On consid�re les deux fonctions f et g d�finies par f(x) = (x−1)2 et g(x) = −x+1 repr�sent�es graphiquement par leurs courbes respectives Cf et Cg. a. L’aire du domaine compris entre Cf et Cg pour x ∈ [0, 1] est �gale � 1/ 6. Vrai. Aire comprise entre la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'�quation x =0 et x = 1. [(x-1)3 / 3]01=[0 -(-1)3] / 3 = 1 /3. Aire comprise entre la courbe Cg, l'axe des abscisses et les droites d'�quation x =0 et x = 1. 1 x 1 /2 = 0,5 ; aire du domaine compris entre Cf et Cg pour x ∈ [0, 1]  : 0,5 -1 /3 = 1 /6. b. c. d. Pour tout n ∈ N, un+1 + un =1 /(n+1). Vrai. e. 14. Le temps d’attente, exprim� en minutes, � un guichet, est une variable al�atoire T qui suit une loi exponentielle de param�tre 0,7. Marc se rend � son travail � pied ou en bus. Dans la ville o� il habite, il pleut un jour sur quatre. Lorsqu’il pleut, Marc se rend en bus � son travail dans 80 % des cas. Lorsqu’il ne pleut pas, il se rend � pied � son travail dans 60 % des cas. a. La probabilit� qu’un client attende moins de 5 minutes � ce guichet est �gale � (e3,5 − 1) /e3,5 . Vrai. l = 0,7 ; P(T < 5) = 1-e-5x0,7=1-e-3,5. b. Sachant qu’un client attend depuis 5 minutes, la probabilit� qu’il attende au total plus de 10 minutes � ce guichet est �gale � e−3,5. Vrai. La loi exponentielle est sans m�moire ; PT =5(T >10) = P(T > 5) =e−3,5. c. Marc prend le bus un jour sur deux. Vrai. Soit A l'�v�nement " il pleut" et B l'�v�nement " Marc prend le bus". d. Soient A et B deux �v�nements li�s � une m�me �preuve al�atoire qui v�rifient : P(A) = 0,4, PA(B) = 0,7 et P non A(non B)=0,1. Alors la probabilit� de l’�v�nement A sachant que l’�v�nement B (PB(A) )est r�alis� est �gale �14 / 89. Faux. e. Soit X une variable al�atoire prenant ses valeurs dans l’intervalle [1,+∞[ et dont la loi de probabilit� admet comme densit� la fonction f d�finie par f(x) = 2 / x3. Alors P(1 < X < 4) = 15 / 16. Vrai.

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